Αντιμεταθετικός δακτύλιος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Κάποια συγκεκριμένα είδη αντιμεταθετικών δακτυλίων δίνονται στην παρακάτω αλυσίδα υποσυνόλων:

 

 

 

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασμένο με δύο δυαδικές πράξεις, δηλαδή πράξεις που συνδυάζουν δύο οποιαδήποτε στοιχεία του δακτυλίου με ένα τρίτο. Ονομάζονται ''πρόσθεση'' και ''πολλαπλασιασμός'' και συνήθως συμβολίζονται με <nowiki>''</nowiki>+<nowiki>''</nowiki> και <nowiki>''</nowiki>•<nowiki>''</nowiki>. π.χ. ''α+β'' και ''α•β.'' Για το σχηματισμό του δακτυλίου αυτές οι δύο πράξεις πρέπει να ικανοποιούν κάποιες από προϋποθέσεις: ο δακτύλιος πρέπει να είναι μία αβελιανή ομάδα με πράξη τη συνήθη πρόσθεση και ταυτόχρονα ένα μονοειδές με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Για τον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα δηλ. ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c''). Τα ταυτοτητικά στοιχεία για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό συμβολίζονται με 0 και 1 αντίστοιχα.

 

τότε ο δακτύλιος R ονομάζεται αντιμεταθετικός. Για το υπόλοιπο του άρθρου θα θεωρούμε όλους τους δακτυλίους αντιμεταθετικούς, εκτός αν αναφέρεται ρητά κάτι διαφορετικό.

 

 

Ένα πεδίο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος όταν όλα τα μη-μηδενικά στοιχεία του ''a'' είναι αντιστρέψιμα, δηλ. αν το στοιχείο a έχει έναν αντίστροφο b έτσι ώστε ''a'' ⋅ ''b'' = 1. Επομένως, εξ ορισμού κάθε πεδίο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος. Οι ρητοί, οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί διαμορφώνουν πεδία.