Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση του z[[Μετασχηματισμός-Z|μετασχηματισμού-z]], με τιμές στον μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου.Περισσότερο γενικοί z-μετασχηματισμοί αντιστοιχούν στις μετατοπίσεις μιγαδικών ''α'' και ''β'' ανωτέρω.

Το συνηθισμένο DFT μετατρέπει μια μονοδιάστατη ακολουθία ή [[Πίνακας (μαθηματικά)|σειρά]] <math>x_n</math> που είναι μια συνάρτηση με ακριβώς μία διακριτή μεταβλητή n. Ο πολυδιάστατος DFT ενός πολυδιάστατου πίνακα <math>x_{n_1, n_2, \dots, n_d}</math> που είναι συνάρτηση των ''d'' διακριτών κεταβλητώνμεταβλητών <math>n_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math> για <math>\ell</math> σε <math>1, 2, \dots, d</math> , ορίζεται από:

όπου <math>\omega_{N_\ell} = \exp(-2\pi i/N_\ell)</math> ως ανωτέρω και το ''δ'' δείκτες εξόδου με τιμές από <math>k_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math>. Αυτό είναι πιο συμπαγώς εκφράσμένο σε [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματική]] μορφή, όπου ορίζουμε <math>\mathbf{n} = (n_1, n_2, \dots, n_d)</math> και <math>\mathbf{k} = (k_1, k_2, \dots, k_d)</math> ως ''d''-διαστάσεων διανύσματαταδιανύσματα των δεικτών από 0 μέχρι <math>\mathbf{N} - 1</math>, το οποίο ορίζουμε ως <math>\mathbf{N} - 1 = (N_1 - 1, N_2 - 1, \dots, N_d - 1)</math>:

όπου η διαίρεση <math>\mathbf{n} / \mathbf{N}</math> ορίζεται ως <math>\mathbf{n} / \mathbf{N} = (n_1/N_1, \dots, n_d/N_d)</math> να είναι ο μετασχηματισμός φουριέΦουριέ, και το άθροισμα εκφράζει το σύνολο των ένθετων αθροίσεων παραπάνω.

Όπως ο μονοδιάστατος DFT εκφράζει την τιμή εισόδου <math>x_n</math> ως υπέρθεση των ημιτονοειδών, ο πολυδιάστατος DFT εκφράζει την τιμή εισόδου ως υπέρθεση των [[Επίπεδο κύμα|επίπεδων κυμάτων]], ή πολυδιάστατα ημιτονοειδή. Η κατεύθυνση της ταλάντωσης στο χώρο είναι <math>\mathbf{k} / \mathbf{N}</math>. Τα πλάτη είναι <math>X_\mathbf{k}</math>. Αυτή η αποσύνθεση είναι μεγάλης σημασίας για τα πάντα, από την [[ψηφιακή επεξεργασία εικόνας]] (δύο διαστάσεων) ως την επίλυση [[Μερική διαφορική εξίσωση|μερικών διαφορικών εξισώσεων]]. Η λύση χωρίζεται σε επίπεδα κύματα.

Ο πολυδιάστατος DFT μπορεί να υπολογιστεί από την [[Σύνθεση συνάρτησης|σύνθεση]] μιας ακολουθίας μονοδιάστατων DFTs κατά μήκος κάθε διάστασης. Στη δισδιάστατη περίπτωση <math>x_{n_1,n_2}</math> η <math>N_1</math> ανεξαρτήτως DFTs των σειρών (δηλ.δηλαδή, κατά μήκος <math>n_2</math>), υπολογίζεται πρώτα για να σχηματίσει έναν νέο πίνακα <math>y_{n_1,k_2}</math>. Στη συνέχεια, η <math>N_2</math> ανεξαρτήτως DFTs του ''y'' κατά μήκος των στηλών (κατά μήκος <math>n_1</math>) υπολογίζεται για να διαμορφώσει το τελικό αποτέλεσμα <math>X_{k_1,k_2}</math>. Εναλλακτικά, οι στήλες μπορεί να υπολογιστούν πρώτα και στη συνέχεια οι σειρές. Η σειρά δεν έχει σημασία, επειδή οι ένθετες αθροίσεις παραπάνω [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμετατίθενται.]]

Ο DFT έχει ευρεία χρήση σε πολλούς τομείς.Εδώ απλά δίνονται μερικά σκίτσα σαν παραδείγματα παρακάτω (βλέπε επίσης τις αναφορές στο τέλος). Όλες οι εφαρμογές του DFT εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τη διαθεσιμότητα ενός γρήγορου αλγόριθμου για τον υπολογισμό DFTs και των αντιστρόφωναντίστροφων,ενός fast[[Ταχύς FourierΜετασχηματισμός transformΦουριέ|ταχύ μετασχηματισμού Φουριέ]].

