|
Ο αριθμός '''{{pi}}''' είναι μια [[μαθηματική σταθερά]] οριζόμενη ως ο [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] της [[Περιφέρεια (μαθηματικά)|περιφέρειας]] προς τη [[διάμετρος|διάμετρο]] ενός [[κύκλος|κύκλου]], ενώ με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων είναι ίση με {{mvar|3,14159265}}. Εκφράζεται με το ελληνικό γράμμα {{pi}} από τα μέσα του 18ου αιώνα, παρότι επίσης μερικές φορές γράφεται ως ''pi''.
Ο {{pi}} είναι ένας [[άρρητος αριθμός]], κάτι που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] δύο [[ακέραιος|ακεραίων]] (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του π)· κατά συνέπεια, η [[απεικόνιση|δεκαδική απεικόνιση]] δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν εγκαθίσταται σε μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παράσταση. Τα ψηφία φαίνεται να εμφανίζονται με τυχαία σειρά, αν και δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη κάποια απόδειξη για αυτό. Ο π είναι ένας [[υπερβατικός αριθμός]], δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη-μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι είναι αδύνατο να λυθεί ητο αρχαίααρχαίο πρόκλησηπρόβλημα του [[Τετραγωνισμός του κύκλου|τετραγωνισμού του κύκλου]] με κανόνα και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].
Για χιλιάδες χρόνια, μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την κατανόησή τους πάνω στο π, κάποιες φορές με τον υπολογισμό της αξίας σεμε υψηλό βαθμό ακρίβειας. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο [[Αρχιμήδης]] και ο [[Liu Hui]] χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασιζόμενες σε πολύγωνα, για να υπολογίσουν την αξία του π. Περί τον 15ο αιώνα νέοι αλγόριθμοι βασιζόμενοι σε [[Σειρά|άπειρες σειρές]] υπολογίζουν τον αριθμό π με μεγαλύτερη ακρίβεια και χρησιμοποιούνται από μαθηματικούς όπως ο [[Madhava of Sangamagrama|Madhava της Sangamagrama]], ο [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], ο [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]], και ο [[Σρινιβάσα Ραμανούτζαν]].
Τον 20ο20ό και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και [[Πληροφορική|πληροφορικοί]] ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που, όταν συνδυάζονται με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επεκτείνουν τη δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (10<sup>13</sup>) ψηφία (2011). Οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν γενικά περισσότερα από 40 ψηφία του π· έτσι το πρωταρχικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η ανθρώπινη επιθυμία να σπάει ρεκόρ. Οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που εμπλέκονται στον υπολογισμό των ψηφίων του π, έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]] και σε [[αλγόριθμος|αλγόριθμους]] πολλαπλασιασμού υψηλής ακρίβειας.
Το π βρίσκεται σε πολλούς τύπους της [[Τριγωνομετρία|Τριγωνομετρίαςτριγωνομετρία]]ς και της [[Γεωμετρία|Γεωμετρίαςγεωμετρία]]ς, ειδικά όσον αφορά κύκλους, ελλείψεις ή σφαίρες. Βρίσκεται επίσης και σε διάφορους τύπους από άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως η [[Κοσμολογία]], η [[Θεωρία αριθμών|Θεωρία Αριθμώντων αριθμών]], η [[Στατιστική]], τα [[fractal]], η [[Θερμοδυναμικήθερμοδυναμική]], η [[Μηχανικήμηχανική]], και ο [[Ηλεκτρομαγνητισμόςηλεκτρομαγνητισμός]]. Ο καθολικός χαρακτήρας του π τον καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές, τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας και έχει αποτελέσει θέμα λογοτεχνικών βιβλίων. Ο αριθμός γιορτάζεται την [[Ημέρα π|π «ημέρα του π»]] και ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π συχνά αναφέρονται σε τίτλους ειδήσεων. Αρκετοί άνθρωποι προσπάθησαν να απομνημονεύσουν την τιμή του π με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια, οδηγώντας σε ρεκορ απομνημόνευσης πανώ από 67.000 ψηφία.
{{TOClimit|limit=3}}
==Βασικές αρχές==
===Ορισμός===
[[FileΑρχείο:Pi eq C over d.svg|alt=Ένα διάγραμμα ενός κύκλου, με το πλάτος του που είναι χαρακτηρισμένο ως η διάμετρος, και την περίμετρο χαρακτηρισμένη ως περιφέρεια|thumb|right|Η περιφέρεια του κύκλου είναι ελαφρώς περισσότερη από τρεις φορές όσο η διάμετρός του. Η ακριβής αναλογία ονομάζεται π.]]
