Βοήθεια:Πρόχειρο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη |
||
Γραμμή 7:
{{:en:⿻}}
{{⿻}}
{{:⿻}}<br />
<?xml version="1.0"?>
-<mediawiki xml:lang="el" version="0.10" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10.xsd" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.10/">
-<siteinfo>
<sitename>Βικιπαίδεια</sitename>
<dbname>elwiki</dbname>
<base>https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%8D%CE%BB%CE%B7:%CE%9A%CF%8D%CF%81%CE%B9%CE%B1</base>
<generator>MediaWiki 1.29.0-wmf.6</generator>
<case>first-letter</case>
-<namespaces>
<namespace case="first-letter" key="-2">Μέσο</namespace>
<namespace case="first-letter" key="-1">Ειδικό</namespace>
<namespace case="first-letter" key="0"/>
<namespace case="first-letter" key="1">Συζήτηση</namespace>
<namespace case="first-letter" key="2">Χρήστης</namespace>
<namespace case="first-letter" key="3">Συζήτηση χρήστη</namespace>
<namespace case="first-letter" key="4">Βικιπαίδεια</namespace>
<namespace case="first-letter" key="5">Συζήτηση Βικιπαίδεια</namespace>
<namespace case="first-letter" key="6">Αρχείο</namespace>
<namespace case="first-letter" key="7">Συζήτηση αρχείου</namespace>
<namespace case="first-letter" key="8">MediaWiki</namespace>
<namespace case="first-letter" key="9">Συζήτηση MediaWiki</namespace>
<namespace case="first-letter" key="10">Πρότυπο</namespace>
<namespace case="first-letter" key="11">Συζήτηση προτύπου</namespace>
<namespace case="first-letter" key="12">Βοήθεια</namespace>
<namespace case="first-letter" key="13">Συζήτηση βοήθειας</namespace>
<namespace case="first-letter" key="14">Κατηγορία</namespace>
<namespace case="first-letter" key="15">Συζήτηση κατηγορίας</namespace>
<namespace case="first-letter" key="100">Πύλη</namespace>
<namespace case="first-letter" key="101">Συζήτηση πύλης</namespace>
<namespace case="first-letter" key="446">Education Program</namespace>
<namespace case="first-letter" key="447">Education Program talk</namespace>
<namespace case="first-letter" key="828">Module</namespace>
<namespace case="first-letter" key="829">Module talk</namespace>
<namespace case="first-letter" key="2300">Gadget</namespace>
<namespace case="first-letter" key="2301">Gadget talk</namespace>
<namespace case="case-sensitive" key="2302">Gadget definition</namespace>
<namespace case="case-sensitive" key="2303">Gadget definition talk</namespace>
<namespace case="first-letter" key="2600">Topic</namespace>
</namespaces>
</siteinfo>
-<page>
<title>Φυσικός αριθμός</title>
<ns>0</ns>
<id>20897</id>
-<revision>
<id>5999019</id>
<parentid>5999018</parentid>
<timestamp>2016-08-28T20:44:09Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Texniths</username>
<id>193707</id>
</contributor>
<comment>Αναίρεση έκδοσης 5999018 από τον [[Special:Contributions/46.12.247.142|46.12.247.142]] ([[Συζήτηση χρήστη:46.12.247.142|Συζήτηση]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="38989" xml:space="preserve">{{bots|deny=AWB}} <!-- has problems with set notation --> [[File:Three apples.svg|right|thumb|Οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μετρήσεις (ένα μήλο, δύο μήλα, τρία μήλα, ...)]] Στα [[μαθηματικά]], οι '''φυσικοί αριθμοί''' είναι εκείνοι που χρησιμοποιούνται για τη [[μέτρηση]] ("υπάρχουν έξι νομίσματα στο τραπέζι") και για τη [[Μέτρηση|σύγκριση]] ("υπάρχουν περισσότερες καρέκλες από τους πίνακες"). Μια μεταγενέστερη έννοια είναι εκείνη ενός ονομαστικού αριθμού, ο οποίος χρησιμοποιείται μόνο για την ονομασία. Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται το [[μηδέν]] στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι '''[[Ακέραιος αριθμός| θετικοί ακέραιοι]]''' 1, 2, 3,... ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους '''μη-αρνητικούς ακέραιους '''0, 1, 2, 3, .... Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο ''φυσικό αριθμό'' αποκλείοντας το 0 και ''ακέραιο αριθμό'' για να το συμπεριλάβουν. Άλλοι χρησιμοποιούν τον όρο ''ακέραιο αριθμό'' κατά τρόπο που να περιλαμβάνει τόσο το μηδέν όσο και τους αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή ως ισοδύναμο του ''ακεραίου '' όρου. Ιδιότητες των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τη [[Διαιρέτης|διαιρετότητα]], όπως η κατανομή των [[πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]], μελετούνται στη [[θεωρία αριθμών]]. Προβλήματα σχετικά με την καταμέτρηση και την παραγγελία, όπως η [[κατάτμηση ]] [[απαρίθμηση]], μελετούνται στη [[Συνδυαστική]]. ==Ιστορία των φυσικών αριθμών και το καθεστώς του μηδενός== <!--This section is linked from [[Numeral system]]--> Οι φυσικοί αριθμοί είχαν τις ρίζες τους στις λέξεις που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν τα πράγματα{{citation needed|date=January 2013}},ξεκινώντας με τον αριθμό 1. Η πιο πρωτόγονη μέθοδος που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό αριθμό είναι να βάλεις κάτω μια κουκκίδα για κάθε αντικείμενο. Αργότερα, μια σειρά από αντικείμενα που μπορούσαν να ελέγχονται για την ισότητα, το πλεόνασμα ή το έλλειμμα, διαγράφοντας μια τελεία για κάθε αντικείμενο στο σύνολο. Το πρώτο μεγάλο βήμα προς την αφαίρεση ήταν η χρήση των [[Ελληνικό σύστημα αρίθμησης|συστημάτων αρίθμησης]] για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς. Αυτό επέτρεψε να αναπτυχθούν συστήματα για την καταγραφή μεγάλων αριθμών. Οι αρχαίοι [[Αρχαία Αίγυπτος| Αιγύπτιοι]] ανέπτυξαν ένα ισχυρό σύστημα αρίθμησης με διάφορα [[ιερογλυφικά]] για το 1, 10, αλλά και για όλες τις δυνάμεις του 10 έως και πάνω από 1 εκατομμύριο. Μια πέτρα λιθοτεχνίας από [[Καρνάκ (Αίγυπτος)| Καρνάκ ]], που χρονολογείται γύρω στο 1500 π.Χ. και τώρα βρίσκεται στο μουσείο του [[ Μουσείο του Λούβρου|Λούβρου]] στο Παρίσι, απεικονίζει το 276 ως 2 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, και 6, και ομοίως για τον αριθμό 4.622. Οι [[ Βαβυλώνα|Βαβυλώνιοι]] είχαν ένα αξιόλογο σύστημα αρίθμησης που βασιζόταν κυρίως στους αριθμούς 1 και 10.{{citation needed|date=November 2012}} Ένα μεταγενέστερο βήμα ήταν η ανάπτυξη της ιδέας ότι το [[μηδέν|0]] μπορεί να θεωρηθεί ως ένας αριθμός, με το δικό του ψηφίο. Η χρήση του [[Αριθμός|ψηφίου]] 0 με αξιολογικό συμβολισμό (μέσα σε άλλους αριθμούς) χρονολογείται ήδη από το 700 π.Χ. από τους Βαβυλώνιους, αλλά παραλείπεται ένα τέτοιο ψηφίο όταν θα ήταν το τελευταίο σύμβολο στον αριθμό. Οι πολιτισμοί των [[Olmec]] και των [[Μάγια|Maya]] χρησιμοποίησαν το 0 ως ξεχωριστό αριθμό ήδη από τον 1ο αιώνα π.Χ. , αλλά η χρήση αυτή δεν είχε εξαπλωθεί πέρα από την [[Κεντρική Αμερική]].{{Citation needed|date=October 2012}} Η χρήση του ψηφίου 0 στη σύγχρονη εποχή ξεκίνησε από την [[Ινδία|Ινδό]] μαθηματικό [[ Brahmagupta]] το 628. Ωστόσο, το 0 είχε χρησιμοποιηθεί ως ένας αριθμός στα μεσαιωνικά (για τον υπολογισμό της ημερομηνίας του [[Πάσχα]]), αρχίζοντας από τον [[Dionysius Exiguus]] το 525, χωρίς να συμβολίζεται από ένα ψηφίο (σύμφωνα με τους [[Λατινικούς αριθμούς]] δεν υπήρχε ένα σύμβολο για το 0) αντί του συμβόλου χρησιμοποιήθηκε το ''nulla'' ή το''nullae'', γενική της ''nullus'', η λατινική λέξη "τίποτα", χρησιμοποιήθηκε για να υποδηλώσει μια τιμή 0. <ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13}}</ref> Η πρώτη συστηματική μελέτη των αριθμών ως αφαιρέσεις (δηλαδή, ως αφηρημένες [[οντότητα|οντότητες]] συνήθως πιστώνεται στους [[Αρχαία Ελλάδα|αρχαίους Έλληνες]] φιλόσοφους στον [[Πυθαγόρας|Πυθαγόρα]] και στον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]]. Στα [[στοιχεία]] του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] συναντούμε τον πρώτο ορισμό των φυσικών αριθμών: ''«[α΄] Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. [β΄] Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.» (Στοιχεία, βιβλίο VII, όροι κγ΄)''. Με βάση τον παραπάνω ορισμό ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι το "2", καθώς το "1" είναι η ιδεατή μονάδα, η οποία θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι δεν αντιπροσωπεύει αριθμό.