Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

\end{align}
</math>
Τα μιγαδικά εκθετικά μπορούν να απλοποιήσουν την τριγωνομετρία, διότι είναι πιο εύκλαεύκολα στο χειρισμό από ότι οι ημιτονοειδείς τους συνιστώσες. Μία τεχνική είναι απλώς να μετατρέψουμε τις ημιτονοειδείς συναρτήσεις σε ισοδύναμες εκφράσεις σαν συνάρτηση εκθετικών. Μετά από πράξεις το αποτέλεσμα είναι ακόμα πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα''':'''
 
: <math>
Βλέπε επίσης αριθμητική των στρεφόμενων διανυσμάτων.
==Τοπολογική ερμηνεία==
Στη γλώσσα της τοπολογίας ο τύπος του Euler δηλώνει ότι η φανταστική εκθετική συνάρτηση <math>t\mapsto e^{it}</math> είναι ένας (επιρριπτικός) μορφισμός των [[Τοπολογικές ομάδες|τοπολογικών ομάδων]] <nowiki/>από την ευθεία των πραγματικών αριθμών {{Math|ℝ}} στο μοναδιαίο κύκλο <math>\mathbb S^1</math>. Στην πραγματικότητα, αυτό αναδεικνύει το {{Math|ℝ}} ως [[χώρο κάλυψης]] του <math>\mathbb S^1</math>. Ομοίως, η [[Ταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητα του Euler]] λέει ότι ο πυρήνας της απεικόνισης είναι <math>\tau\mathbb Z</math>, όπου <math>\tau = 2\pi</math>. Οι παρατηρήσεις αυτές μπορούν να συνδυαστούν και να συνοψιστούν από ένα [[μεταθετικό διάγραμμα]].
==Άλλες εφαρμογές==
Στις [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]] η συνάρτηση {{Math|''e<sup>ix</sup>''}} χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει την εξαγωγή σχέσεων ακόμα και αν ο τελικός τύπος είναι μία πραγματική συνάρτηση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι η [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|ιδιοσυνάρτηση]] της παραγώγισης. Η [[Ταυτότητα του Όιλερ|ταυτότητα του Euler]] είναι απλή συνέπεια του τύπου του Euler.
 
Στην ηλεκτρονική μηχανική και σε άλλα πεδία, τα σήματα που μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο συχνά περιγράφονται σαν ένας συνδυασμός συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέπε ανάλυση Fourier), οιτις οποίες μας διευκολύνει να εκφραστούνεκφράσουμε ως το πραγματικό μέρος εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler. Επίσης, η ανάλυση σε στρεφόμενα διανύσματα μπορεί να συμπεριλάβει τον τύπο του Euler για να αναπαραστήσει την εμπέδηση ενός πυκνωτή ή ενός πηνίου.
 
==Ορισμοί της εκθετικής συνάρτησης==
Η εκθετική συνάρτηση {{Math|''e<sup>x</sup>''}} για πραγματικές τιμές του {{Math|''x''}} μπορεί να οριστεί με μερικούς διαφορετικούς ισοδύναμους τρόπους. Πολλές από αυτές τις μεθόδους μπορούν ευθέως να επεκταθούν για να δώσουν ορισμούς του {{Math|''e<sup>z</sup>''}} για μιγαδικές τιμές του {{Math|''z''}} απλώς αντικαθιστώντας το {{Math|''z''}} στη θέση του {{Math|''x''}} και χρησιμοποιώντας μιγαδικές αλγεβρικές πράξεις. Συγκεκριμένα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν οποιοδήποτε από τους παρακάτω δύο ορισμούς που είναι ισοδύναμοι. Από μία πιο προχωρημένη οπτική, καθένας από τους ορισμούς μπορεί να ερμηνευτεί ότι μας δίνει αναλυτική επέκταση κατά μοναδικό τρόπο του {{Math|''e<sup>x</sup>''}} στο μιγαδικό επίπεδο.
==Αναφορές==
<references/>
18

επεξεργασίες