Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

[[Αρχείο:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.gif|μικρογραφία|400x400εσ|Η Απεικόνιση ενός μετασχηματισμού Fourier (πάνω αριστερά) και η περιοδική του άθροιση (DTFT) στην κάτω αριστερή γωνία. Οι φασματικές ακολουθίες (a) επάνω δεξιά και (b) κάτω δεξιά, αντίστοιχα, υπολογίζονται από την (α) ένα κύκλο του περιοδικού αθροίσματος s(t) και (β) ένα κύκλο του περιοδικού αθροίσματος της s(nT) ακολουθίας. Οι αντίστοιχοι τύποι είναι (α) το <u title="Σειρές Φουριέ" href="Σειρές Φουριέ">ολοκλήρωμα</u> της [[Σειρές Φουριέ|σ]]<nowiki/>της[[Σειρές Φουριέ|ειρά Fourier]] και (β) του '''DFT''' (διακριτός μετασχηματισμός Fourie) <u>άθροιση</u>. Οι ομοιότητες με το αρχικό μετασχηματισμό, S(f), και η σχετική υπολογιστική ευκολία είναι συχνά το κίνητρο για τον υπολογισμό μιας DFT ακολουθίας.]]

Στα [[μαθηματικά]], ο '''διακριτός μετασχηματισμός Fourier''' ('''DFT''') μετατρέπει μια πεπερασμένη ακολουθία από ισαπέχονταίσα διαστήματα [[Δειγματοληψία σήματος|δείγματαδειγμάτων]] από μια [[Συνάρτηση|λειτουργίασυνάρτηση]] στησε μία λίστα με [[Συντελεστής|συντελεστές]] από ένα πεπερασμένο συνδυασμό ημιτονοειδών [[Μιγαδικός αριθμός|συγκρότημαμιγαδικών αριθμών]] sinusoids, διέταξεκαθορισμένων από τις [[Συχνότητα|συχνότητες]] τους, που έχει τις ίδιες τιμές δείγματος. Αυτό μπορεί να ειπωθεί για τη μετατροπή του δείγματος λειτουργίατης συνάρτησης από τηντο αρχικήαρχικό του τομέαπεδίο ορισμού (συχνά το χρόνο ή τη θέση κατά μήκος της γραμμής) στο πεδίο της συχνότητας.

Η εισαγωγήΤα δείγματα εισαγωγής είναι [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικοί αριθμοί]] (στην πράξη, συνήθως [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούςπραγματικοί αριθμούςαριθμοί]]), και η παραγωγήοι συντελεστές είναιστο πολύπλοκες,αποτέλεσμα καθώςείναι και αυτοί μιγαδικοί . Οι συχνότητες της παραγωγήςτων ημιτονοειδών που προκύπτουν είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας, του οποίου η αντίστοιχη περίοδο είναι το μήκος του διαστήματος δειγματοληψίας. Ο συνδυασμός των ημιτονοειδών που λαμβάνονται μέσω του DFT, είναι επομένως, είναι [[Περιοδική συνάρτηση|περιοδική]] με την ίδια περίοδο. ΗΟ DFT(διακριτός μετασχηματισμός Fourie) διαφέρει από τηντον διακριτού χρόνου μετασχηματισμόςμετασχηματισμό Fourier (DTFT) τηςστην εισόδουείσοδο τους '''και''' εξόδουστο αποτέλεσμα οι ακολουθίες είναι και πεπερασμένοοι δύο πεπερασμένες, είναι ως εκ τούτου, η λεγόμενη ανάλυση Fourier των πεπερασμένων τομέα (ή περιοδικήπεριοδικών) διακριτού χρόνου λειτουργίεςσυναρτήσεων.

Ο DFT είναι τοο πιο σημαντικόσημαντικός διακριτόδιακριτός μετασχηματισμόμετασχηματισμός, που χρησιμοποιείται για να εκτελέσει [[Ανάλυση Φουριέ|την ανάλυση Fourier]] σε πολλές πρακτικές εφαρμογές.<ref>{{Πρότυπο:Cite journal|url=http://www.jstor.org/stable/29775194|title=Wavelets|last=Strang|first=Gilbert|date=May–June 1994|journal=American Scientist|accessdate=8 October 2013|issue=3|volume=82|page=253|quote=This is the most important numerical algorithm of our lifetime...}}</ref> Στην [[ψηφιακή επεξεργασία σήματος]], η λειτουργίασυνάρτηση είναι οποιαδήποτε ποσότητα ή [[Ηλεκτρικό σήμα|σήμα]] που ποικίλει με την πάροδο του χρόνου, όπως η πίεση των [[Ήχος|υγιώνηχητικών κυμάτων]], ραδιόφωνο,ένα σήμα, ραδιοφώνου ή ημερήσιαημερήσιες μετρήσεις της [[θερμοκρασία|θερμοκρασίας]] μετρήσεις, δειγματοληψίες πάνω από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα (συνήθως ορίζεται από έναμία παράθυροσυνάρτηση λειτουργίαπαραθύρου<ref>{{Πρότυπο:Cite journal|url=http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6387265&isnumber=6380557|title=A Novel Windowing Technique for Efficient Computation of MFCC for Speaker Recognition|last=Sahidullah|first=Md.|date=Feb 2013|journal=IEEE Signal Processing Letters|issue=2|doi=10.1109/LSP.2012.2235067|volume=20|pages=149–152|arxiv=1206.2437|bibcode=2013ISPL...20..149S|author2=Saha, Goutam}}</ref>). Στην [[επεξεργασία εικόνας]], τα δείγματα μπορεί να είναι οι τιμές των [[Εικονοστοιχείο|pixels]] κατά μήκος της γραμμής ή της στήλης των εικόνων raster. Ο DFT είναι, επίσης, χρησιμοποιείται για την αποτελεσματική επίλυση [[Μερική διαφορική εξίσωση|μερικών διαφορικών εξισώσεων]], και για να εκτελέσετεεκτελέσει άλλες ενέργειες, όπως οιο [[Συνέλιξη|έλικεςσυσχετισμός συναρτήσεων]] ή ο πολλαπλασιασμός μεγάλων ακεραίων.