Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
||
Γραμμή 46:
Το θεώρημα επίσης αναφέρει οτι με δεδομένο <math>H</math>, το επίπεδο είναι μοναδικό για<math> \operatorname{Ran}(F_1)\times\cdots\times \operatorname{Ran}(F_d) </math>, το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόμενο που κυμαίνεται στο οριακό cdf's.Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο είναι μοναδικό αν οι περιθωριακές <math>F_i</math> είναι συνεχείς.
Ισχύει επίσης και το αντίστροφο:με δεδομένο ένα επίπεδο<math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1] </math> και τα περιθωριακά <math>F_i(x)</math> τότε η <math>C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right)</math> ορίζει μια
== Το Fréchet–Hoeffding επίπεδο έχει όρια ==
[[Αρχείο:Copule_ord.svg|δεξιά|μικρογραφία
]]
The Fréchet–Hoeffding Theorem (after Maurice René Fréchet and Wassily Hoeffding <ref>{{Πρότυπο:Cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hoeffding.html|title=Biography of Wassily Hoeffding|date=March 2011|publisher=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland|accessdate=8 November 2011|author="J J O'Connor and E F Robertson"}}</ref>) states that for any Copula <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> and any <math>(u_1,\dots,u_d)\in[0,1]^d</math> the following bounds hold:
: <math>W(u_1,\dots,u_d) \leq C(u_1,\dots,u_d) \leq M(u_1,\dots,u_d).</math>
The function '''W''' is called lower Fréchet–Hoeffding bound and is defined as
: <math> W(u_1,\ldots,u_d) = \max\left\{1-d+\sum\limits_{i=1}^d {u_i} , 0 \right\}.</math>
The function '''M''' is called upper Fréchet–Hoeffding bound and is defined as
: <math> M(u_1,\ldots,u_d) = \min \{u_1,\dots,u_d\}.</math>
The upper bound is sharp: ''M'' is always a copula, it corresponds to comonotone random variables.
The lower bound is point-wise sharp, in the sense that for fixed '''u''', there is a copula <math>\tilde{C}</math> such that <math>\tilde{C}(u) = W(u)</math>. However, ''W'' is a copula only in two dimensions, in which case it corresponds to countermonotonic random variables.
In two dimensions, i.e. the bivariate case, the Fréchet–Hoeffding Theorem states
: <math>\max(u+v-1,0) \leq C(u,v) \leq \min\{u,v\}</math>
== Οι οικογένειες copulas ==
Αρκετές οικογένειες των copulas έχουν περιγραφεί.
=== Επίπεδο Gaussian ===
[[Αρχείο:Copula_gaussian.svg|μικρογραφία|Aθροιστική και πυκνότητα κατανομής του επιπέδου Gaussian με ρ=0.4]]
Το επίπεδο Gaussian είναι μια διανομή μέσω του μοναδιαίου κύβου <math>[0,1]^d</math>. Είναι κατασκευασμένο από μια πολυμεταβλητή κανονικής κατανομής στο <math>\mathbb{R}^d</math> χρησιμοποιώντας την πιθανότητα ολοκληρωτικού μετασχηματισμού.
Για ένα δεδομένο πίνακα συσχετισης <math>R\in\mathbb{R}^{d\times d}</math>, το Gaussian επίπεδο με την σχετική παράμετρο <math>R</math> μπορεί να γραφεί ως
: <math> C_R^{\text{Gauss}}(u) = \Phi_R\left(\Phi^{-1}(u_1),\dots, \Phi^{-1}(u_d) \right), </math>
όπου <math>\Phi^{-1}</math> είναι η αντίστροφη συνάρτηση κατανομής μιας τυποποιημένης κανονικής κατανομής και <math>\Phi_R</math> είναι η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας πολυμεταβλητής κανονικής κατανομής με μέση διανυσματική 0 και πίνακα συνδιασποράς ίσο με τον πίνακα συσχέτισης <math>R</math>. Ενώ δεν υπάρχει καμία απλή αναλυτική φόρμουλα για το επίπεδο λειτουργίας,<math>C_R^{\text{Gauss}}(u)</math>, μπορεί να είναι άνω ή κάτω όρια, και να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας αριθμητική ολοκλήρωση.Η πυκνότητα μπορεί να φραφεί ως
: <math> c_R^{\text{Gauss}}(u)
= \frac{1}{\sqrt{\det{R}}}\exp\left(-\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}\Phi^{-1}(u_1)\\ \vdots \\ \Phi^{-1}(u_d)\end{pmatrix}^T \cdot
\left(R^{-1}-\mathbf{I}\right) \cdot
\begin{pmatrix}\Phi^{-1}(u_1)\\ \vdots \\ \Phi^{-1}(u_d)\end{pmatrix}
\right), </math>
όπου <math>\mathbf{I}</math> είναι o ταυτοτικός πίνακας.
== References ==
| |||