Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
 
=== Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα ===
Οι [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|ιδιοτιμές]] του DFT matrixπίνακα είναι απλόαπλές και γνωστόγνωστές, ότι τα [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|ιδιοδιανύσματα]] είναι περίπλοκοπερίπλοκα, δεν είναι μοναδικήμοναδικά, και αποτελούν αντικείμενο της εν εξελίξει έρευνας.
 
Σκεφτείτε την ενιαία μορφή <math>\mathbf{U}</math> που ορίζεται ανωτέρωπαραπάνω για τον DFT μήκους ''N'', όπου
: <math>\mathbf{U}_{m,n} = \frac1{\sqrt{N}}\omega_N^{(m-1)(n-1)} = \frac1{\sqrt{N}}e^{-\frac{2\pi i}N (m-1)(n-1)}.</math>
ΗΟ μήτραπίνακας αυτήαυτός ικανοποιεί την εξίσωση [[Πίνακας (μαθηματικά)|πολυωνυμικού πίνακα]]:
: <math>\mathbf{U}^4 = \mathbf{I}.</math>
Αυτό μπορούμε να το δούμε από τηντις αντίστροφηαντίστροφες ιδιότητες παραπάνω: λειτουργούν <math>\mathbf{U}</math> δύο φορές δίνειδίνοντας τα αρχικά δεδομένα σε αντίστροφη σειρά, έτσι ώστε το λειτουργικόλειτουργώντας <math>\mathbf{U}</math> τέσσερις φορές δίνει πίσω τα αρχικά δεδομένα και έτσιεπισης οτον [[Πίνακας (μαθηματικά)|ταυτοτικός πίνακας]]. Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές <math>\lambda</math> ικανοποιούν την εξίσωση:
: <math>\lambda^4 = 1.</math>
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές του <math>\mathbf{U}</math> είναι ηοι τέταρτητέσσερις [[Κυκλοτομικό σώμα|ρίζες της ενότητας]]: <math>\lambda</math> +1, -1, +''i'', −''i''.
 
Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο τέσσερις διακριτές ιδιοτιμές για αυτό το <math>N\times N</math> matrix, έχουν κάποια [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|πολλαπλότητα]]. Η πολλαπλότητα δίνει τον αριθμό των [[Διανυσματικός χώρος|γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων]] που αντιστοιχούν σε κάθε ιδιοτικών. (Σημειώστε ότι υπάρχουν ''N'' ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, μια ενιαία μήτρα δεν είναι [[Πίνακας (μαθηματικά)|ελαττωματικό]].)
25

επεξεργασίες