Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

=== Μέθοδοι αντιστροφής ===

Μία φυσική τοποθέτηση του απολλώνιου προβλήματος είναι στην [[γεωμετρία της αντιστροφής]].<ref name="coxeter greitzer"/><ref name="bruen_1983"/> Η βασική στρατηγική των μεθόδων αντιστροφής είναι ο μετασχηματισμός ενός δοσμένου απολλώνιου προβλήματος σε ένα άλλο πιο απλό να λυθεί, οι λύσεις του αρχικού προβλήματος μπορούν να βρεθούν από τις λύσεις του μετασχηματισμένου προβλήματος με την αναστροφή του μετασχηματισμού. Οι υποψήφιοι μετασχηματισμοί πρέπει να μετατρέπουν ένα απολλώνιο πρόβλημα σε ένα άλλο, έτσι πρέπει να μετασχηματίζουν τα δοσμένα σημεία, κύκλους και ευθείες σε άλλα σημεία, κύκλους και ευθείες και όχι άλλα σχήματα. Η αντιστροφή του κύκλου έχει αυτή την ιδιότητα και επιτρέπει την συνετή εκλογή της ακτίνας και του κέντρου του κύκλου αντιστροφής. Άλλοι υποψήφιοι μετασχηματισμοί συμπεριλαμβάνουν τις [[Ισομετρίες του Ευκλείδιου επιπέδου]], εντούτοις δεν απλοποιούν το πρόβλημα καθώς απλώς [[μεταφορά (μαθηματικά)|μεταφέρουν]], [[περιστροφή (μαθηματικά)|περιστρέφουν]] και [[ανάκλαση (μαθηματικά)|ανακλούν]] το αρχικό πρόβλημα.