|
Ενώ η τυπική απόκλιση μετρά πόσο μακριά οι τυπικές τιμές τείνουν να είναι από τη μέση τιμή, υπάρχουν και άλλα μέτρα διαθέσιμα. Ένα παράδειγμα είναι η [[μέση απόλυτη απόκλιση]], η οποία θα μπορούσε να θεωρηθεί ένα πιο άμεσο μέτρο της μέσης απόστασης, σε σύγκριση με την μέση [[τετραγωνική ρίζα της απόστασης]] είναι συνυφασμένη με την τυπική απόκλιση.
=== Παραδείγματα Εφαρμογών ===
Η πρακτική αξία της κατανόησης της τυπικής απόκλισης ενός συνόλου τιμών βρίσκεται στην εκτίμηση της απομάκρυνσης που υπάρχει από το μέσο όρο.
==== Πείραμα, βιομηχανική και έλεγχος υποθέσεων ====
Η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται συχνά για την σύγκριση πραγματικών δεδομένων σε σχέση με ένα μοντέλο για να ελεγχθεί το μοντέλο. Για παράδειγμα, σε βιομηχανικές εφαρμογές, το βάρος των προϊόντων που προέρχονται από μια γραμμή παραγωγής μπορεί να πρέπει να έχει συγκεκριμένη τιμή. Με ζύγιση κάποιου ποσοστού των προϊόντων, το μέσο βάρος μπορεί να βρεθεί, το οποίο θα είναι πάντα ελαφρώς διαφορετικό από το μακροπρόθεσμο μέσο όρο. Με τη χρήση τυπικών αποκλίσεων μια ελάχιστη και μέγιστη τιμή μπορεί να υπολογιστεί έτσι ώστε η μέση τιμή βάρους να είναι μέσα σε πολύ υψηλό ποσοστό (99,9% ή περισσότερο). Αν πέσει έξω από την περιοχή, τότε η διαδικασία παραγωγής μπορεί να χρειαστεί να διορθωθεί. Στατιστικοί έλεγχοι όπως αυτοί είναι ιδιαίτερα σημαντικοί όταν ο έλεγχος είναι ιδιαίτερα ακριβός. Για παράδειγμα, εάν το προϊόν πρέπει να ανοιχθεί και να στραγγιστεί και να ζυγιστεί, ή αν το προϊόν είχε χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή.
Στην πειραματική επιστήμη χρησιμοποιείται ένα θεωρητικό μοντέλο της πραγματικότητας. Η [[Φυσική]] Στοιχειωδών Σωματιδίων χρησιμοποιεί συμβατικά ένα πρότυπο "5 σίγμα" για τη δήλωση μιας ανακάλυψης.<ref>{{Cite web|url=http://public.web.cern.ch/public/|title=CERN | Accelerating science|publisher=Public.web.cern.ch|accessdate=2013-08-10}}</ref> Ένα επίπεδο-πέντε σίγμα μεταφράζεται σε μία περίπτωση στα 3,5 εκατομμύρια όπου η τυχαία διακύμανση θα αποδώσει το αποτέλεσμα. Αυτό το επίπεδο βεβαιότητας ήταν απαραίτητο, προκειμένου να βεβαιώσει ότι ένα σωματίδιο σύμφωνο με το [[μποζόνιο Higgs]] είχε ανακαλυφθεί σε δύο ανεξάρτητα πειράματα στο CERN<ref>{{Cite web|url=http://press-archive.web.cern.ch/press-archive/PressReleases/Releases2012/PR17.12E.html|title=CERN experiments observe particle consistent with long-sought Higgs boson | CERN press office|date=2012-07-04|publisher=Press.web.cern.ch|accessdate=2015-05-30}}</ref>, και αυτό ήταν και το επίπεδο σημαντικότητας που οδήγησε στη δήλωση της πρώτης ανίχνευσης των [[Βαρυτικά κύματα|βαρυτικών κυμάτων]]. <ref>{{Citation|title=Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger|year=2016|journal=Physical Review Letters|volume=116|issue=6|pages=061102|arxiv=1602.03837|DOI=10.1103/PhysRevLett.116.061102|vauthors=((LIGO Scientific Collaboration)), ((Virgo Collaboration))}}</ref>
