Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
* [[Αξιωματα Birkhoff|Αξιώματα του Μπίρκοφ]]:Ο Birkhoff πρότεινε τέσσερα αξιώματα για Ευκλείδεια γεωμετρία που μπορούν να επιβεβαιωθούν πειραματικά με την κλίμακα και το μοιρογνωμόνιο.Αυτό το σύστημα στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιότητες των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]].<ref>George David Birkhoff, Ralph Beatley (1999). "Chapter 2: The five fundamental principles". [https://books.google.com/books?id=TB6xYdomdjQC&pg=PA38 ''Basic Geometry''] (3rd ed.). AMS Bookstore. pp. 38 ''ff''. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8218-2101-6|0-8218-2101-6]].</ref><ref>James T. Smith. "Chapter 3: Elementary Euclidean Geometry". [https://books.google.com/books?id=mWpWplOVQ6MC&pg=RA1-PA84 ''Cited work'']. pp. 84 ''ff''.</ref><ref>Edwin E. Moise (1990). [https://books.google.com/books?cd=1&id=3UjvAAAAMAAJ&dq=isbn%3A9780201508673&q=Birkhoff#search_anchor ''Elementary geometry from an advanced standpoint''] (3rd ed.). Addison–Wesley. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-201-50867-2|0-201-50867-2]].</ref>Οι έννοιες της γωνίας και της απόστασης γίνονται θεμελιακές.<ref>John R. Silvester (2001). "§1.4 Hilbert and Birkhoff". [https://books.google.com/books?id=VtH_QG6scSUC&pg=PA5 ''Geometry: ancient and modern'']. Oxford University Press. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-19-850825-5|0-19-850825-5]].</ref>
 
* [[Αξιώματα του Tarski|Αξιώματα του Τάρσκι]]:Ο Alfred Tarski(1902-1983) και οι μαθητές του προσδιόρισαν την στοιχειώδη Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη γεωμετρία που μπορεί να εφαρμοστεί σε [[Λογική πρώτου βαθμού|πρώτης-τάξης λογική]] και η λογική της βάση δεν εξαρτάται από [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],<ref name=Tarski0>{{cite book |chapter=Τι είναι η στοιχειώδης Γεωμετρία |author=Άλφρεντ Τάρσκι |quote=Θεωρούμε ως στοιχειώδη Γεωμετρία το κομμάτι εκείνο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που διατυπώθηκε χωρίς την βοήθεια κανενός μηχανισμού της θεωρίας συνόλων|url=https://books.google.com/books?id=eVVKtnKzfnUC&pg=PA16 |page=16 |isbn=1-4067-5355-6 |editor=Λέον Χένκιν, Πάτρικ Σάπες & Άλφρεντ Τάρσκι |publisher=Brouwer Press |year=2007 |title=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics – The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics |edition=Proceedings of International Symposium at Berkeley 1957–8; Reprint}}</ref>σε αντίθεση με τα αξιώματα του Hilbert,που περιλαμβάνουν σύνολα σημείων.<ref name=Simmons>{{cite book |title=Logic from Russell to Church |editors=Dov M. Gabbay, John Woods|chapter=Η λογική του Τάρσκι |author=Κίθ Σίμονς |page=574 |url=https://books.google.com/books?id=K5dU9bEKencC&pg=PA574 |isbn=0-444-51620-4 |year=2009 |publisher=Elsevier}}</ref>Ο Tarski απέδειξε ότι η αξιωματική διατύπωση της στοιχειώδους Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι συνεπής και πλήρης κατά μια ορισμένη έννοια:υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος,για κάθε πρόταση,μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθείς ή ψευδείς.<ref name="Tarski 1951"/> <ref>Franzén, TorkelΤάρσκι (20051951). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8. Pp. 25–26.</ref>) (Αυτό δεν παραβιάζει το [[Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ|Θεώρημα του Gödel]],επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.)<ref>Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8. Pp. 25–26.</ref>)Αυτό είναι ισοδύναμο με τον όρο decidability των πραγματικών κλειστών πεδίων,των οποίων η στοιχειώδης Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μοντέλο.
 
=== Εποικοδομητικές προσεγγίσεις και παιδαγωγική ===
24

επεξεργασίες