Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "Copula (probability theory)" |
||
Γραμμή 72:
Για ένα δεδομένο πίνακα συσχετισης <math>R\in\mathbb{R}^{d\times d}</math>, το Gaussian επίπεδο με την σχετική παράμετρο <math>R</math> μπορεί να γραφεί ως
: <math> C_R^{\text{Gauss}}(u) = \Phi_R\left(\Phi^{-1}(u_1),\dots, \Phi^{-1}(u_d) \right), </math>
όπου <math>\Phi^{-1}</math> είναι η αντίστροφη συνάρτηση κατανομής μιας τυποποιημένης κανονικής κατανομής και <math>\Phi_R</math> είναι η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας πολυμεταβλητής κανονικής κατανομής με μέση διανυσματική 0 και πίνακα συνδιασποράς ίσο με τον πίνακα συσχέτισης <math>R</math>. Ενώ δεν υπάρχει καμία απλή αναλυτική φόρμουλα για το επίπεδο λειτουργίας,<math>C_R^{\text{Gauss}}(u)</math>, μπορεί να είναι άνω ή κάτω όρια, και να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας αριθμητική ολοκλήρωση.Η πυκνότητα μπορεί να
: <math> c_R^{\text{Gauss}}(u)
= \frac{1}{\sqrt{\det{R}}}\exp\left(-\frac{1}{2}
Γραμμή 160:
== Προσδοκία για τα μοντέλα του επιπέδου και Monte Carlo ολοκλήρωσης ==
Σε στατιστικές εφαρμογές, πολλά προβλήματα μπορούν να διατυπώνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι ενδιαφέρονται για την προσδοκία της συνάρτησης απόκρισης <math>g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}</math> εφαρμόζεται σε κάποιο τυχαίο διάνυσμα <math>(X_1,\dots,X_d)</math>.<ref>Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance</ref> Αν συμβολίζουμε το cdf από αυτό το τυχαίο διάνυσμα με <math>H</math>, η ποσότητα του ενδιαφέροντος, μπορεί έτσι να γραφτεί ως
: <math> \mathbb{E} \left[ g(X_1,\dots,X_d) \right] = \int_{\mathbb{R}^d} g(x_1,\dots,x_d) \, dH(x_1,\dots,x_d).</math>
Αν <math>H</math> δίνεται από ένα επίπεδο πρότυπο, δηλαδή,
: <math>H(x_1,\dots,x_d)=C(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))</math>
η προσδοκία αυτή μπορεί να ξαναγραφεί ως
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d)) \, dC(u_1,\dots,u_d).</math>
Σε περίπτωση που το επίπεδο '''C''' είναι απολύτως συνεχής, δηλαδή '''C''' έχει πυκνότητα '''c''', η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφτεί ως
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d))\cdot c(u_1,\dots,u_d) \, du_1\dots du_d,</math>
και αν κάθε οριακή κατανομή έχει την πυκνότητα <math>f_i</math> που κατέχει περαιτέρω ότι
: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}g(x_1,\dots x_d)\cdot c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot ... \cdot f_d(x_d) \, dx_1\dots dx_d.</math>
Αν το επίπεδο και τα περιθώρια είναι γνωστά (ή αν έχουν κατ ' εκτίμηση), αυτή η προσδοκία μπορεί να προσεγγιστεί μέσα από το ακόλουθο Monte Carlo αλγόριθμος:
# Σχεδιάστε ένα δείγμα <math>(U_1^k,\dots,U_d^k)\sim C\;\;(k=1,\dots,n)</math> μεγέθους '''n''' από το επίπεδο '''C'''
# Εφαρμόζοντας το αντίστροφο οριακό cdf, παράγει ένα δείγμα <math>(X_1,\dots,X_d)</math> από τη ρύθμιση <math>(X_1^k,\dots,X_d^k)=(F_1^{-1}(U_1^k),\dots,F_d^{-1}(U_d^k))\sim H\;\;(k=1,\dots,n)</math>
# Κατά προσέγγιση <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]</math> από την εμπειρική τιμή:
::: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]\approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(X_1^k,\dots,X_d^k)</math>
== Εμπειρική copulas ==
Γραμμή 185 ⟶ 188 :
Τα συστατικά του ψευδο επίπεδο δείγματα μπορούν επίσης να γραφτεί ως <math>\tilde{U}_k^i=R_k^i/n</math>, πού <math>R_k^i</math> είναι η κατάταξη της παρατήρησης <math>X_k^i</math>:
: <math>R_k^i=\sum_{j=1}^n \mathbf{1}(X_k^j\leq X_k^i)</math>
Ως εκ τούτου,το εμπειρικό επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως η εμπειρική κατανομή της κατάταξης των δεδομένων που έχουν μετατραπεί.
== Εφαρμογές ==
[[Αρχείο:Four_Correlations.png|δεξιά|μικρογραφία|Παραδείγματα διμεταβλητή copulae που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά.]]
== References ==
| |||