==== Καιρός ====
Ως ένα απλό παράδειγμα, να εξετάσετε τις μέσες ημερήσιες μέγιστες θερμοκρασίες για δύο πόλεις, μία στην ενδοχώρα και μία στην ακτή. Είναι χρήσιμο να κατανοήσουμε ότι το εύρος στις καθημερινές μέγιστες θερμοκρασίες για τις πόλεις κοντά στην ακτή είναι μικρότερη από ό, τι για τις πόλεις ενδοχώρα. Έτσι, ενώ οι δύο αυτές πόλεις μπορούν να έχουν την ίδια μέγιστη μέση θερμοκρασία, η τυπική απόκλιση της μέγιστης ημερήσιας θερμοκρασίας για την παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από εκείνη του ενδοχώρα πόλης καθώς, σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη ημέρα, η πραγματική μέγιστη θερμοκρασία είναι πιο πιθανό να είναι μακρύτερα από την μέση μέγιστη θερμοκρασία για την ενδοχώρα της πόλης από ό,τι για την παράκτια.
==== Οικονομία ====
Στα οικονομικά, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο του [[Κίνδυνος|κινδύνου]] που συνδέεται με την διακύμανση της τιμής ενός συγκεκριμένου περιουσιακού στοιχείου<ref>{{Cite web|url=http://www.edupristine.com/blog/what-is-standard-deviation|title=What is Standard Deviation|publisher=Pristine|accessdate=2011-10-29}}</ref> (μετοχές, ομόλογα, ακίνητα, κλπ), ή ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου των περιουσιακών στοιχείων (ενεργά διαχειριζόμενων αμοιβαίων κεφαλαίων , ο δείκτης αμοιβαίων κεφαλαίων, ή ETFs). Ο κίνδυνος είναι ένας σημαντικός παράγοντας στον καθορισμό του πώς να διαχειριστεί αποτελεσματικά ένα χαρτοφυλάκιο επενδύσεων, διότι καθορίζει τη διακύμανση στην απόδοση του περιουσιακού στοιχείου ή / και του χαρτοφυλακίου, και δίνει στους επενδυτές μια μαθηματική βάση για τη λήψη επενδυτικών αποφάσεων (γνωστό ως [[βελτιστοποίηση μέσης διακύμανσης]]). Η βασική έννοια του κινδύνου είναι ότι καθώς αυτός αυξάνει, η αναμενόμενη απόδοση της επένδυσης θα πρέπει να αυξηθεί επίσης, μία αύξηση γνωστή ως ασφάλιστρο κινδύνου. Με άλλα λόγια, οι επενδυτές θα πρέπει να αναμένουν υψηλότερη απόδοση μιας επένδυσης, όταν η επένδυση φέρει ένα υψηλότερο επίπεδο κινδύνου ή αβεβαιότητας. Κατά την αξιολόγηση των επενδύσεων, οι επενδυτές θα πρέπει να εκτιμήσουν τόσο την αναμενόμενη απόδοση όσο και την αβεβαιότητα των μελλοντικών αποδόσεων. Η τυπική απόκλιση παρέχει μια ποσοτική εκτίμηση της αβεβαιότητας των μελλοντικών αποδόσεων.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένας επενδυτής είχε να επιλέξει ανάμεσα σε δύο μετοχές. Η μετοχή Α κατά τα τελευταία 20 χρόνια είχε μια μέση απόδοση των 10 τοις εκατό, με τυπική απόκλιση 20 [[Ποσοστό|ποσοστιαίες μονάδες]] (π.μ.) και η μετοχή Β, κατά την ίδια περίοδο, είχε μέση απόδοση του 12 τοις εκατό, αλλά σε υψηλότερη τυπική απόκλιση των 30 (π.