<ref>Στοιχεία του Ευκλείδη[http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book7/elements7.html].</ref> Ανεξάρτητες μελέτες, επίσης, εμφανίστηκαν περίπου την ίδια ώρα στην [[Ινδία]], [[Κίνα]], και στην [[Κεντρική Αμερική]].{{Citation needed|date=October 2011}} Αρκετοί [[Φυσικός αριθμός|ορισμοί των φυσικών αριθμών]] αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Με τους ορισμούς αυτούς ήταν βολικό να περιλαμβάνεται το 0 (που αντιστοιχεί στο [[Σύνολο|κενό σύνολο]]) ως ένα φυσικός αριθμός. Το να συμπεριλαμβάνεται και το 0 είναι πλέον η κοινή σύμβαση μεταξύ των επιστημόνων της βασικής θεωρίας , της λογικής και της [[πληροφορική]]ς. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί περιλαμβάνουν επίσης το 0, αν και ορισμένοι έχουν διατηρήσει την παλαιότερη παράδοση και λαμβάνουν ότι το 1 είναι ο πρώτος φυσικός αριθμός. <ref>This is common in texts about [[Real analysis]]. See, for example, Carothers (2000) p.3 or Thomson, Bruckner and Bruckner (2000), p.2.</ref> Μερικές φορές, το σύνολο των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός καλείται σύνολο ακεραίων αριθμών ή μετρήσιμων αριθμών. Από την άλλη πλευρά, ο ακέραιος στα λατινικά για το «σύνολο», είναι οι [[ακέραιοι]] που συνήθως υφίστανται για τους αρνητικούς και θετικούς ακέραιους αριθμούς (και το 0) μαζί. ==Σημείωση == Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν '''N''' ή <math>\mathbb{N}</math> (Ένα N στο μαυροπίνακα, εμφανίζεται ως {{unicode|ℕ}} σε [[Unicode]]) για να αναφερθούν στο [[σύνολο]] των φυσικών αριθμών. Αυτό το σύνολο είναι αριθμητικά άπειρο: είναι [[άπειρο]] αλλά [[Μέτρηση|μετρήσιμο]] εξ ορισμού. Αυτό εκφράζεται επίσης λέγοντας ότι ο [[Φυσικός αριθμός|απόλυτος αριθμός ]] του συνόλου είναι [[Aleph number#Aleph-null|aleph-null]] <math>(\aleph_0)</math>.<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref> Για να είμαστε σαφείς για το αν το 0 περιλαμβάνεται ή όχι, μερικές φορές ένα ευρετήριο (ή εκθέτης) προστίθεται στο "0", στην πρώτη περίπτωση, ένας εκθέτης "<math>*</math>" στη δεύτερη περίπτωση προστίθεται ο δείκτης "<math>1</math>" :<math>\mathbb{N}^0 = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}</math> :<math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}. </math> <!--(Sometimes, an index or [[superscript]] "+" is added to signify "positive". However, this is often used for "nonnegative" in other cases, as '''R'''<sup>+</sup> = <nowiki>[0,∞)</nowiki> and '''Z'''<sup>+</sup> = { 0, 1, 2, ... }, but rarely in European scientific journals. The notation "<math>*</math>", however, is standard for nonzero, or rather, [[invertible]] elements. The notation <math>\mathbb{N}^0</math> could also mean the empty [[direct product]] <math>\prod_{i=1}^k \mathbb{N}</math> resp. the empty [[direct sum]] <math>\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{N}</math> in the case <math>k=0</math>.)--> Μερικοί συγγραφείς που αποκλείουν το 0 από τους φυσικούς μπορεί να διακρίνουν το σύνολο των θετικών ακέραιων παραπέμποντας στους τελευταίους, σαν ''φυσικούς αριθμούς με το μηδέν'', ''ακέραιους αριθμούς'', ή ''αριθμούς μέτρησης'', συμβολίζοντάς τους με '''W'''. Άλλοι χρησιμοποιούν το '''P''' συμβολισμό για τους θετικούς ακέραιους αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης αυτού με τους πρώτους αριθμούς. } Σε αυτή την περίπτωση, μια δημοφιλής σημειογραφία είναι να χρησιμοποιήσετε ένα '''''P''''' για θετικούς ακέραιους (το οποίο εκτείνεται στη χρήση του '''''N''''' για αρνητικούς ακεραίους, και το '''''Z''''' για το 0. Βασικοί θεωρητικοί δηλώνουν συχνά το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου του 0 με το πεζό ελληνικό γράμμα [[ω]]. Αυτό απορρέει από την αναγνώριση ενός [[τακτικός αριθμός|τακτικού αριθμού]] από το σύνολο των τακτικών αριθμών. ==Αλγεβρικές ιδιότητες == Η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (×) για τους φυσικούς αριθμούς έχουν αρκετές αλγεβρικές ιδιότητες: *Είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και πολλαπλασιασμό: για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'' και ''b'', και τα δύο {{nowrap|''a'' + ''b''}} και {{nowrap|''a'' × ''b''}} είναι φυσικοί αριθμοί. *[[Προσεταιριστική ιδιότητα|Προσεταιριστικότητα]]: : για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'', ''b'', και''c'', {{nowrap|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} και {{nowrap|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}. *[[Αντιμεταθετική ιδιότητα|Αντιμεταθετικότητα]]: για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'' και ''b'', {{nowrap|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} και {{nowrap|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}. *Existence of [[identity element]]s: for every natural number ''a'', {{nowrap|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} and {{nowrap|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}. *[[Άλγεβρα Μπουλ|Επιμεριστικότητα]]του πολλαπλασιασμού πάνω προσθήκη για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'', ''b'', και''c'', {{nowrap|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}} *Χωρίς [[Διαιρέτης|μηδενικούς διαιρέτες]]s: Εάν''a'' και ''b'' είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε {{nowrap|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, τότε {{nowrap|''a'' {{=}} 0}} or {{nowrap|''b'' {{=}} 0}}. ==Ιδιότητες== Κάποιος μπορεί να καθορίσει αναδρομικά μια [[πρόσθεση]] για τους φυσικούς αριθμούς θέτοντας {{nowrap|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} και {{nowrap|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} για όλα τα ''a'', ''b''. Εδώ το''S'' πρέπει να διαβαστεί ως "διάδοχος". Αυτό μετατρέπει τους φυσικούς αριθμούς ('''N''', +) σε ένα [[αντιμεταθετικό]] [[μονοειδές]] με [[ουδέτερο στοιχείο]] το 0, το λεγόμενο [[ελεύθερο μονοειδές]] ικανοποιεί την [[ιδιότητα ακύρωσης]] και μπορεί να ενσωματωθεί σε μια [[ομάδα]] (με τη μαθηματική έννοια της ''ομάδας'' λέξης ). Η μικρότερη ομάδα που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς είναι οι [[ακέραιοι]]. Εάν το 1 ορίζεται ως ''S''(0), στη συνέχεια {{nowrap|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}. Δηλαδή, {{nowrap|''b'' + 1}}είναι απλώς αμέσως επόμενο του ''b''. Αναλόγως, δεδομένου ότι η προσθήκη έχει οριστεί, ένας [[πολλαπλασιασμός]] × μπορεί να οριστεί μέσω {{nowrap|''a'' × 0 {{=}} 0}} και{{nowrap|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}. Αυτό μετατρέπεται ('''N'''<sup>*</sup>, ×) σε ένα ελεύθερο αντιμεταθετικό μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 1. Μια γεννήτρια για αυτό το μονοειδές είναι το σύνολο των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι συμβατές πράξεις, οι οποίες εκφράζονται στην [[Άλγεβρα Μπουλ| επιμεριστική ιδιότητα]]: {{nowrap|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Αυτές οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού κάνουν τους φυσικούς αριθμούς ένα στιγμιότυπο του [[commutative]] [[semiring]]. Τα Semirings είναι μια αλγεβρική γενίκευση των φυσικών αριθμών όπου ο πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητα ευμετάβλητος. Η έλλειψη από αντίστροφες προσθέσεις, κάτι το οποίο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι το '''N''' δεν είναι κλειστό υπό αφαίρεση, σημαίνει ότι το '''N''' ''δεν είναι'' [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]]; αλλά είναι μια [[semiring]]. Εάν οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται ως "εκτός του 0", και "ξεκινώντας από το 1", οι ορισμοί των + και × είναι όπως παραπάνω,εκτός του ότι αρχίζουν με {{nowrap|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} και{{nowrap|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}. Για το υπόλοιπο του άρθρου, παρατιθέμενες μεταβλητές όπως η ''ab'' αναφέρουν το γινόμενο ''a'' × ''b''. Η [[Αριθμός|απόλυτη σειρά]] για τους φυσικούς αριθμούς ορίζεται αφήνοντας {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} αν και μόνο αν υπάρχει ένας άλλος φυσικός αριθμός ''c'' με {{nowrap|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. Η σειρά αυτή είναι συμβατή με τις [[Πράξη (μαθηματικά)|αριθμητικές πράξεις]] με την εξής έννοια: αν ''a'', ''b'' και ''c'' a είναι φυσικοί αριθμοί και {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}}, τότε {{nowrap|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} και {{nowrap|''ac'' ≤ ''bc''}}. Μια σημαντική ιδιότητα των φυσικών αριθμών είναι ότι είναι καλά οργανωμένοι: κάθε μη-κενό σύνολο των φυσικών αριθμών έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο. Η κατάταξη μεταξύ των καλά διατεταγμένων συνόλων εκφράζεται από έναν [[τακτικός αριθμός|τακτικό αριθμό]]; για τους φυσικούς αριθμούς αυτό εκφράζεται ως''ω''. Ενώ δεν είναι σε γενικές γραμμές δυνατόν να διαιρέσει κανείς ένα φυσικό αριθμό με έναν άλλο και να πάρει ένα φυσικό αριθμό ως αποτέλεσμα, η διαδικασία της ''[[διαίρεση]]ς με το υπόλοιπο'' για κάθε δύο φυσικούς αριθμούς ''a'' και ''b'' με {{nowrap|''b'' ≠ 0}} υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ''q'' και ''r'' τέτοιοι ώστε :''a'' = ''bq'' + ''r'' and ''r'' < ''b''. Ο αριθμός ''q'' ονομάζεται το ''[[ Διαίρεση|πηλίκο]]'' και ''r'' ονομάζεται το ''[[Διαίρεση|υπόλοιπο]]'' της διαίρεσης του ''a'' από το ''b''. Οι αριθμοί ''q'' και ''r'' προσδιορίζονται μονοσήμαντα από ''a'' και ''b''. Η [[Ευκλείδεια διαίρεση]] είναι το κλειδί για πολλές άλλες ιδιότητες της ([[Διαίρεση|διαιρετότητα]]ς), αλγόριθμους (όπως ο [[αλγόριθμος του Ευκλείδη]]), και ιδέες σε αριθμητικές θεωρίες. ==Οι γενικεύσεις== Δύο γενικεύσεις των φυσικών αριθμών προκύπτουν από τις δύο χρήσεις: *Ένας φυσικός αριθμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου: Γενικότερα ένας [[απόλυτος αριθμός]] είναι ένα μέτρο για το μέγεθος ενός συνόλου επίσης κατάλληλο για άπειρα σύνολα: αυτό αναφέρεται σε μια έννοια του "μεγέθους" τέτοια όπως, εάν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σε δύο σύνολα που έχουν το ίδιο μέγεθος. Το σύνολο των φυσικών αριθμών και σε οποιαδήποτε άλλο αριθμήσιμο άπειρο σύνολο έχει [[πληθάριθμο]] [[Aleph number#Aleph-null|aleph-null]] (<math>\aleph_0</math>). *[[Γλωσσικοί τακτικοί αριθμοί]] "πρώτοι", "δεύτεροι", "τρίτοι" μπορούν να αποδοθούν στα στοιχεία ενός πλήρως διατεταγμένου πεπερασμένου συνόλου, αλλά και στα στοιχεία από τις καλά οργανωμένες μετρήσιμες άπειρες σειρές, όπως το σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε τακτικούς αριθμούς που περιγράφουν την θέση ενός στοιχείου σε ένα [[καλά οργανωμένο]] σύνολο γενικά. Ένας τακτικός αριθμός χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει το "μέγεθος" ενός καλά οργανωμένου συνόλου, κατά μία έννοια διαφορετική από cardinality: αν υπάρχει ένας [[Συνάρτηση|ισομορφισμός]] ανάμεσα σε δύο καλά ορισμένα σύνολα τότε έχουν τον ίδιο τακτικό αριθμό. Ο πρώτος τακτικός αριθμός που δεν είναι ένας φυσικός αριθμός εκφράζεται ως <math>\omega</math>; Αυτός είναι επίσης ο τακτικός αριθμός του συνόλου των φυσικών αριθμών. Για [[Πεπερασμένο σώμα|πεπερασμένα]] καλά διατεταγμένα σύνολα, υπάρχει ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ τακτικών και καρδινάλιων αριθμών:ως εκ τούτου μπορούν και οι δύο να εκφράζονται από το ίδιο φυσικό αριθμό, το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Αυτός ο αριθμός μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη θέση ενός στοιχείου σε μία μεγαλύτερη πεπερασμένη ή άπειρη [[ακολουθία]]. Οι [[Υπερφυσικός αριθμός|υπερφυσικοί]] αριθμοί είναι μέρος ενός [[μη καθιερωμένου μοντέλου της αριθμητικής]] λόγω του [[Skolem]]. Άλλες γενικεύσεις συζητούνται στο άρθρο σχετικά με [[Αριθμός|τους αριθμούς]]s. ==Τυπικοί ορισμοί == Ιστορικά, ο ακριβής μαθηματικός ορισμός των φυσικών αριθμών αναπτύχθηκε με κάποια δυσκολία. Τα αξιώματα Peano έχουν τις προϋποθέσεις που αναφέρεται ότι οποιοσδήποτε επιτυχής ορισμός πρέπει να πληροί. Ορισμένες κατασκευές δείχνουν ότι, με δεδομένη τη [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]], [[Αξιώματα Πεάνο|τα μοντέλα]] του Peano αξιώματα πρέπει να υπάρχει. ===Αξιώματα Πεάνο=== Τα [[αξιώματα Πεάνο]] δίνουν μια τυπική θεωρία των φυσικών αριθμών. Τα αξιώματα είναι: *Υπάρχει ένας φυσικός αριθμός 0 *Κάθε φυσικός αριθμός ''α'' έχει ένα φυσικό διάδοχο αριθμό, που συμβολίζεται με ''S''(''a''). Διαισθητικά, ''S''(''a'') είναι ένα {{nowrap|''a'' + 1}}. *Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός διάδοχος του οποίου είναι το 0. *Το''S'' είναι [[injective]], δηλαδή οι διακριτοί φυσικοί αριθμοί έχουν διακριτούς διαδόχους: αν {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}}, τότε {{nowrap|''S''(''a'') ≠ ''S''(''b'')}}. *Εάν ένα ακίνητο κατέχεται από 0 και από τον διάδοχο του κάθε φυσικού αριθμού που διαθέτει, τότε διακατέχεται από όλους τους φυσικούς αριθμούς. (Αυτό το αξίωμα διασφαλίζει ότι η απόδειξη τεχνικής της [[Μαθηματική επαγωγή|μαθηματικής επαγωγής]] είναι έγκυρη.) Το "0" στον παραπάνω ορισμό δεν χρειάζεται να αντιστοιχεί στον αριθμό μηδέν. "0" σημαίνει απλά κάποιο αντικείμενο που όταν συνδυάζεται με την κατάλληλη συνάρτηση διαδοχής, ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. Όλα τα συστήματα που ικανοποιούν αυτά τα αξιώματα είναι στοιχειωδώς ισοδύναμα σε λογική πρώτης τάξης, όμως, υπάρχουν μοντέλα για τα αξιώματα του Peano που είναι μη μετρήσιμα. Αυτά ονομάζονται μη τυποποιημένα πρότυπα για την αριθμητική και είναι εγγυημένα από το Upward Löwenheim-Skolem θεώρημα. Το όνομα "0" χρησιμοποιείται εδώ για το πρώτο στοιχείο (ο όρος "στοιχείο μηδενικής» έχει προταθεί να αφήσει σαν "πρώτο στοιχείο" το "1", "δεύτερο στοιχείο" το "2", κλπ.), το οποίο είναι το μόνο στοιχείο που δεν είναι διάδοχος. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί που αρχίζουν με 1 πληρούν επίσης τα αξιώματα, εάν το σύμβολο 0 ερμηνεύεται ως ο φυσικός αριθμός 1, το σύμβολο ''S''(''0'') σαν τον αριθμό 2, κλπ. Στην πραγματικότητα, στην αρχική σύνθεση του Peano, ο πρώτος φυσικός αριθμός ήταν το 1. ===Κατασκευές βασισμένες στη θεωρία των συνόλων === ====Ένα πρότυπο κατασκευής==== Μια τυπική κατασκευή στη [[Θεωρία συνόλων|θεωρία των συνόλων]],μια ειδική περίπτωση της [[von Neumann ordinal]] τακτικής κατασκευής, είναι να καθορίσει τους φυσικούς αριθμούς ως εξής: :Ορισμός 0 := { }, το [[Θεωρία συνόλων|κενό σύνολο]], :και να καθορίσει ''S''(''a'') = ''a'' ∪ {''a''} για κάθε σύνολο ''a''. ''S''(''a'') είναι ο διάδοχος του ''a'', και ''S'' ονομάζεται η λειτουργία διαδόχου. :Με το [[Άπειρο|αξίωμα του απείρου]], το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών υπάρχει και είναι η τομή όλων των συνόλων που περιέχουν το 0, τα οποία είναι κλειστά κάτω από αυτή τη λειτουργία διαδόχου. Αυτό ικανοποιεί τότε τα [[αξιώματα Πεάνο]]. :Κάθε φυσικός αριθμός είναι τότε ίσος με το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών λιγότερο από αυτό, έτσι ώστε :*0 = { } :*1 = {0} = {{ }} :*2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}} :*3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} ={{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} :*''n'' = {0, 1, 2, ..., ''n''−2, ''n''−1} = {0, 1, 2, ..., ''n''−2,} ∪ {''n''−1} = {''n''−1} ∪ (''n''−1) = ''S''(''n''−1) :και ούτω καθεξής. Όταν ένας φυσικός αριθμός χρησιμοποιείται ως ένα σύνολο, αυτό είναι συνήθως αυτό που εννοείται. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, υπάρχουν ακριβώς n στοιχεία (σε αφελή έννοια) στο σύνολο ''n'' και ''n'' ≤ ''m'' (σε αφελή έννοια) [[αν και μόνο αν]] ''n'' είναι ένα [[υποσύνολο]] του ''m''. :Επίσης, με τον ορισμό αυτό, διάφορες πιθανές ερμηνείες των συμβολισμών όπως '''R'''<sup>''n''</sup> (''n-'' έναντι αντιστοιχίσεις του ''n'' σε '''R''') συμπίπτουν. :Ακόμα και αν κάποιος δεν αποδέχεται το αξίωμα του απείρου και ως εκ τούτου δεν μπορεί να δεχθεί ότι το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών υπάρχει, είναι δυνατόν να ορίσουμε τι σημαίνει να είναι ένα από αυτά τα σύνολα. Ένα σύνολο ''n'' είναι ένας φυσικός αριθμός που σημαίνει ότι είναι είτε 0 (κενό) ή ένα διάδοχο, και το καθένα από τα στοιχεία του είναι είτε 0 είτε ο διάδοχος του άλλου από τα στοιχεία του. ====Άλλες κατασκευές==== Παρόλο που η τυπική κατασκευή είναι χρήσιμη, δεν είναι η μόνη δυνατή κατασκευή. Για παράδειγμα: :θα μπορούσε κανείς να ορίσει 0 = { } :και''S''(''a'') = {''a''}, :παραγωγή :*0 = { } :*1 = {0} ={{ }} :*2 = {1} = {{{ }}}, κ.λπ. :Κάθε φυσικός αριθμός είναι τότε ίσος με το σύνολο του φυσικού αριθμού που προηγείται. Είναι επίσης δυνατόν να καθοριστεί 0 = {{ }} :και''S''(''a'') = ''a'' ∪ {''a''} :παραγωγή :*0 = {{ }} :*1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}} :*2 = {{ }, 0, 1}, etc. Ο παλαιότερος και πιο «κλασικός» συνολικός θεωρητικός ορισμός των φυσικών αριθμών είναι ο ορισμός που συνήθως αποδίδεται στον [[Γκότλομπ Φρέγκε]] και στον [[Μπέρτραντ Ράσελ]] του οποίου κάθε συγκεκριμένος φυσικός αριθμός n ορίζεται ως το σύνολο όλων των συνόλων με ''n'' στοιχεία..<ref>''[http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Frege.pdf Die Grundlagen der Arithmetik:]'' ''eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl'' (1884). Breslau.</ref><ref>Whitehead, Alfred North, and Bertrand Russell. ''[[Principia Mathematica]]'', 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912, and 1913. Second edition, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abridged as ''Principia Mathematica to *56'', Cambridge University Press, 1962.</ref> Αυτό μπορεί να εμφανίζεται κυκλικό, αλλά μπορεί να γίνει με προσοχή αυστηρό. Ορίστε 0 ως {{ }} (προφανώς το σύνολο όλων των συνόλων με μηδενικά στοιχεία) και να καθορίσει ''S''(''A'') (για κάθε σύνολο ''Α''), όπως {{nowrap begin}}{''x'' ∪ {''y''} | ''x'' ∈ ''A'' ∧ ''y'' ∉ ''x''}{{nowrap end}}.Το 0 τότε θα είναι το σύνολο όλων των συνόλων με μηδενικά στοιχεία, {{nowrap|1 {{=}} ''S''(0)}}θα είναι το σύνολο όλων των συνόλων με ένα στοιχείο, {{nowrap|2 {{=}} ''S''(1)}} είναι το σύνολο όλων των συνόλων με δύο στοιχεία, και ούτω καθεξής . Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών μπορεί να οριστεί ως η τομή όλων των συνόλων που περιέχουν 0 ως ένα στοιχείο και να κλείσει κάτω από''S'' (δηλαδή, εάν το σύνολο περιέχει ένα στοιχείο ''n'', περιέχει επίσης ''S''(''n'')). Κάποιος θα μπορούσε επίσης να καθορίσει "πεπερασμένο" ανεξάρτητα από την έννοια του «φυσικού αριθμού", και στη συνέχεια να ορίσει τους φυσικούς αριθμούς ως κλάσεις ισοδυναμίας των πεπερασμένων συνόλων σύμφωνα με την σχέση ισοδυναμίας της [[equipollence]]. Ο ορισμός αυτός δεν λειτουργεί στα συνήθη συστήματα της [[αξιωματική θεωρία συνόλων|αξιωματικής θεωρίας συνόλων]] , επειδή οι συλλογές που συμμετέχουν είναι πολύ μεγάλες (δεν θα λειτουργήσει σε οποιαδήποτε θεωρία των συνόλων με το [[αξίωμα του διαχωρισμού ]]);αλλά κάνει δουλειά σε [[Νέα Ιδρύματα]] (και σχετίζονται με τα συστήματα που είναι γνωστό ότι είναι σχετικά συνεπή), και σε κάποια συστήματα της [[θεωρία τύπου|θεωρίας τύπου]]. == Συναρτησιακή προσέγγιση == Ο [[Λούντβιχ Βίτγκενσταϊν|Βίτγκενσταϊν]] στο ''[[Tractatus Logico-Philosophicus]]'' ([[1921]]) έγραφε «ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης», δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας ''[[συνάρτηση]]ς''. Ο [[Αλόνζο Τσερτς|Τσερτς]] (Church) το [[1933]] αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του [[Λογισμός λάμδα|λαμδαλογισμού]], ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα ''[[Κωδικοποίηση Τσερτς|αριθμιακά Τσερτς]]'' (Church numerals) ως εξής: <div style='text-align: center;'> <math>\bar{n}:=\lambda fx.\ f^{(n)}(x)</math> </div> Έτσι, το αριθμιακό <math>\bar{n}</math>, δηλαδή ο φυσικός αριθμός <math>n</math>, εκφράζεται μέσα από τις <math>n</math> διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης <math>f</math> σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο [[επαγωγικός ορισμός]] των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του ''μηδέν'' <math>0</math> και της ''συνάρτησης διαδοχής'' <math>S</math>: <div style='text-align: center;'> <math>0\in\mathbb{N},\ \ n\in\mathbb{N}\Rightarrow S(n)\in\mathbb{N}</math> </div> Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός <math>n</math> βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής <math>S</math> στο μηδέν, <math>n</math> διαδοχικές φορές: <div style='text-align: center;'> <math>n:=\underbrace{S(S(\cdots(S}_n(0))))=S^n(0)</math> </div> == Αναφορές και παρατηρήσεις == {{παραπομπές|30em}} {{Αριθμοί}} {{Φυσικοί αριθμοί}} {{Authority control}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} [[Κατηγορία:Φυσικοί αριθμοί]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>s8a11ff18vii3ru511fpt1ee1ce7jdo</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων</title>
<ns>0</ns>
<id>39625</id>
-<revision>
<id>5387120</id>
<parentid>5387118</parentid>
