|
== Γενικεύσεις ==
=== Εκπροσώπηση θεωρίαθεωρίας ===
Ο DFT μπορεί να ερμηνευθεί ως τοη συγκρότημα-valuedμιγαδική τιμή [[Θεωρία αναπαραστάσεων|εκπροσώπησηεκπροσώπησης θεωρίαθεωρίας]] της πεπερασμένης κυκλικής ομάδας. Με άλλα λόγια, μια ακολουθία από ''n'' μιγαδικοίμιγαδικούς αριθμοίαριθμούς μπορεί να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο του ''n''-διαστάσεωνδιάστατου χώροχώρου συγκρότημαμιγαδικών '''C'''<sup>''n''</sup> ή αντίστοιχα μια συνάρτηση ''f'' από την πεπερασμένη κυκλική ομάδα τάξης ''n'' στοστους μιγαδικούς αριθμούς, το '''Z'''<sub>''n''</sub> → '''C'''. Οπότε ''η f'' είναι μια συνάρτηση κλάσης σχετικά με την πεπερασμένη κυκλική ομάδα, και έτσι μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των αμείωτηαμείωτων χαρακτήρεςχαρακτήρων αυτής της ομάδας, που είναι οι ρίζες της ενότητας.
Από αυτή την άποψη, μπορεί κανείς να γενικεύσει τον DFT για την εκπροσώπηση θεωρία,θεωρίας γενικά, ή πιο στενάειδικά για την [[Θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων|εκπροσώπηση θεωρίαθεωρίας των πεπερασμένων ομάδων]].
ΣεΑκόμα πιο στενό ακόμασυγκεκριμένα, μπορεί κανείς να γενικεύσει το DFT είτε απόαλλάζοντας τηντον αλλαγή του στόχουστόχο (παίρνει τιμές σε ένα πεδίο, εκτός από το μιγαδικοί αριθμοί), ή το domainπεδίο τιμών (ομάδα άλλη από μια πεπερασμένη κυκλική ομάδα), όπως περιγράφεται στη συνέχεια.
=== Άλλα πεδία ===
Πολλές από τις ιδιότητες του DFT εξαρτώνται μόνο από το γεγονός ότι <math>e^{-\frac{2 \pi i}{N}}</math> είναι μια [[Κυκλοτομικό σώμα|πρωτόγονη ρίζα της ενότητας]], μερικές φορές συμβολίζεται με <math>\omega_N</math> ή <math>W_N</math> (έτσι ώστε <math>\omega_N^N = 1</math>). Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την πληρότητα, την καθετότητα, Plancherel/Parseval, περιοδικότητα, shiftαλλαγή, συνέλιξη, και unitarityμεμονομές ιδιότητες παραπάνω, καθώς και πολλάπολλούς FFT αλγόριθμοιαλγόριθμους. Για το λόγο αυτό, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ρίζες της ενότητας σε [[Σώμα (άλγεβρα)|πεδία]] άλλα από των μιγαδικών αριθμών, και τέτοιες γενικεύσεις είναι κοινώς ονομάζεταιγνωστές ως ''αριθμός της θεωρίαςαριθμιτική-θεωρητικοί μετατρέπειμετασχηματισμοί'' (NTTs) στην περίπτωση των [[Πεπερασμένο σώμα|πεπερασμένων πεδίων]]. Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε τον αριθμό[[Αριθμητικός-θεωρητικός τηςμετασχηματισμός|αριθμητικό-θεωρητικό θεωρίας μετατρέψειμετασχηματισμό]] και διακριτόςτον μετασχηματισμόςδιακριτό μετασχηματισμό Fourier (γενικά).
=== Άλλα πεπερασμένωνπεπερασμένα ομάδωνσύνολα ===
Το πρότυπο DFT πράξειςδρα σε μια ακολουθία ''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''N''−1</sub> των μιγαδικών αριθμών, τοη οποίοοποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση {0, 1, ..., ''N'' − 1} → '''C'''. Η πολυδιάστατη DFT πράξειςδρα πολυδιάστατωνσε ακολουθιώνπολυδιάστατες ακολουθίες, ηοι οποίαοποίες μπορείμπορούν να θεωρηθείθεωρηθούν ως λειτουργίεςσυναρτήσεις
: <math> \{0, 1, \ldots, N_1-1\} \times \cdots \times \{0, 1, \ldots, N_d-1\} \to \mathbb{C}. </math>
Αυτό υποδηλώνει την γενίκευση νασε Fourier[[Μετασχηματισμός γιαΦουριέ σε πεπερασμένα σύνολα|μετασχηματισμούς Fourier τηνσε αυθαίρετηαυθαίρετα πεπερασμένωνπεπερασμένα ομάδωνσύνολα]], που δρουν στιςσε συναρτήσεις ''G'' → '''C''' , όπου ''η G'' είναι μια πεπερασμένη ομάδα. Σε αυτό το πλαίσιο, το πρότυπο DFT είναι ο μετασχηματισμός Fourier σε μια κυκλική ομάδα, ενώ η πολυδιάστατη DFT είναι ένας μετασχηματισμός Fourier σε άμεσο άθροισμα των κυκλικών ομάδων.
== Εναλλακτικές λύσεις ==
|
