Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 17:
Το θεώρημα που αναφέρεται παραπάνω μπορεί να γενικευτεί. Ο κύκλος ''γ'' μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε [[Rectifiable curve|καμπύλη με υπολογίσιμο μήκος]] στο ''U'' η οποία έχει ένα [[Δείκτης στροφής|δείκτη στροφής]] περίπου a. Επιπλέον, όσον αφορά το ολοκληρωτικό θεώρημα του Κωσύ, αρκεί η ''f'' να είναι ολόμορφη στην ανοικτή περιοχή που περικλείεται από την καμπύλη και συνεχής στη [[κλειστή περιοχή]].
Σημειώστε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση στο σύνορο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει μια συνάρτηση εντός του συνόρου που να ταιριαζει με το δοσμένο σύνορο της συνάρτησης. Για παράδειγμα, αν βάλουμε στη συνάρτηση, που ορίζεται για |''z''|=1, <math>f(z)=1/z</math> στον ολοκληρωτικό τύπο του Κωσύ, θα πάρουμε μηδέν για όλα τα σημεία στο εσωτερικό του κύκλου.Στην πραγματικότητα, δίνοντας μόνο το πραγματικό μέρος στο σύνορο της ολόμορφης συνάρτησης είναι αρκετό για να προσδιοριστεί η συνάρτηση [[Μέχρι μία|από μια]] φανταστική σταθερά– υπάρχει μόνο ένα φανταστικό μέρος για το σύνορο που αντιστοιχεί στο δοσμένο πραγματικό μέρος, από μια σταθερα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα συνδυασμό από ένα [[μετασχηματισμό Mέμπιους]] και τον [[αντίστροφο τύπο του Stieltjes]] για την κατασκευή της ολόμορφης συνάρτησης από το πραγματικό μέρος στο σύνορο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση <math>f(z)=i-iz</math> έχει πραγματικό μέρος <math>Re(f(z))=Im(z)</math>. Στο μονάδιαίο κύκλο ,αυτό μπορεί να γραφτεί <math>(i/z-iz)/2</math> . Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Μέμπιους και τον τύπο του Stieltjes κατασκευάζουμε την συνάρτηση μεσα στον κύκλο. Ο όρος ''i/z'' δεν αλλάζεi, και βρίσκουμε τη συνάρτηση <math>-iz</math>. Αυτή έχει το σωστό πραγματικό μέρος στο σύνορο και επίσης μας δίνει το αντίστοιχο φανταστικό μέρος, από μια σταθερά, που ονομάζεται ''i.''
==
Χρησιμοποιώντας το ολοκληρωτικό θεώρημα του Κωσύ, μπορεί κανείς να δείξει ότι το ολοκλήρωμα πάνω από το ''C'' (ή την καμπύλη με υπολογίσιμο μήκος) είναι ίσο με το ίδιο ολοκλήρωμα που παίρνουμε
<math>\oint_C \frac{1}{z-a} \,dz = 2 \pi i,</math>
Γραμμή 110:
:: <math>f(\zeta) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz.</math>
:
: Ο τύπος επίσης χρησιμοποιείται για να αποδείξει το [[Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολείπων|θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολείπων]], το οποίο είναι αποτέλεσμα των [[Μερομορφική συνάρτηση|μερόμορφων συναρτήσεων]], και ένα σχετικό αποτέλεσμα του [[Πρωτεύον όρισμα|πρωτεύοντος ορίσματος]]. Είναι γνωστό απο το [[θεώρημα του Μορέρα]] ότι το ομοιόμορφο όριο σύγλισης των ολόμορφων συναρτήσεων είναι ολομορφικό. Αυτό προκύπτει επίσης και από τον ολοκληρωτικό τύπο του Κωσύ : πράγματι ο τύπος κατέχει το όριο και το ολοκλήρωμα και ως εκ τούτου το ολοκλήρωμα, μπορεί να αναπτυχθεί ως δυναμοσειρά. Επιπρόσθετα, ο
:
: Ο ανάλογος του ολοκληρωτικού τύπου του Κωσύ, στην πραγματική ανάλυση, είναι ο [[ολοκληρωτικός τύπος Πουασόν]] για [[Αρμονική συνάρτηση|αρμονικές συναρτήσεις]] και πολλά από τα αποτελέσματα αυτά για τις ολόμορφες συναρτήσεις μεταφέρονται με αυτήν την αναλογία. Κανένα τέτοιο αποτελέσματα, ωστόσο, δεν είναι έγκυρο για τις περισσότερες γενικές τάξεις των διαφορίσιμων ή πραγματικών αναλυτικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η ύπαρξη της πρώτης παραγώγου μιας πραγματικής συνάρτησης δεν συνεπάγεται την ύπαρξη μεγαλύτερης τάξης παραγώγων, αλλά ειδικότερα ούτε και την αναλυτικότητα της συνάρτησης. Ομοίως, το ομοιόμορφο όριο σύγκλισης μιας ακολουθίας (πραγματικής) διαφορίσιμων συναρτήσεων ενδέχεται να μην είναι διαφορίσιμο, ή μπορεί να είναι διαφορίσιμο, αλλά με παράγωγο, η οποία δεν είναι το όριο των παραγώγων των στοιχείων της ακολουθίας.
Γραμμή 159:
=== Στην άλγεβρα των πραγματικών ===
Ο ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ γενικεύεται σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους με δύο ή περισσότερες διαστάσεις. Η επίγνωση αυτής της ιδιότητας προέρχεται από
Ο Γεωμετρικός λογισμός προσδιορίζει ένα διαφορικό τελεστή <math>\nabla = \hat e_i \partial_i</math> υπό το γεωμετρικό γινόμενο—που είναι, για ένα <math>k</math>-διανυσματικό πεδίο <math>\psi(\vec r)</math>, η παράγωγος <math>\nabla \psi</math> γενικά περιέχει όρους βαθμού <math>k+1</math> και <math>k-1</math>. Για παράδειγμα, ένα διανυσματικό πεδίο (<math>k=1</math>) γενικά έχει στην παράγωγο ένα μονόμετρο μέρος, την απόκλιση (<math>k=0</math>), και ένα δινυσματικό μέρος, το στροβιβλισμό (<math>k=2</math>). Αυτόν τον συγκεκριμένο διαφορικό τελεστή έχει η [[συνάρτηση του Γκρίν:]]
| |||