Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 91:
=== Ανισότητα του Χαρνακ ===
Έστω u μια μη-αρνητική αρμονική συνάρτηση σε ένα [[Φραγμένο σύνολο|φραγμένο]] πεδίο Ω. Τότε για κάθε συνεκτικό [[Σύνολο (μαθηματικά)|σύνολο]]
<math>V \subset \overline{V} \subset \Omega,</math> ισχύει :
Γραμμή 112:
=== Ασθενής αρμονική συνάρτηση ===
Μια συνάρτηση (ή γενικότερα μια [[Κατανομή πιθανότητας|κατανομή]]) είναι ασθενώς αρμονική εάν ικανοποιεί ασθενώς την εξίσωση του Λαπλάς <math>\Delta f = 0\,</math>. Μια ασθενώς αρμονική συνάρτηση συμπίπτει σχεδόν εξ'ολοκλήρου με μια ισχυρά αρμονική συνάρτηση, και είναι συγκεκριμένα, λεία. Μια ασθενώς αρμονική κατανομή είναι ακριβώς η κατανομή εκείνη που σχετίζεται με μια ισχυρώς αρμονική συνάρτηση, είναι όμως επιπλέον και λεία. Αυτό είναι το λήμμα του Γουέιλ.
Υπάρχουν κι άλλες ασθενής φόρμουλες της [[Εξίσωση Λαπλάς|εξίσωσης Λαπλάς]] που είναι συχνά χρήσιμες. Μια από αυτές είναι η αρχή του Ντιριχλετ. Η αρχή αυτή αναπαριστά τις αρμονικές συναρτήσεις ''H''<sup>1</sup>(Ω) στο χώρο του Σομπολεφ, σαν ελαχιστοποιητές του ολοκληρώματος της ενέργειας του Ντιριχλετ
<math>J(u):=\int_\Omega |\nabla u|^2\, dx</math>
Γραμμή 121:
=== Αρμονικές συναρτήσεις σε πολλαπλότητες ===
Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι δυνατόν να οριστούν σε μια τυχαία [[πολλαπλότητα]] Ριμαν, χρησιμοποιώντας τον [[Τελεστής Λαπλάς|τελεστή Λαπλας]]-Μπελτραμι Δ. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, μια συνάρτηση ονομάζεται αρμονική αν και μόνον εάν <math>\ \Delta f = 0.</math>
Πολλές από τις ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων σε πεδία στον Ευκλείδιο χώρο, μεταφέρονται σε αυτό το πιο γενικό περιβάλλον, συμπεριλαμβανομένων του θεωρήματος μέσου όρου (πάνω σε γεοδεσιακές μπάλες), της αρχής του μεγίστου, και της ανισότητας του Χαρνακ. Με μόνη εξαίρεση το θεώρημα του μέσου όρου, αυτές είναι όλες συνέπειες των αντίστοιχων αποτελεσμάτων για γενικές γραμμικές ελλειπτικές μερικές [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]], δεύτερης τάξης.
=== Υφαρμονικές συναρτήσεις ===
Μια ''C''<sup>2</sup> συνάρτηση για την οποία ισχύει Δ''f'' ≥ 0, ονομάζεται υφαρμονική. Η συνθήκη αυτή εγγυάται ότι η αρχή του μεγίστου ισχύει, παρ' όλο που άλλες ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων υπάρχει περίπτωση να μην ισχύουν. Γενικότερα, μια συνάρτηση είναι υφαρμονική αν και μόνο αν, στο εσωτερικό κάθε μπάλας στο πεδίο ορισμού της, το [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γράφημά]] της βρίσκεται κάτω από το γράφημα της αρμονικής συνάρτησης που παρεμβάλλεται μεταξύ των συνοριακών τιμών της μπάλας.
=== Αρμονικές μορφές ===
Μια γενίκευση πάνω στη μελέτη των αρμονικών συναρτήσεων είναι η μελέτη των αρμονικών μορφών σε πολλαπλότητες Ριμαν, η οποία σχετίζεται με τη μελέτη της ομολογίας. Ακόμη είναι πιθανό να οριστούν αρμονικές διανυσματικές συναρτήσεις, ή αρμονικοί χάρτες δυο πολλαπλοτήτων Ριμαν, που είναι κρίσιμα σημεία μιας γενικευμένης συναρτησιακής ενέργειας του Ντιριχλετ. Αυτό το είδος αρμονικών χαρτών εμφανίζεται στη θεωρία των ελαχίστων επιφανειών. Για παράδειγμα, μια [[καμπύλη]], δηλαδή μια απεικόνιση από ένα διάστημα στο '''R''' σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν, θα είναι αρμονικός χάρτης αν και μόνο αν είναι γεοδεσιακή.
=== Αρμονικές απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων ===
<blockquote>Εάν Μ και Ν είναι δυο πολλαπλότητες Ριμαν, τότε μια αρμονική απεικόνιση u: M <math>\rightarrow</math> N ορίζεται να είναι ένα κρίσιμο σημείο της ενέργειας Ντιριχλετ</blockquote><blockquote><math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math></blockquote><blockquote>όπου {{nowrap|''du'' : ''TM'' → ''TN''}} είναι το διαφορικό της u, και η νόρμα είναι αυτή που συμπεριλαμβάνεται από τη μετρική στο Μ και αυτή στο Ν στο εξωτερικό γινόμενο ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>−1</sup> ''TN.''</blockquote>Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις αρμονικών απεικονίσεων μεταξύ πολλαπλοτήτων αποτελούν οι ελάχιστες επιφάνειες, οι οποίες είναι ακριβώς εκείνες οι αρμονικές ενθέσεις μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Γενικότερα,οι ελάχιστες υποπολλαπλότητες είναι αρμονικές ενθέσεις μιας πολλαπλότητας στην άλλη. Οι αρμονικές [[συντεταγμένες]] είναι αρμονικοί διφεομορφισμοί από μια πολλαπλότητα σε ένα ανοιχτό [[υποσύνολο]] της ίδιας [[Διάσταση|διάστασης]] στον Ευκλείδειο χώρο.
| |||