Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Προστέθηκαν κάποιες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων |
||
Γραμμή 63:
Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών, αρμονικές συναρτήσεις με ''n'' μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι αναλυτικές, ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου και της μέσης τιμής.Το θεώρημα της απαλοιφής των ανώμαλων σημείων καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για αυτές κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα στη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων.
== Ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων ==
Κάποιες σημαντικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από την εξίσωση του Λαπλάς.
=== '''Θεώρημα Κανονικότητας για αρμονικές συναρτήσεις''' ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι απείρως διαφορίσιμες. Για την ακρίβεια, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις αναλυτικές.
=== '''Αρχή του Μεγίστου''' ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την παρακάτω αρχή μεγίστου: εάν Κ είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του U, τότε η συνάρτηση f, περιορισμένη στο Κ, παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο σύνορο του Κ. Εάν to U είναι συνεκτικό, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα, εκτός από την εξαιρετική περίπτωση όπου η f είναι σταθερή.
=== '''Ιδιότητα της Μέσης Τιμής''' ===
Εάν ''B''(''x'', ''r'') είναι μια μπάλα με κέντρο το ''x'' και ακτίνα ''r'' , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> , τότε η τιμή ''u''(''x'') μιας αρμονικής συνάρτησης ''u'': Ω → '''R''' στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το μέσο όρο των τιμών της ''u'' στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της ''u'' στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια
<math> u(x) = \frac{1}{n \omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u\, dV</math>,
όπου ω<sub>''n''</sub> είναι ο όγκος της μοναδιαίας σφαίρας σε n διαστάσεις και σ είναι το n-1 διάστατο επιφανειακό μέτρο.
Αντίστροφα, όλες οι τοπικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα της μέσης τιμής, είναι και απείρως παραγωγίσιμες και αρμονικές.
Με όρους συνελίξεων, εάν
<math>\chi_r:=\frac{1}{|B(0,r)|}\chi_{B(0,r)}=\frac{1}{\omega_n r^n}\chi_{B(0,r)}</math>
συμβολίζει τη χαρακτηριστική συνάρτηση μιας μπάλας, με ακτίνα r και κέντρο την αρχή των αξόνων, κανονικοποιημένης έτσι ώστε <math>\scriptstyle \int_{\mathbf{R}^n}\chi_r\, dx=1</math>, τότε η συνάρτηση f είναι αρμονική αν και μόνον εάν
<math>u(x) = u*\chi_r(x)\;</math>, όταν ''B''(''x'', ''r'') ⊂ Ω.
== Properties of harmonic functions ==
Some important properties of harmonic functions can be deduced from Laplace's equation.
=== Regularity theorem for harmonic functions ===
Harmonic functions are infinitely differentiable. In fact, harmonic functions are [[:en:Analytic_function|real analytic]].
=== Maximum principle ===
Harmonic functions satisfy the following ''[[:en:Maximum_principle|maximum principle]]'': if ''K'' is any [[:en:Compact_space|compact subset]] of ''U'', then ''f'', restricted to ''K'', attains its [[:en:Maxima_and_minima|maximum and minimum]] on the [[:en:Boundary_(topology)|boundary]] of ''K''. If ''U'' is [[:en:Connected_space|connected]], this means that ''f'' cannot have local maxima or minima, other than the exceptional case where ''f'' is [[:en:Constant_function|constant]]. Similar properties can be shown for subharmonic functions.
=== The mean value property ===
If ''B''(''x'', ''r'') is a [[:en:Ball_(mathematics)|ball]] with center ''x'' and radius ''r'' which is completely contained in the open set Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>, then the value ''u''(''x'') of a harmonic function ''u'': Ω → '''R''' at the center of the ball is given by the average value of ''u'' on the surface of the ball; this average value is also equal to the average value of ''u'' in the interior of the ball. In other words
: <math> u(x) = \frac{1}{n \omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u\, dV</math>
where ω<sub>''n''</sub> is the volume of the [[:en:Unit_sphere|unit sphere]] in ''n'' dimensions and σ is the ''n''-1 dimensional surface measure .
Conversely, all locally integrable functions satisfying the (volume) mean-value property are both infinitely differentiable and harmonic.
In terms of [[:en:Convolution|convolutions]], if
: <math>\chi_r:=\frac{1}{|B(0,r)|}\chi_{B(0,r)}=\frac{1}{\omega_n r^n}\chi_{B(0,r)}</math>
denotes the [[:en:Indicator_function|characteristic function]] of the ball with radius ''r'' about the origin, normalized so that <math>\scriptstyle \int_{\mathbf{R}^n}\chi_r\, dx=1</math>, the function ''u'' is harmonic on Ω if and only if
: <math>u(x) = u*\chi_r(x)\;</math>
as soon as ''B''(''x'', ''r'') ⊂ Ω.
