Κοπούλα (θεωρία πιθανοτήτων): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

:*: <math> \int_B dC(u) =\sum_{\mathbf z\in \times_{i=1}^{d}\{x_i,y_i\}} (-1)^{N(\mathbf z)} C(\mathbf z)\ge 0,</math>

:: πού την <math>N(\mathbf z)=\#\{k : z_k=x_k\}</math>.

 

== Το θεώρημα του Sklar ==

Σε στατιστικές εφαρμογές, πολλά προβλήματα μπορούν να διατυπώνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι ενδιαφέρονται για την προσδοκία της συνάρτησης απόκρισης <math>g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}</math> εφαρμόζεται σε κάποιο τυχαίο διάνυσμα <math>(X_1,\dots,X_d)</math>.<ref>Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance</ref> Αν συμβολίζουμε το cdf από αυτό το τυχαίο διάνυσμα με <math>H</math>, η ποσότητα του ενδιαφέροντος, μπορεί έτσι να γραφτεί ως

: <math> \mathbb{E} \left[ g(X_1,\dots,X_d) \right] = \int_{\mathbb{R}^d} g(x_1,\dots,x_d) \, dH(x_1,\dots,x_d).</math>

: <math>H(x_1,\dots,x_d)=C(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))</math>

: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d)) \, dC(u_1,\dots,u_d).</math>

: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d))\cdot c(u_1,\dots,u_d) \, du_1\dots du_d,</math>

: <math>\mathbb{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}g(x_1,\dots x_d)\cdot c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot ... \cdot f_d(x_d) \, dx_1\dots dx_d.</math>

 

== Εμπειρική copulas ==

Ο τύπος επίσης έχει προσαρμοστεί για χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιήθηκε για την εκτίμηση της κατανομής πιθανοτήτων των ζημιών στις πισίνες από δάνεια ή ομόλογα.Οι χρήστες του τύπου έχουν επικριθεί για τη δημιουργία 'αξιολόγησης των πολιτισμών' που συνέχισαν να χρησιμοποιούν την απλή copulae παρά το ότι οι απλές εκδόσεις θεωρούνται ως ανεπαρκείς για το σκοπό αυτό.Κατά τη διάρκεια μειωνεκτηματικού καθεστώτος,ένας μεγάλος αριθμός επενδυτών που κατέχουν θέσεις με πιο ριψοκίνδυνα περιουσιακά στοιχεία, όπως μετοχές ή ακίνητη περιουσία μπορεί να αναζητήσουν καταφύγιο σε 'ασφαλέστερες' επενδύσεις όπως μετρητά ή ομόλογα.Αυτό είναι επίσης γνωστό ως φαινόμενο 'πτήσης' προς την ποιότητα και οι επενδυτές τείνουν να βγουν από τις θέσεις τους σε πιο ριψοκίνδυνα περιουσιακά στοιχεία σε μεγάλους αριθμούς σε σύντομο χρονικό διάστημα.Ως αποτέλεσμα,κατά τη διάρκεια μειωνεκτικών καθεστώτων,συσχετίσεις σε μετοχές είναι μεγαλύτερες αυτό όμως από την άλλη πλευρά μπορεί να έχει καταστροφικές επιπτώσεις για την οικονομία.Για παράδειγμα,συχνά διαβάζουμε οικονομικές ειδήσεις οι οποίες αναφέρουν την απώλεια εκατοντάδων εκατομμυρίων δολαρίων στο χρηματηστήριο μέσα σε μια μια μέρα ωστόσο σπάνια διαβάζονται θετικές αναφορές στη χρηματιστηριακή αγορά με κέρδη του ίδιου μεγέθους και στο ίδιο σύντομο χρονιίκό διάστημα.