Ως π συχνά ορίζεται το [[πηλίκο]] της [[Περιφέρεια (γεωμετρία)|περιφέρειας]] <math>C</math> ενός [[κύκλος|κύκλου]] προς την [[διάμετρος|διάμετρό]] του <math>d</math>:<ref name="Arndt">Arndt Haenel, 2006, p.8</ref>
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Ο λόγος <math>\frac{C}{d} </math> είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει διπλάσια διάμετρο, αυτός θα έχει και διπλάσια περιφέρεια, διατηρώντας το λόγο <math>\frac{C}{d} </math> σταθερό. Αυτός ο ορισμός του π είναι έγκυρος μόνο σε επίπεδη [[Ευκλείδεια Γεωμετρία|(Ευκλείδεια) Γεωμετρία]], ενώ αν επεκταθεί σε [[Ευκλείδεια γεωμετρία|κυρτές (Μη-Ευκλείδειες) Γεωμετρίες]] ο λόγος δεν παραμένει σταθερός.<ref name="Arndt" /> Υπάρχουν άλλοι ορισμοί του π με βάση τον [[Λογισμός|Λογισμόαπειροστικό λογισμό]] ή την [[Τριγωνομετρία]] που δεν βασίζονται σε κύκλο. Ένας τέτοιος ορισμός είναι: Το π είναι το διπλάσιο του μικρότερο θετικού <math>x</math> για [[Συνημίτονο|συν(x)]] ισούται με 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, pσελ. 183.</ref>
===Όνομα===
[[FileΑρχείο:Leonhard Euler.jpg|thumb|upright|Ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] διέδωσε τη χρήση του ελληνικού γράμματος π στα έργα που δημοσίευσε το 1736 και το 1748]]
Το σύμβολο που χρησιμοποιείται από τους μαθηματικούς για την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του είναι το [[Ελληνική γλώσσα|ελληνικό γράμμα]] π. Αυτό το γράμμα (και ως εκ τούτου ο ίδιος ο αριθμός π ) μπορεί να σημανθεί με τη Λατινική λέξη ''pi''.<ref>{{cite document|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Στα αγγλικά, το π [[αγγλική προφορά του ελληνικού γράμματος|προφέρεται όπως η "«πίτα"»]] Το πεζό π δεν πρέπει να συγχέεται με το κεφαλαίο γράμμα Π, που χαρακτηρίζει το [[Ακολουθία|γινόμενο όρων μιας ακολουθίας]].
Η πρώτη γνωστή χρήση του ελληνικού γράμματος π για να αντιπροσωπεύσει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του ήταν από τον μαθηματικό [[William Jones (mathematician)|William Jones]] στο έργο του, το 1706, ''Σύνοψη Palmariorum Matheseos· ή, Μια Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά''.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=165}}. A facsimile of Jones' text is in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=108–109}}</ref> Το ελληνικό γράμμα πρωτοεμφανίζεται εκεί στη φράση "«<math>\frac{1}{2}</math> περιφέρεια (π)"» στη συζήτηση ενός κύκλου με ακτίνα ένα. Ο Jones μπορεί να επέλεξε το π επειδή ήταν το πρώτο γράμμα στην ελληνική ορθογραφία της λέξης ''περιφέρεια''.<ref>See {{harvnb|Schepler|1950|p=220}}: [[William Oughtred]] used the letter π to represent the periphery (i.e., circumference) of a circle.</ref> Ωστόσο, γράφει ότι οι εξισώσεις του π είναι από την "«έτοιμη πένα του πραγματικά έξυπνου κ. John Machin"», οδηγώντας σε εικασίες ότι ο [[John Machin|Machin]] μπορεί να ασχολήθηκε με το ελληνικό γράμμα πριν τον Jones.<ref name="Arndt_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=166}}</ref> Αυτό πράγματι είχε χρησιμοποιηθεί νωρίτερα για τις γεωμετρικές ερμηνείες.<ref name="Arndt_a" /> Ο [[William Oughtred]] χρησιμοποιεί τα ελληνικά γράμματα π και δ, για να εκφράσει αναλογίες της περιφέρειας και της διαμέτρου το 1647. Το ίδιο συμβαίνει και σε μεταγενέστερες εκδόσεις του ''Clavis Mathematicae''.
Μετά την εισαγωγή του ελληνικού γράμματος από τον Jones το 1706, δεν υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς μέχρι ο [[Leonhard Euler]] άρχισει να το χρησιμοποιεί, αρχίζοντας με το έργο του "Μηχανική" το 1736. Πριν από τότε, οι μαθηματικοι χρησιμοποιούσαν μερικές φορές γράμματα όπως το ''c'' ή το ''p''.<ref name="Arndt_a" /> Ο Euler συνεβρισκόταν σε μεγάλο βαθμό με άλλους μαθηματικούς στην Ευρώπη και έτσι η χρήση του π εξαπλώθηκε γρήγορα.<ref name="Arndt_a" /> Το 1748, ο Euler χρησιμοποίησε το π στο ευρέως διαβασμένο έργο του ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (έγραψε: "«για λόγους συντομίας θα γράφουμε τον αριθμό π· έτσι ο π είναι ίσηίσος με το μισό της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας 1"») και η πρακτική του εγκρίθηκε παγκοσμίως στη συνέχεια στον [[Δυτικός κόσμος|Δυτικό Κόσμο]].<ref name="Arndt_a" />
===Ιδιότητες===
| 