'''Sketch of the proof.''' The proof of the mean-value property of the harmonic functions and its converse follows immediately observing that the non-homogeneous equation, for any 0 < ''s'' < ''r''
: <math>\Delta w = \chi_r - \chi_s\;</math>
admits an easy explicit solution ''w<sub>r,s</sub>'' of class ''C''<sup>1,1</sup> with compact support in ''B''(0, ''r''). Thus, if ''u'' is harmonic in Ω
: <math>0=\Delta u * w_{r,s} = u*\Delta w_{r,s}= u*\chi_r - u*\chi_s\;</math>
holds in the set Ω<sub>''r''</sub> of all points ''x'' in <math> \Omega </math> with <math>\mathrm{dist}(x,\partial\Omega)>r</math> .
Since ''u'' is continuous in Ω, ''u''*χ<sub>''r''</sub> converges to ''u'' as ''s'' → 0 showing the mean value property for ''u'' in Ω. Conversely, if ''u'' is any <math>L^1_{\mathrm{loc}}\;</math> function satisfying the mean-value property in Ω, that is,
: <math>u*\chi_r = u*\chi_s\;</math>
holds in Ω<sub>''r''</sub> for all 0 < ''s'' < ''r'' then, iterating ''m'' times the convolution with χ<sub>''r''</sub> one has:
: <math>u = u*\chi_r = u*\chi_r*\cdots*\chi_r\,,\qquad x\in\Omega_{mr},</math>
so that ''u'' is <math>C^{m-1}(\Omega_{mr})\;</math> because the m-fold iterated convolution of χ<sub>''r''</sub> is of class <math>C^{m-1}\;</math> with support ''B''(0, ''mr''). Since ''r'' and ''m'' are arbitrary, ''u'' is <math>C^{\infty}(\Omega)\;</math> too. Moreover
<math>\Delta u * w_{r,s} = u*\Delta w_{r,s} = u*\chi_r - u*\chi_s=0\;</math>
for all 0 < ''s'' < ''r'' so that Δ''u'' = 0 in Ω by the fundamental theorem of the calculus of variations, proving the equivalence between harmonicity and mean-value property.
This statement of the mean value property can be generalized as follows: If ''h'' is any spherically symmetric function [[:en:Support_(mathematics)|supported]] in ''B''(''x'',''r'') such that ∫''h'' = 1, then ''u''(''x'') = ''h'' * ''u''(''x''). In other words, we can take the weighted average of ''u'' about a point and recover ''u''(''x''). In particular, by taking ''h'' to be a ''C''<sup>∞</sup> function, we can recover the value of ''u'' at any point even if we only know how ''u'' acts as a [[:en:Distribution_(mathematics)|distribution]]. See [[:en:Weyl's_lemma_(Laplace_equation)|Weyl's lemma]].
=== Harnack's inequality ===
Let ''u'' be a non-negative harmonic function in a bounded domain Ω. Then for every connected set
: <math>V \subset \overline{V} \subset \Omega,</math>
[[:en:Harnack's_inequality|Harnack's inequality]]
: <math>\sup_V u \le C \inf_V u</math>
holds for some constant ''C'' that depends only on ''V'' and Ω.
=== Removal of singularities ===
The following principle of removal of singularities holds for harmonic functions. If ''f'' is a harmonic function defined on a dotted open subset <math> \scriptstyle\Omega\,\setminus\,\{x_0\}</math> of '''R'''<sup>''n''</sup> , which is less singular at ''x''<sub>0</sub> than the fundamental solution, that is
: <math>f(x)=o\left( \vert x-x_0 \vert^{2-n}\right),\qquad\text{as }x\to x_0,</math>
then ''f'' extends to a harmonic function on Ω (compare [[:en:Removable_singularity#Riemann's_theorem|Riemann's theorem]] for functions of a complex variable).
=== Liouville's theorem ===
If ''f'' is a harmonic function defined on all of '''R'''<sup>''n''</sup> which is bounded above or bounded below, then ''f'' is constant (compare [[:en:Liouville's_theorem_(complex_analysis)|Liouville's theorem for functions of a complex variable]]).
[[:en:Edward_Nelson|Edward Nelson]] gave a particularly short proof <ref>Edward Nelson, A proof of Liouville's theorem. Proceedings of the AMS, 1961. [http://www.jstor.org/stable/2034412 pdf at JSTOR]</ref> of this theorem, using the mean value property mentioned above:<blockquote>Given two points, choose two balls with the given points as centers and of equal radius. If the radius is large enough, the two balls will coincide except for an arbitrarily small proportion of their volume. Since ''f'' is bounded, the averages of it over the two balls are arbitrarily close, and so ''f'' assumes the same value at any two points.</blockquote>
| |||