<timestamp>2015-08-18T08:45:27Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>προστέθηκε η [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="19789" xml:space="preserve">[[File:Draft0.svg|right|thumb|[[Ισομετρικό σχέδιο|Ισομετρική]] όψη του καρτεσιανού συστήματος από παρατηρητή που βρίσκεται σε θετικά x, y, z. Οι κατευθύνσεις των αξόνων πρέπει να είναι σύμφωνα με τον μνημονικό [[κανόνας του δεξιού χεριού|κανόνα του δεξιού χεριού]]]] Στα [[μαθηματικά]], το '''καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων''' είναι ένα ορθογώνιο [[σύστημα συντεταγμένων]] που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει ένα [[σημείο]] στο [[επίπεδο]] ή στο [[Χώρος|χώρο]]. Οφείλει το όνομά του στον [[Ρενέ Ντεκάρτ|Καρτέσιο]] (''Descartes'') που το εισήγαγε. ==Καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο== [[Image:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|right|250px| Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.<br />''x'' = '''άξονας τετμημένων''',<br />''y'' = '''άξονας τεταγμένων''']] Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο αποτελείται από δύο [[Προσανατολισμός|προσανατολισμένες]] [[ευθεία|ευθείες]], κάθετες μεταξύ τους, οι οποίες καλούνται συμβατικά '''άξονας τετμημένων''' (οριζόντιος άξονας) και '''άξονας τεταγμένων''' (κατακόρυφος άξονας) και συμβολίζονται αντίστοιχα με ''x'' και ''y''. Το σημείο όπου τέμνονται λέγεται '''αρχή του συστήματος συντεταγμένων'''. Ένα σημείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο προσδιορίζεται μοναδικά από ένα ζεύγος αριθμών, την τετμημένη και την τεταγμένη. Η τετμημένη είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα y και η τεταγμένη είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα x. Η τετμημένη και η τεταγμένη αποτελούν τις ''συντεταγμένες'' του σημείου. Με αυτή τη σύμβαση, η αρχή των αξόνων ταυτίζεται με το σημείο (0,0). Επιπλέον ορίζεται [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] ίση με 1, σύμφωνα με την οποία αριθμούνται οι άξονες. Οι ''συντεταγμένες'' (''x''<sub>P</sub>,''y''<sub>P</sub>) ενός σημείου P δηλώνουν τη θέση του P κατά την [[ορθή προβολή]] του στους άξονες τετμημένων και τεταγμένων αντίστοιχα. == Καρτεσιανές συντεταγμένες στο χώρο == [[Image:Coord system CA 0.svg|thumb|250px|Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στις τρεις διαστάσεις. Κάθε σημείο P στο χώρο μπορεί να παρασταθεί με μία τριάδα αριθμών (x,y,z), κάθε μία εκ των οποίων αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση του σημείου από τον αντίστοιχο άξονα.]] Εντελώς αντίστοιχα επιχειρήματα ισχύουν και στην περίπτωση των τριών ή και ανώτερων διαστάσεων. Στις τρεις διαστάσεις, εκτός από τους άξονες x και y ορίζουμε και έναν τρίτο άξονα z, κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο πρώτοι. Έτσι κάθε σημείο στο χώρο μπορεί να παρασταθεί από μία μοναδική τριάδα αριθμών (x,y,z), με κάθε συντεταγμένη να αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση του σημείου από κάθε έναν από τους τρεις άξονες αντίστοιχα. == Διανυσματικός λογισμός == ===Αναπαράσταση διανύσματος=== Ένα οποιοδήποτε [[διάνυσμα]] μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός d γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, όπου d η διάσταση του χώρου που μελετάμε. Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορθομοναδιαία διανύσματα <math>\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}}</math> τα οποία έχουν διεύθυνση κατά τη θετική φορά των αξόνων x, y και z αντίστοιχα. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράψουμε το διάνυσμα θέσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y,z) στο χώρο με τον εξής τρόπο: : <math> \bold{r}=x\ \boldsymbol{\hat{x}}+y\ \boldsymbol{\hat{y}}+z\ \boldsymbol{\hat{z}} </math> Επιπροσθέτως, τα μοναδιαία διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: : <math> \frac{\partial e_{i}}{\partial x_{j}}=0 </math> όπου i,j=1,2,...,d και : <math> (e_1,e_2,e_3,...)\equiv (\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}},...), \ \ \ (x_1,x_2,x_3,...)\equiv (x,y,z,...) </math> Τα μοναδιαία διανύσματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι λοιπόν σταθερά, δηλαδή οι παράγωγοι αυτών ως προς οποιαδήποτε καρτεσιανή μεταβλητή ισούται με μηδέν. === Τελεστής ανάδελτα === Σε τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο [[Ανάδελτα|τελεστής ανάδελτα]] ορίζεται ως : <math> \boldsymbol{\nabla}(x,y,z)=\boldsymbol{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{\hat{z}}\frac{\partial}{\partial z} </math> === Λαπλασιανή === Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορούμε να υπολογίσουμε τον τελεστή της [[Λαπλασιανός τελεστής|Λαπλασιανής]]: : <math> \nabla^2(x,y,z)=\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)\cdot\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} </math> == Τροχιές σωμάτων σε καρτεσιανές συντεταγμένες == Στη [[Φυσική]], είναι πολλές φορές χρήσιμο να παραστήσουμε μαθηματικά τη [[θέση]], [[ταχύτητα]] και [[επιτάχυνση]] ενός σώματος που κινείται σε τρεις διαστάσεις με τα παρακάτω διανύσματα: : <math> \begin{align} \bold{r} &= x\ \boldsymbol{\hat{x}}+y\ \boldsymbol{\hat{y}}+z\ \boldsymbol{\hat{z}} \\ \bold{v} &= \dot{x}\ \boldsymbol{\hat{x}}+\dot{y}\ \boldsymbol{\hat{y}}+\dot{z}\ \boldsymbol{\hat{z}} \\ \bold{a} &= \ddot{x}\ \boldsymbol{\hat{x}}+\ddot{y}\ \boldsymbol{\hat{y}}+\ddot{z}\ \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} </math> Οι παραπάνω σχέσεις αποδεικνύονται εύκολα [[Παράγωγος|παραγωγίζοντας]] τις συνιστώσες του διανύσματος θέσης '''r'''. Εν γένει, αν παραγωγίσουμε ένα διάνυσμα ενδέχεται να χρειαστεί να παραγωγίσουμε και μερικά από τα μοναδιαία διανύσματα. Αυτό εξαρτάται πάντα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται τα διανύσματα αυτά. Ένα παράδειγμα συστήματος συντεταγμένων όπου ορίζονται οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι το [[πολικό σύστημα συντεταγμένων]]. == Απειροστικός λογισμός == Η χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων είναι πολύ συνηθισμένη στον [[Απειροστικός λογισμός|απειροστικό λογισμό]], ειδικά σε επίπεδο μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Παρακάτω αναφέρονται μερικά από τα δημοφιλέστερα προβλήματα που εμφανίζονται στον απειροστικό λογισμό, και πως εφαρμόζει κανείς τις καρτεσιανές συντεταγμένες στα προβλήματα αυτά. === Μήκος καμπύλης === Εν γένει, το μήκος μίας καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί μέσω ενός ολοκληρώματος αν παραμετροποιήσουμε την καμπύλη αυτή με μία αυθαίρετη παράμετρο λ. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες (σε δύο διαστάσεις) κάθε σημείου μίας καμπύλης είναι συναρτήσεις της παραμέτρου λ και ότι κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου, τότε το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης θα ισούται με : <math> L_{AB}=\int_{A}^{B}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{x(\lambda)}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{y(\lambda)}{d\lambda}\right)^2}\ d\lambda </math> όπου υποθέσαμε ότι οι τιμές της παραμέτρου λ στα σημεία Α και Β είναι a και b αντίστοιχα. Επίσης, ds είναι το στοιχειώδες μήκος της καμπύλης. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, το στοιχειώδες μήκος μίας καμπύλης ισούται με : <math> ds^2=dx^2+dy^2 \ \ \ </math> όπου dx μία στοιχειώδης μετατόπιση κατά τον άξονα x και dy μία στοιχειώδης μετατόπιση κατά τον άξονα y. Η παραπάνω σχέση ισχύει για οποιονδήποτε δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, στον οποίο εφαρμόζεται το [[Πυθαγόρειο Θεώρημα]]. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" style="text-align:left" ! Εφαρμογή του παραπάνω τύπου για τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός κύκλου. |- | Έστω [[κύκλος]] ακτίνας R, με κέντρο την αρχή των αξόνων. Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση : <math> x^2+y^2=R^2\ , </math> συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο για τις συντεταγμένες (x,y) κάθε σημείου τη γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα θέσης κάθε σημείου με τον άξονα x. Ένας τρόπος να παραμετροποιήσουμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου του κύκλου είναι μέσω των εξισώσεων : <math> x=R\cos{\theta}, \ \ \ y=R\sin{\theta} </math> Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω τρόπος παραμετροποίησης του προβλήματος ικανοποιεί τη συνθήκη x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=R<sup>2</sup> για τον κύκλο. Αντικαθιστώντας στη σχέση που μας δίνει το μήκος καμπύλης με την παράμετρο θ να παίρνει τιμές από 0 έως 2π, βρίσκουμε ότι: : <math> C=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-R\sin{\theta})^2+(R\cos{\theta})^2} d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{R^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}\ d\theta=2\pi R </math> Που είναι ο γνωστός τύπος της περιμέτρου ενός κύκλου ακτίνας R. |} Θα μπορούσε επίσης η καμπύλη να δίνεται υπό τη μορφή μίας συνάρτησης y=f(x). Στη περίπτωση αυτή, το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί με τους δύο παρακάτω τρόπους: : <math> L_{AB}=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{1+\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2}\ dx=\int_{y_A}^{y_B}\sqrt{\left(\frac{dx(y)}{dy}\right)^2+1}\ dy </math> Ο πρώτος τρόπος απαιτεί τον υπολογισμό της παραγώγου της ίδιας της συνάρτησης y=f(x) με συνακόλουθη ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή x, ενώ ο δεύτερος απαιτεί τον υπολογισμό της παραγώγου ''αντίστροφης'' συνάρτησης x=f <sup>−1</sup>(y) με συνακόλουθη ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή y. Και οι δύο τρόποι είναι εντελώς ταυτόσημοι, συνεπώς επιλέγεται συνήθως εκείνος που θα διευκολύνει όσο το δυνατόν περισσότερο τον υπολογισμό του ολοκληρώματος που σχετίζεται με την εύρεση του μήκους της καμπύλης που μας ενδιαφέρει. === Εμβαδόν === [[Αρχείο:Integral example.png|thumb|right|250px|Το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη f(x) και τις ευθείες x=a, x=b ισούται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης από x=a έως x=b.]] Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι υπολογισμού εμβαδού που περικλείεται από μία καμπύλη της μορφής y=f(x) και δύο ευθειών x=a, x=b. Ο πρώτος είναι να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση f(x) από x=a έως x=b. Αν Α το εμβαδόν που θέλουμε να υπολογίσουμε, τότε: : <math> A=\int_{a}^{b}|f(x)|\ dx </math> Η απόλυτη τιμή της συνάρτησης f(x) χρησιμοποιείται διότι, αν σε κάποιο διάστημα (c,d) εντός του (a,b) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, τότε το ολοκλήρωμά της θα μας δώσει ένα αρνητικό νούμερο. Συνεπώς, βάζουμε απόλυτη τιμή στη συνάρτηση καθώς ολοκληρώνουμε για να είμαστε σίγουροι ότι το εμβαδόν που θα πάρουμε τελικά θα είναι θετικό. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" style="text-align:left" ! Εφαρμογή του παραπάνω τύπου για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου. |- | Έστω [[κύκλος]] ακτίνας R, με κέντρο την αρχή των αξόνων. Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση : <math> x^2+y^2=R^2\ , </math> Λύνοντας ως προς y, βρίσκουμε ότι : <math> y=\pm\sqrt{R^2-x^2} </math> Το πρόσημο συν αναφέρεται στο άνω ημικύκλιο, ενώ το πρόσημο πλην στο κάτω ημικύκλιο. Το εμβαδόν Α του κύκλου μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι θα ισούται με δύο φορές το εμβαδόν του άνω ημικυκλίου: : <math> A=2\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}\ dx=2\int_{\pi}^{2\pi}R^2\sin^2{\theta}\ d\theta=2R^2\int_{\pi}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\ d\theta=(2R^2)\frac{\pi}{2}=\pi R^2 </math> Που είναι ο γνωστός τύπος του εμβαδού ενός κύκλου ακτίνας R. Στον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος κάναμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση x=Rcosθ και χρησιμοποιήσαμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες : <math> \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1, \ \ \ \cos(2\theta)=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta} </math> |} == Μετρική στον Ευκλείδειο χώρο == Στη [[διαφορική γεωμετρία]], η [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]] του d-διάστατου Ευκλείδειου χώρου μπορεί να γραφτεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες υπό τη μορφή ενός d×d [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακα]] με τον ακόλουθο τρόπο: : <math> g_{\mu\nu}=\mathbb{I} </math> όπου '''I''' ο μοναδιαίος πίνακας. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, και υιοθετώντας την [[σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν]], μπορούμε να γράψουμε το τετράγωνο του στοιχείου μήκους στον d-διάστατο Ευκλείδειο χώρο ως εξής: : <math> ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dx^2+dy^2+dz^2+... \ \ \ </math> όπου θεωρήσαμε ότι οι δείκτες άθροισης μ,ν παίρνουν τις τιμές 1,2,3,...,d και : <math> (x^1,x^2,x^3,...)\equiv (x,y,z,...) </math> == Βιβλιογραφία == * Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). ''Απειροστικός λογισμός, Τόμος Ι''. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. * Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). ''Απειροστικός λογισμός, Τόμος ΙΙ''. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. == Άλλα συστήματα συντεταγμένων == *[[Παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων]] *[[Πολικό σύστημα συντεταγμένων|Πολικές συντεταγμένες]] *[[Κυλινδρικές συντεταγμένες]] *[[Σφαιρικές συντεταγμένες]] *[[Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες]] [[Κατηγορία:Συστήματα συντεταγμένων]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Διάσταση]] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]] {{μαθηματικά-επέκταση}} {{Θέματα Διαστάσεων}} [[fi:Koordinaatisto#Suorakulmainen koordinaatisto]]</text>
<sha1>cxeyu3mkp7xhj389z4f9mx56k69aijn</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Απόσταση (γεωμετρία)</title>
<ns>0</ns>
<id>19907</id>
-<revision>
<id>5395588</id>
<parentid>4729809</parentid>
<timestamp>2015-08-24T21:05:41Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>αφαιρέθηκε η [[Κατηγορία:Γεωμετρία]]; προστέθηκε η [[Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="25033" xml:space="preserve">{{Επιστημονικό πεδίο| |όνομα= Απόσταση |dewey= 516 |msc2010= 51Kxx }} '''Απόσταση ''' είναι μια αριθμητική περιγραφή του πόσο μακριά είναι τα αντικείμενα. Στη φυσική ή στην καθημερινή συζήτηση η απόσταση μπορεί να αναφέρεται σε μια φυσική διάρκεια ή μια εκτίμηση με βάση άλλα κριτήρια. Στα μαθηματικά η απόσταση ή μετρική είναι μια γενίκευση της έννοιας της φυσικής απόστασης. Μια μετρική είναι μια λειτουργία που συμπεριφέρεται σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σύνολο κανόνων, και παρέχει ένα συγκεκριμένο τρόπο να περιγράψει τι σημαίνει για τα στοιχεία κάποιου χώρου να είναι "κοντά>" ή "μακριά" το ένα από το άλλο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, "απόσταση από το Α στο Β" είναι ισοδύναμο με το "απόσταση μεταξύ Β και Α". Στη βασική [[Γεωμετρία]] η έννοια της '''απόστασης''' ορίζεται ως το ελάχιστο μήκος [[ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμου τμήματος]] που συνδέει [[σημείο|σημεία]], [[ευθεία|ευθείες]] ή [[επίπεδο|επίπεδα]] μεταξύ τους. Συγκεκριμένα απαντάται στις ακόλουθες περιπτώσεις: * Απόσταση <u>μεταξύ δύο