Τεθλασμένη: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 14:
[[Κατηγορία:Πολύγωνα]]
[[Κατηγορία:Καμπύλες]]
{{πηγές|31|01|2015}}
{{Άλλεςχρήσεις4||τη συνοικία|Πολύγωνο (Αθήνα)}}
'''Πολύγωνο''' στη [[γεωμετρία]] είναι κάθε απλή [[κλειστή καμπύλη|κλειστή]] [[τεθλασμένη]]. Ένα πολύγωνο με ''ν'' πλευρές λέγεται ειδικότερα ''ν''-'''γωνο''' ή ''ν''-'''πλευρο'''. Προφανώς ισχύει ''ν'' ≥ 3.
==Ορισμοί==
Το [[γεωμετρικό σχήμα]] που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σημεία λέγεται '''πολυγωνικό χωρίο'''. Ένα πολύγωνο θα λέγεται ''κυρτό'' αν το πολυγωνικό χωρίο του είναι [[κυρτό σύνολο]] και ''μη κυρτό'' ή ''κοίλο'' στην αντίθετη περίπτωση.
'''Εσωτερική γωνία''' ενός πολυγώνου λέμε κάθε κυρτή γωνία που ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου. '''[[Εξωτερική γωνία]]''' θα λέμε κάθε [[εφεξής γωνία|εφεξής]] και [[παραπληρωματική γωνία|παραπληρωματική]] μίας εσωτερικής του γωνίας.
Ένα [[ευθύγραμμο τμήμα]] που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται '''διαγώνιος''' του πολυγώνου.
== Ιδιότητες ==
* Το πλήθος των διαγωνίων ενός ''ν''-γώνου ισούται με <math>\frac{\nu(\nu-3)}{2}</math>.
[[Αρχείο:Polygon.png|thumbnail|left|Οι διαγώνιοι ενός ''ν''-γώνου.|400px]]
''Απόδειξη'': Για να μετρήσουμε τις διαγωνίους του ''ν''-γώνου θεωρούμε μία-μία τις κορυφές του και μετράμε τα νέα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν για κάθε κορυφή. Από το τελικό άθροισμα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων θα αφαιρέσουμε τα ''ν'' σε πλήθος τμήματα που είναι οι πλευρές του πολυγώνου.
Στην πρώτη κορυφή δεν έχουμε κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Στη δεύτερη κορυφή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τη δεύτερη με την πρώτη κορυφή. Η τρίτη κορυφή ενώνεται με τις προηγούμενες δύο και προκύπτουν δύο νέα ευθύγραμμα τμήματα. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, στην προσθήκη της τελευταίας κορυφής, της ''ν''-οστής, θα προκύψουν ''ν'' - 1 νέα ευθύγραμμα τμήματα καθώς αυτή θα ενωθεί με όλες τις ''ν'' - 1 κορυφές που προηγήθηκαν.
Η διαδικασία αυτή σκιαγραφείται στον παρακάτω πίνακα:
<table border="1" cellpadding="2" cellspacing="0">
<tr><th>Κορυφές</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>...</td><td>''ν'' - 1</td><td>''ν''</td></tr>
<tr><th>Νέα ευθύγραμμα τμήματα</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>...</td><td>''ν'' - 2</td><td>''ν'' - 1</td></tr>
</table>
Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το συνολικό πλήθος ''S'' των ευθυγράμμων τμημάτων. Γράφουμε με δύο τρόπους το άθροισμα της κάτω γραμμής του πίνακα:
<div style='text-align: center;'>
:<math>S = 1+2+\cdots+(\nu-2)+(\nu-1)</math>
:<math>S = (\nu-1)+(\nu-2)+\cdots+2+1</math>
</div>
και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
<div style='text-align: center;'>
:<math>S=\frac{\nu(\nu-1)}{2}</math>
</div>
Αφαιρώντας τις ''ν'' πλευρές έχουμε τελικά
<div style='text-align: center;'>
:<math>S-\nu=\frac{\nu^2-\nu}{2}-\nu=\frac{\nu(\nu-3)}{2}</math>
</div>
* Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι (ν-2)180°.
''Απόδειξη'': Θεωρούμε πολύγωνο ν γωνιών. Από μία κορυφή του φέρνουμε όλες τις διαγωνίους προς τις άλλες κορυφές. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζονται ν-2 [[τρίγωνο|τρίγωνα]] με συνολικό άθροισμα γωνιών προφανώς ίσο με το άθροισμα των γωνιών του ν-γώνου, ίσο με (ν-2)180°.
* Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με 360°.
''Απόδειξη'': Έστω ότι έχουμε ένα ν-γωνο με κορυφές 1, 2, …, ν-1, ν. Αν για κάθε κορυφή πάρουμε το άθροισμα της εσωτερικής και εξωτερικής της γωνίας:
<div style='text-align: center;'>
:εσ<sub>1</sub> + εξ<sub>1</sub> = 180°
:<math>\vdots</math>
:εσ<sub>ν</sub> + εξ<sub>ν</sub> = 180°
</div>
και αθροίσουμε κατά μέλη, έχουμε:
<div style='text-align: center;'>
:<math>\sum_{i=1}^\nu(\epsilon\sigma_i+\epsilon\xi_i)=\nu\cdot 180^o</math>
:<math>\sum_{i=1}^\nu\epsilon\xi_i=\nu 180^o-(\nu-2)180^o=360^o</math>
</div>
==Εξωτερικοί σύνδεσμοι==
{{βικιλεξικό}}
{{commonscat}}
{{clear}}
== Δείτε επίσης ==
* [[Τρίγωνο]]
* [[Τετράπλευρο]]
[[Κατηγορία:Πολύγωνα|*]]
| |||