Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
||
Γραμμή 37:
[[Αρχείο:Biv_gumbel_dist.png|μικρογραφία|Πυκνότητα και το περίγραμμα οικοπέδου δύο κανονικών περιθωριακών κοινά με το επίπεδο Gumbel]]
To θεώρημα του Sklar,που πήρε το όνομα του από τον Abe Sklar,παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο για την εφαρμογή των copulas.To θεώρημα του Sklar αναφέρει ότι κάθε πολυμεταβλητή συνάρτηση αθροιστικής κατανομής
: <math>H(x_1,\dots,x_d)=\mathbb{P}[X_1\leq x_1,\dots,X_d\leq x_d]</math>
από ένα τυχαίο διάνυσμα<math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> μπορεί να εκφραστεί σε όρους περιθωριακούς <math>F_i(x) = \mathbb{P}[X_i\leq x] </math> και ένα επίπεδο <math>C</math>.Πράγματι:
: <math>H(x_1,\dots,x_d) = C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right). </math>
Σε περίπτωση που η πολυμεταβλητή κατανομή έχει μια πυκνότητα <math>f</math>, και αυτή είναι δεδομένη, έχουμε
: <math>f(x_1,\dots x_d)= c(F_1(x_1),\dots F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot\dots\cdot f_d(x_d),</math>
όπου <math>c</math> είναι η πυκνότητα του επιπέδου.
Το θεώρημα επίσης αναφέρει οτι με δεδομένο <math>H</math>, το επίπεδο είναι μοναδικό για<math> \operatorname{Ran}(F_1)\times\cdots\times \operatorname{Ran}(F_d) </math>, το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόμενο που κυμαίνεται στο οριακό cdf's.Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο είναι μοναδικό αν οι περιθωριακές <math>F_i</math> είναι συνεχείς.
Ισχύει επίσης και το αντίστροφο:με δεδομένο ένα επίπεδο<math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1] </math> και τα περιθωριακά <math>F_i(x)</math> τότε η <math>C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right)</math> ορίζει μια v-διάστατη αθροιστική συνάρτηση κατανομής.
== Το Fréchet–Hoeffding επίπεδο έχει όρια ==
[[Αρχείο:Copule_ord.svg|δεξιά|μικρογραφία]]
== References ==
| |||