σημείων:</u> λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τα δύο αυτά σημεία. * Απόσταση <u>σημείου από ευθείας:</u> λέγεται το κάθετο τμήμα που άγεται από το σημείο προς την ευθεία. * Απόσταση <u>δύο παραλλήλων ευθειών:</u> λέγεται το μήκος της μεταξύ αυτών κοινής καθέτου. * Απόσταση <u>μεταξύ δύο ασυμβάτων ευθειών</u>(δηλαδή μη κείμενων στο αυτό επίπεδο): λέγεται το μήκος της μεταξύ αυτών κοινής καθέτου. * Απόσταση <u>σημείου από επιπέδου:</u> λέγεται το μήκος της καθέτου που άγεται από το σημείο προς το επίπεδο. * Απόσταση <u>μεταξύ δύο παραλλήλων επιπέδων:</u> λέγεται το μεταξύ τούτων τμήμα οποιασδήποτε κοινής καθέτου διέρχόμενης αμφοτέρων. * Απόσταση <u>μεταξύ δύο συνόλων από σημεία:</u> λέγεται το τμήμα του οποίου τα ακρα είναι από το ένα και το άλλο σύνολο και έχει το μικρότερο μήκος. Τυπικά η απόσταση ορίζεται ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις αυτό ειναι που υπολογίζεται. == Μαθηματικά == Δες επίσης:[[Μετρική (μαθηματικά)]] === Γεωμετρία === Στην βασική [[Γεωμετρία]] η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (''x''<sub>1</sub>) και (''x''<sub>2</sub>) είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα συνδέει: :<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2}.\,</math> Στην Αναλυτική Γεωμετρία η απόσταση δύο σημείων που ανήκουν στο [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]] μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο της απόστασης.Η απόσταση μεταξύ των σημείων (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) και (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) δίνεται από: :<math>d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\,</math> Όμοια,δοσμένων σημείων (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>) και (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>) στον τρισδιάστατο χώρο,η μεταξύ τους απόσταση δίνεται από: :<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.</math> Αυτοί οι τύποι προκύπτουν εύκολα από την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου και εφαρμόζοντας το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]]. Στη μελέτη πολύπλοκων γεωμετριών, καλούμε αυτόν τον τύπο της απόστασης Ευκλείδεια απόσταση, δεδομένου ότι προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, και ο οποίος δεν ισχύει σε μη Ευκλείδεια γεωμετρία. === Απόσταση σε Ευκλείδειους χώρους === Στον Ευκλείδειο χώρο '''R'''<sup>n</sup> η απόσταση μεταξύ δύο σημείων δίνεται συνήθως από την Ευκλείδεια απόσταση (2-νόρμική απόσταση d_2). Από ένα σημείο (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...,''x''<sub>''n''</sub>) και ένα σημείο (''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ...,''y''<sub>''n''</sub>), η '''Απόσταση Minkowski ''' τάξης p (p-νορμική απόσταση) ορίζεται ως: {| cellpadding="2" | 1-νορμική απόσταση || <math> d_1= \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|</math> |- | 2- νορμική απόσταση|| <math> d_2= \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^2 \right)^{1/2}</math> |- | ''p''-νορμική απόσταση ||<math> d_p= \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}</math> |- | ''∞''- νορμική απόσταση ||<math> d_\infty= \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}</math> |- | || <math> = \max \left(|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \right).</math> |} όπου ο ''p'' δεν χρειάζεται να είναι ακέραιος αλλά δεν μπορεί να είναι μικρότερος από 1. Η 2-νορμική απόσταση είναι η [[Ευκλείδεια απόσταση]],δηλαδή μια γενίκευση του [[Πυθαγόρειο Θεώρημα|Πυθαγόρειο]]υ [[Θεώρημα|θεωρήμα]]τος σε περισσότερες από δύο [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων|συντεταγμένες]]. Είναι αυτό που θα μπορούσε να επιτευχθεί εάν η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μετρηθεί με ένα [[χάρακας|χάρακα]]. Ο 1-νορμική απόσταση ονομάζεται και νορμική ταξί ή απόσταση Manhattan, επειδή είναι η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο σε μια πόλη που ορίζεται από οικοδομικά τετράγωνα (εάν δεν υπάρχουν μονόδρομοι). Η απόσταση ''∞''- νορμική ονομάζεται επίσης και [[απόσταση Chebyshev]]. Στον δισδιάστατο χώρο, είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που απαιτείται να μετακινείται ο [[Βασιλιάς (σκάκι)|βασιλιάς]] μεταξύ δύο τετραγώνων σε μια [[σκακιέρα]]. Η ''p''-νορμική σπάνια χρησιμοποιείται για τιμές του p διαφορετικές των 1, 2 και το άπειρο. Στο φυσικό χώρο η Ευκλείδεια απόσταση είναι κατά κάποιο τρόπο η πιο φυσική, διότι στην περίπτωση αυτή το μήκος ενός [[στερεό|στερεο]]ύ [[Σώμα (φυσική)|σώμα]]τος δεν αλλάζει με την [[περιστροφή]]. Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χώρο (και) μπορεί να γραφτεί σε μια Μεταβολική μορφή όπου η απόσταση είναι η ελάχιστη αξία της αναπόσπαστο: === Μεταβολική διαμόρφωση της απόστασης === Η [[Ευκλείδεια απόσταση]] μεταξύ δύο σημείων στο χώρο (<math>A = \vec{r}(0)</math> and <math>B = \vec{r}(T)</math>) μπορεί να γραφεί σαν μια [[μεταβολική]] μορφή,όπου η απόσταση είναι η ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος: : <math> D = \int_0^T \sqrt{\left({\partial \vec{r}(t) \over \partial t}\right)^2} \, dt </math> Εδώ ο <math>\vec{r}(t)</math> είναι η τροχιά (διαδρομή) μεταξύ των δύο σημείων. Η τιμή του ολοκληρώματος (D) αντιπροσωπεύει το μήκος αυτής της τροχιάς. Η απόσταση είναι η ελάχιστη αξία αυτού του ολοκληρώματος και επιτυγχάνεται όταν <math>r = r^{*}</math>,όπου το <math>r^{*}</math> είναι η βέλτιστη τροχιά. Στην γνωστή Ευκλείδεια περίπτωση (το παραπάνω ολοκλήρωμα),η βέλτιστη διαδρομή είναι απλά μια ευθεία γραμμή. Είναι γνωστό ότι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή.Οι ευθείες γραμμές μπορούν τυπικά να ληφθούν με την επίλυση των [[Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ|εξισώσεων Euler-Lagrange]], για την παραπάνω λειτουργία. Σε μη-Ευκλείδειες περιπτώσεις (κυρτοί χώροι), όπου η φύση του χώρου αντιπροσωπεύεται από μια [[μετρική(μαθηματικά)|μετρική]] <math>g_{ab}</math> το ολοκλήρωμα πρέπει να τροποποιηθεί σε <math>\sqrt{g^{ac}\dot{r}_c g_{ab}\dot{r}^b}</math>, όπου έχει χρησιμοποιηθεί η [[σύμβαση άθροισης του Αινστάιν]]. === Γενίκευση σε υψηλότερα-τρισδιάστατα αντικείμενα === Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο αντικειμένων μπορεί επίσης να γενικευθεί σε περίπτωση που τα αντικείμενα δεν είναι πλέον σημεία, αλλά είναι υψηλότερων διαστάσεων [[πολλαπλότητα|πολλαπλότητες]], όπως καμπύλες, έτσι ώστε εκτός από το να μιλάμε για απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να συζητήσει κάποιος έννοιες της απόστασης μεταξύ δύο συμβολοσειρών. Δεδομένου ότι τα νέα αντικείμενα που εξετάζονται είναι εκτεταμένα αντικείμενα (όχι πια σημεία) πρόσθετες έννοιες, όπως η μη-επεκτασιμότητα, περιορισμοί [[καμπυλότητα]]ς και μη τοπικές αλληλεπιδράσεις που επιβάλουν τη μη διέλευση να γίνουν επίκεντρο στην έννοια της απόστασης. Η απόσταση μεταξύ των δύο πολλαπλοτήτων είναι το βαθμωτό μέγεθος που προκύπτει από την ελαχιστοποίηση της γενικευμένης λειτουργικής απόστασης, η οποία αντιπροσωπεύει μια μετατροπή μεταξύ των δύο πολλαπλοτήτων: : <math> \mathcal {D} = \int_0^L\int_0^T \left \{ \sqrt{\left({\partial \vec{r}(s,t) \over \partial t}\right)^2} + \lambda \left[\sqrt{\left({\partial \vec{r}(s,t) \over \partial s}\right)^2} - 1\right] \right\} \, ds \, dt </math> Το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα είναι η γενικευμένη λειτουργική απόσταση μεταξύ δύο μετατροπών plymer. Το <math>s</math> είναι η παράμετρος του χώρου και η <math>t</math> είναι ο ψευδο-χρόνος. Αυτό σημαίνει ότι το <math>\vec{r}(s,t=t_i)</math> είναι η πολυμερής / συμβολοσειρά μετατροπή τη στιγμή <math>t_i</math> και παραμετροποιείται σε όλο το μήκος της συμβολοσειράς από το <math> s</math>. Ομοίως,το <math>\vec{r}(s=S,t)</math> είναι η πορεία από ένα απειροελάχιστο τμήμα της συμβολοσειράς κατά τη μετατροπή <math>\vec{r}(s,0)</math> στην μετατροπή <math>\vec{r}(s,T)</math>.