Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
=== Κυκλική συνέλιξη θεώρημα και συσχέτισή τους θεώρημα ===
Το θεώρημα συνέλιξης για το χρονικό-διακριτό μετασχηματισμό Fourier δείχνει ότι συνέλιξη των δύο άπειρων ακολουθιών μπορούν να ληφθούν ως ο αντίστροφος μετασχηματισμός των προϊόντων των ατομικών μετασχηματισμών. Μια σημαντική απλοποίηση προκύπτει όταν οι ακολουθίες έχουν πεπερασμένο μήκος, '''N'''. Όσον αφορά το DFTΔΜΦ και το αντίστροφο DFTΔΜΦ, μπορεί να γραφτεί ως εξής''':'''
: <math>
\mathcal{F}^{-1} \left \{ \mathbf{X\cdot Y} \right \}_n \ = \sum_{l=0}^{N-1}x_l \cdot (y_N)_{n-l} \ \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \ (\mathbf{x * y_N})_n\ ,
είναι μια πρωτόγονη [[Κυκλοτομικό σώμα|Νιοστή ρίζα της ενότητας]].
 
ΤοΟ αντίστροφοαντίστροφος μετασχηματισμόμετασχηματισμός, στη συνέχεια, δίνεται από τοτον αντίστροφο του παραπάνω πίνακα,
: <math>\mathbf{F}^{-1}=\frac{1}{N}\mathbf{F}^*</math>
Με ενιαίαενιαίες εξομάλυνσηομαλοποιημένες σταθερές <math>1/\sqrt{N}</math>, το DFTΔΜΦ γίνεται έναένας ενιαίοενιαίος μετασχηματισμούμετασχηματισμός, που ορίζεται από μιαέναν ενιαίαενιαίο μήτραπίνακα:
: <math>\mathbf{U}=\mathbf{F}/\sqrt{N}</math>
: <math>\mathbf{U}^{-1}=\mathbf{U}^*</math>
: <math>|\det(\mathbf{U})|=1</math>
όπου ''det()''&#x20; είναι η [[ορίζουσα]] λειτουργίασυνάρτηση. Η ορίζουσα είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών, η οποία είναι πάντα <math>\pm 1</math> ή <math>\pm i</math> όπως περιγράφεται παρακάτω. Σε ένα πραγματικό διανυσματικό χώρο, έναένας ενιαίοενιαίος μετασχηματισμούμετασχηματισμός μπορεί να θεωρηθεί απλά ως απλά έναμία άκαμπτοάκαμπτη περιστροφή του συστήματος συντεταγμένων, καθώς και όλες τιςοι ιδιότητες ενόςμίας στερεούάκαμπτης περιστροφής μπορεί να βρεθεί στοστον ενιαίο DFTΔΜΦ.
 
Η καθετότητα του DFT είναι τώρα εκφράζεται ως orthonormality κατάσταση (η οποία προκύπτει σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, όπως περιγράφεται στην [[Κυκλοτομικό σώμα|ρίζα της ενότητας]]):
25

επεξεργασίες