Ευκλείδεια γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

* [[Αξιώματα του Tarski|Αξιώματα του Τάρσκι]]:Ο Alfred Tarski(1902-1983) και οι μαθητές του προσδιόρισαν την στοιχειώδη Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη γεωμετρία που μπορεί να εφαρμοστεί σε [[Λογική πρώτου βαθμού|πρώτης-τάξης λογική]] και η λογική της βάση δεν εξαρτάται από [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],<ref name=Tarski0>{{cite book |chapter=Τι είναι η στοιχειώδης Γεωμετρία |author=Άλφρεντ Τάρσκι |quote=Θεωρούμε ως στοιχειώδη Γεωμετρία το κομμάτι εκείνο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που διατυπώθηκε χωρίς την βοήθεια κανενός μηχανισμού της θεωρίας συνόλων|url=https://books.google.com/books?id=eVVKtnKzfnUC&pg=PA16 |page=16 |isbn=1-4067-5355-6 |editor=Λέον Χένκιν, Πάτρικ Σάπες & Άλφρεντ Τάρσκι |publisher=Brouwer Press |year=2007 |title=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics – The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics |edition=Proceedings of International Symposium at Berkeley 1957–8; Reprint}}</ref>σε αντίθεση με τα αξιώματα του Hilbert,που περιλαμβάνουν σύνολα σημείων.<ref name=Simmons>{{cite book |title=Logic from Russell to Church |editors=Dov M. Gabbay, John Woods|chapter=Η λογική του Τάρσκι |author=Κίθ Σίμονς |page=574 |url=https://books.google.com/books?id=K5dU9bEKencC&pg=PA574 |isbn=0-444-51620-4 |year=2009 |publisher=Elsevier}}</ref>Ο Tarski απέδειξε ότι η αξιωματική διατύπωση της στοιχειώδους Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι συνεπής και πλήρης κατά μια ορισμένη έννοια:υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος,για κάθε πρόταση,μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθείς ή ψευδείς.<ref name="Tarski 1951"/> (Αυτό δεν παραβιάζει το [[Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ|Θεώρημα του Gödel]],επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.).<ref>Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8. Pp. 25–26.</ref>)(Αυτό δεν παραβιάζει το [[Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ|Θεώρημα του Gödel]],επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.)Αυτό είναι ισοδύναμο με τον όρο decidability των πραγματικών κλειστών πεδίων,των οποίων η στοιχειώδης Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μοντέλο.