Όταν ο DFT χρησιμοποιείται για [[Ανάλυση Φουριέ|σημειακή φασματική ανάλυση]], η <math>\{x_n\}\,</math> ακολουθία συνήθως αντιπροσωπεύει ένα πεπερασμένο σύνολο ομοιόμορφα κατανεμημένων χρονικών δειγμάτων κάποιου σήματος <math>x(t)\,</math>, όπου ''t'' είναι ο χρόνος. Η μετατροπή από το συνεχή χρόνο σε δείγματα (διακριτός χρόνος) αλλάζει το υποκείμενο [[Μετασχηματισμός Φουριέ|μετασχηματισμός Fourier]] του x(t) σε ένα [[Διακριτού χρόνου μετασχηματισμός Fourier|διακριτού χρόνου μετασχηματισμό Fourier]] (DTFT), το οποίο συνήθως συνεπάγεται ένα είδος παραμόρφωσης που λέγεται [[aliasing]].Η επιλογή κατάλληλου δείγματος ρυθμού (βλέπε ''Nyquist rate'') είναι το κλειδί για την ελαχιστοποίηση αυτής της στρέβλωσης. Επίσης, η μετατροπή από μία πολύ μεγάλη (ή άπειρη) ακολουθία σε ένα διαχειρίσιμο μέγεθος συνεπάγεται ένα είδος παραμόρφωσης που ονομάζεται ''[[Φασματική Διαρροή|διαρροή]]'', η οποία εκδηλώνεται ως απώλεια λεπτομέρειας.κ.α. ψήφισμα) του DTFT. Η επιλογή κατάλληλου μήκους υπο-ακολουθίας είναι το κύριο κλειδί για την ελαχιστοποίηση αυού του αποτελέσματος. Όταν τα διαθέσιμα δεδομένα (και ο χρόνος για να το επεξεργαστεί) είναι περισσότερα από το ποσό που απαιτείται για να επιτευχθεί η επιθυμητή ανάλυση συχνότητας, μια βασική τεχνική είναι να εκτελέσετε πολλούς DFTs, για παράδειγμα, για να δημιουργήσετε ένα [[φασματογράφημα]]. Αν το επιθυμητό αποτέλεσμα είναι ένα φάσμα ισχύος και ο θόρυβος ή η τυχαιότητα παρουσιάζονται στα δεδομένα, κατά μέσο όρο το μέγεθος των συστατικών των πολλαπλών DFTs είναι μια χρήσιμη διαδικασία για τη μείωση της [[Διακύμανση|διασποράς]] του φάσματος (που ονομάζεται επίσης ένα [[περιοδόγραμμα]] σε αυτό το πλαίσιο) . Δύο παραδείγματα τέτοιων τεχνικών είναι η [[Μέθοδος Welch|Welch μέθοδος]] και η [[μέθοδος Bartlett]], το γενικό αντικείμενο της εκτίμησης του φάσματος ισχύος ενός θορυβώδες σήματος ονομάζεται [[φασματική εκτίμηση]].

* Η διαδικασία είναι μερικές φορές αναφέρεται ως ''zero-padding'', η οποία είναι μια συγκεκριμένη εφαρμογή που χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με τον αλγόριθμο fastτου [[Ταχύς Μετασχηματισμός Φουριέ|ταχύ Fourierμετασχηματισμού transformΦουριέ]] (FFT). Η αναποτελεσματικότητα της εκτέλεσης πολλαπλασιασμών και προσθέσεων με το μηδενικής τιμής "δείγματα" είναι περισσότερη από ότι αντισταθμίζεται από την εγγενή αποτελεσματικότητα του FFT.

Οι διακριτοί μετασχηματισμοί Φουριέ χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση [[Μερική διαφορική εξίσωση|μερικών διαφορικών εξισώσεων]], όπου και πάλι ο DFT χρησιμοποιείται ως προσέγγιση για τη [[Σειρές Φουριέ|σειρά Fourier]] (που ανακτάται στο όριο άπειρο ''N''). Το πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι επεκτείνει το σήμα σε εκθετική συνάρτηση μιγαδικών ''ε''^''inx'', ταη οποία είναι ιδιοσυναρτήσηςιδιοσυνάρτηση διαφορικών: ''d''/''dx'' ''e''^''inx'' = ''σ'' ''e''^''inx''. Έτσι, στην αναπαράσταση Fourier , η παραγώγιση είναι απλή—απλά πολλαπλασιάστε με i n. (Σημειώστε, ωστόσο, ότι η επιλογή του ''n'' δεν είναι μοναδική . Για να είναι η μέθοδος συγκλίνουσα, μια επιλογή παρόμοια με εκείνη στο τριγωνομετρική[[Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ|τριγωνομετρικό τμήμα παρεμβολής]] παραπάνω θα πρέπει να χρησιμοποιείται.) Μια [[γραμμική διαφορική εξίσωση]] με σταθερούς συντελεστές μετατρέπεται σε μια εύκολα επιλύσιμη αλγεβρική εξίσωση. Ένα, στη συνέχεια, χρησιμοποιεί το αντίστροφο DFT για να μετατρέψει το αποτέλεσμα πίσω στοστη κανονική διαστηματική αναπαράσταση. Η προσέγγιση αυτή ονομάζεται [[φασματική μέθοδος]].

Αυτό υποδηλώνει την γενίκευση σε [[Μετασχηματισμός Φουριέ σε πεπερασμένα σύνολα|μετασχηματισμούς Fourier σε αυθαίρετα πεπερασμένα σύνολα]], που δρουν σε συναρτήσεις ''G'' → '''C''' , όπου ''η G'' είναι μια πεπερασμένη[[πεπερασμένο ομάδασύνολο]]. Σε αυτό το πλαίσιο, το πρότυπο DFT είναι ο μετασχηματισμός Fourier σε μια κυκλική ομάδα, ενώ η πολυδιάστατη DFT είναι ένας μετασχηματισμός FourierΦουριέ σε άμεσο άθροισμα των κυκλικών ομάδων.