μ.). Με βάση τον κίνδυνο και την απόδοση, ο επενδυτής μπορεί να αποφασίσει ότι η μετοχή Α είναι η ασφαλέστερη επιλογή, διότι οι πρόσθετες δύο ποσοστιαίες μονάδες κέρδους της μετοχής Β δεν αξίζουν τις επιπλέον 10 ποσοστιαίες μονάδες της τυπικής απόκλισης (μεγαλύτερος κίνδυνος ή αβεβαιότητα της προσδοκώμενης απόδοσης). Η μετοχή Β είναι πιο πιθανό να υπολείπεται της αρχικής επένδυσης (αλλά και να υπερβεί την αρχική επένδυση) πιο συχνά από ό, τι η μετοχή Α υπό τις ίδιες συνθήκες, και εκτιμάται ότι θα επιστρέψει μόνο δύο τοις εκατό περισσότερο κατά μέσο όρο. Σε αυτό το παράδειγμα, η μετοχή Α αναμένεται να κερδίσει περίπου 10 τοις εκατό, συν ή πλην 20 (π.μ.) (ένα εύρος από 30 τοις εκατό έως -10 τοις εκατό), περίπου τα δύο τρίτα των μελλοντικών αποδόσεων του έτους. Κατά την εξέταση πιο ακραίων δυνατών αποδόσεων ή αποτελεσμάτων στο μέλλον, ο επενδυτής θα πρέπει να περιμένει τα αποτελέσματα από το 10 τοις εκατό συν ή πλην 60 (π.μ.) ή ένα εύρος από 70 τοις εκατό έως -50 τοις εκατό, το οποίο περιλαμβάνει τα αποτελέσματα για τρεις τυπικές αποκλίσεις από τη μέση απόδοση (περίπου 99,7 τοις εκατό των πιθανών αποδόσεων).
Ο υπολογισμός του μέσου όρου (ή του αριθμητικού μέσου όρου) για την επιστροφή της εγγύησης κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης περιόδου θα πρέπει να δημιουργήσει την αναμενόμενη απόδοση του περιουσιακού στοιχείου. Για κάθε περίοδο, αφαιρώντας την αναμενόμενη απόδοση από την πραγματική επιστρέφει τη διαφορά από τη μέση. Τετραγωνίζοντας τη διαφορά σε κάθε περίοδο και λαμβάνοντας το μέσο όρο δίνει την συνολική διακύμανση της επιστροφής του περιουσιακού στοιχείου. Όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση, τόσο μεγαλύτερο κίνδυνο μεταφέρει η ασφάλεια. Βρίσκοντας την τετραγωνική ρίζα αυτής της διακύμανσης θα δώσει την τυπική απόκλιση του εργαλείου της εν λόγω επένδυσης.
Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού χρησιμοποιείται για να οριστεί το πλάτος Bollinger Bands, ένα ευρέως γνωστό εργαλείο [[Τεχνική ανάλυση|τεχνικής ανάλυσης]]. Για παράδειγμα, το άνω Bollinger Band δίνεται ως {{Nowrap|<span style{{=}}"text-decoration:overline;">''x''</span> + ''nσ<sub>x</sub>''.}} Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη τιμή για το n είναι 2, υπάρχει περίπου πέντε τοις εκατό πιθανότητα να πέσει έξω, υποθέτοντας μια κανονική κατανομή των αποδόσεων.
Οικονομικές χρονολογικές σειρές είναι γνωστό ότι είναι μη στάσιμες σειρές, ενώ οι στατιστικοί υπολογισμοί παραπάνω, όπως η τυπική απόκλιση, ισχύουν μόνο για σταθερές σειρές. Για να εφαρμοστούν τα παραπάνω στατιστικά εργαλεία για τις μη στάσιμες σειρές, η σειρά πρέπει πρώτα να μετατραπεί σε στάσιμη σειρά, επιτρέποντας τη χρήση των στατιστικών εργαλείων που έχουν τώρα μια έγκυρη βάση από την οποία μπορούν να δουλέψουν.
=== Γεωμετρική Ερμηνεία ===
|