Ο όρος με τον συμπαράγοντα λ είναι ένας [[πολλαπλασιαστής Lagrange]] και ο ρόλος του είναι να διασφαλίσει ότι το μήκος του πολυμερούς παραμένει το ίδιο κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Εάν δύο διακριτά πολυμερή είναι μη επεκτάσιμα,τότε η ελάχιστη απόσταση-μετασχηματισμού μεταξύ τους δεν περιλαμβάνει πλέον μια καθαρά ευθεία κίνηση, ακόμα και με μια Ευκλείδεια μετρική. Υπάρχει μια πιθανή εφαρμογή της εν λόγω γενικευμένης απόστασης από το πρόβλημα της [[protein folding|αναδίπλωσης των πρωτεϊνών]]<ref>SS Plotkin, PNAS.2007; 104: 14899–14904,</ref><ref>AR Mohazab, SS Plotkin,"Minimal Folding Pathways for Coarse-Grained Biopolymer Fragments" Biophysical Journal, Volume 95, Issue 12, Pages 5496–5507</ref>. Αυτή η γενικευμένη απόσταση είναι ανάλογη με την [[Nambu-Goto action|Nambu-Goto δράση]] στη [[θεωρία συμβολοσειρών]], ωστόσο, δεν υπάρχει ακριβής αντιστοιχία, επειδή η Ευκλείδεια απόσταση σε 3διάστατο-χώρο είναι ισότιμη με την απόσταση του χωροχρόνου όταν ελαχιστοποιείται για την κλασική σχετικιστική συμβολοσειρά. === Αλγεβρική Απόσταση === Η '''αλγεβρική απόσταση''' είναι μια μετρική που χρησιμοποιείται συχνά στην [[όραση υπολογιστών]], η οποία μπορεί να ελαχιστοποιηθεί με την εκτίμηση των [[ελάχιστα τετράγωνα|ελάχιστων τετραγώνων]]. [http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/ALGDIST/alg.htm][http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/CIRCLEFIT/fit2dcircle/node3.html] Για τις καμπύλες ή τις επιφάνειες που δίνονται από την εξίσωση <math>x^T C x=0</math> (όπως σε μια [[κωνική με ομογενείς συντεταγμένες]]), η αλγεβρική απόσταση από το σημείο <math>x'</math> στην καμπύλη είναι απλώς <math>x'^T C x'</math>. Μπορεί να χρησιμεύσει ως "αρχική υπόθεση" για τη γεωμετρική απόσταση,ώστε να βελτιώσει τις εκτιμήσεις της καμπύλης με πιο ακριβείς μεθόδους, όπως η μη-γραμμική ελαχίστων τετραγώνων. === Γενική περίπτωση === Στα [[μαθηματικά]], ειδικότερα στη [[γεωμετρία]], η απόσταση σε μια συγκεκριμένη σειρά Μ είναι μια συνάρτηση d: ''M''×''M'' → '''R''',όπου το R συμβολίζει το σύνολο των [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικών αριθμών]], που πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις: *''d''(''x'',''y'') ≥ 0 και ''d''(''x'',''y'') = 0 [[αν και μόνο αν]] ''x'' = ''y''. (Η απόσταση είναι θετική ανάμεσα σε δύο διαφορετικά σημεία, και είναι ακριβώς μηδέν από το ένα σημείο στον εαυτό του.) *Είναι [[συμμετρική]]: ''d''(''x'',''y'') = ''d''(''y'',''x''). (Η απόσταση μεταξύ ''x'' και ''y'' είναι η ίδια από οποιαδήποτε κατεύθυνση.) *Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα:''d''(''x'',''z'') ≤ ''d''(''x'',''y'') + ''d''(''y'',''z'') . (Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι η συντομότερη απόσταση κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής). Μια τέτοια απόσταση είναι γνωστή ως [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]]. Μαζί με το σύνολο, κάνει έναν [[μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]]. Για παράδειγμα, ο συνήθης ορισμός της απόστασης μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών ''x'' και ''y'' είναι: ''d''(''x'',''y'') = |''x'' − ''y''|. Ο ορισμός αυτός πληροί τις τρεις ανωτέρω προϋποθέσεις, και αντιστοιχεί με το πρότυπο της πραγματικής γραμμής στην [[τοπολογία]]. Όμως, η απόσταση σε ένα δεδομένο σύνολο είναι μια ορισμένη επιλογή. Μια άλλη πιθανή επιλογή είναι να καθορίσει: ''d''(''x'',''y'') = 0 if ''x'' = ''y'', και 1 διαφορετικά. Αυτή ορίζει επίσης μια μετρική, αλλά δίνει μια εντελώς διαφορετική τοπολογία, τη [[διακριτή τοπολογία]]; Με τον ορισμό αυτό οι αριθμοί δεν μπορούν να είναι αυθαίρετα κοντά. === Απόσταση μεταξύ συνόλων και μεταξύ ενός σημείου και ενός συνόλου === [[File:Distance between sets.svg|thumb| ''d''(''A'', ''B'') > ''d''(''A'', ''C'') + ''d''(''C'', ''B'')]] Διάφοροι ορισμοί της αποστάσεως είναι δυνατοί μεταξύ αντικειμένων. Για παράδειγμα, μεταξύ των ουράνιων σωμάτων δεν θα πρέπει να συγχέουμε την επιφάνεια-σε-επιφάνεια απόσταση και την από-κέντρο-σε-κέντρο απόσταση. Αν η πρώτη είναι πολύ μικρότερη από την τελευταία αναφέρεται η πρώτη,διαφορετικά, π.χ. για την απόσταση Γη-Σελήνη ,αναφέρεται η τελευταία. Υπάρχουν δύο κοινοί ορισμοί για την απόσταση μεταξύ δύο μη κενών υποσυνόλων μιας δοσμένης ομάδας: *Μια εκδοχή της απόστασης μεταξύ δύο μη κενών συνόλων είναι το [[infimum]] των αποστάσεων μεταξύ δύο οποιονδήποτε αντίστοιχων σημείων τους, η οποία είναι η καθημερινή έννοια της λέξης. Αυτή είναι μια συμμετρική [[premetric]]. Με μια συλλογή από σύνολα εκ των οποίων ορισμένα άπτονται ή επικαλύπτουν το ένα το άλλο, δεν είναι "διαχωριστικό", επειδή η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαφορετικά, αλλά εφαπτόμενα ή επικαλυπτόμενα σύνολα είναι μηδέν. Επίσης, δεν είναι [[hemimetric]] εκτός από ειδικές περιπτώσεις. Συνεπώς, μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, η απόσταση κάνει μια συλλογή από σύνολα έναν μετρικό χώρο. *Η [[απόσταση Hausdorff]] είναι η μεγαλύτερο από δύο τιμές, μία είναι η [[supremum]] για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο, του infimum για ένα δεύτερο σημείο που κυμαίνεται πάνω από το άλλο σύνολο, η απόσταση μεταξύ των σημείων, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν. Αυτή η απόσταση καθιστά το σύνολο των μη-κενών συμπαγών υποσυνόλων του μετρικού χώρου το ίδιο μετρικό χώρο. Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου και ενός συνόλου είναι το infimum των αποστάσεων μεταξύ του σημείου και εκείνων στο σύνολο. Αυτό αντιστοιχεί στην απόσταση, σύμφωνα με το πρώτο από τους προαναφερόμενους ορισμούς της απόστασης μεταξύ των συνόλων, από το σύνολο που περιέχει μόνο αυτό το σημείο σε ένα άλλο σύνολο. Όσον αφορά αυτό, ο ορισμός της απόστασης Hausdorff μπορεί να απλοποιηθεί:είναι η μεγαλύτερη από τα δύο τιμές, η μία είναι η supremum ,για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο,της απόσταση μεταξύ του σημείου και του συνόλου, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν. === Θεωρία γραφημάτων(γράφων) === Στη θεωρία γραφημάτων, η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού μεταξύ των κορυφών. === Άλλες αποστάσεις === *E-statistics, ή energy statistics, είναι λειτουργίες αποστάσεων μεταξύ στατιστικών παρατηρήσεων. *Mahalanobis distance χρησιμοποιείται στην [[στατιστική]]. *Hamming distance και Lee distance χρησιμοποιούνται στην [[θεωρία κωδικοποιησης]]([[coding theory]]). *Levenshtein distance *Chebyshev distance *Canberra distance ''Circular distance'' είναι η απόσταση που διανύεται από έναν τροχό. Η περιφέρεια του τροχού είναι 2''π'' × radius,και υποθέτοντας ότι η ακτίνα είναι 1, τότε κάθε περιστροφή του τροχού είναι ισοδύναμη με της απόστασης 2''π'' ακτίνια. Στη Μηχανική το ''ω'' = 2''πƒ'' χρησιμοποιείται συχνά, όπου ''ƒ'' είναι η [[συχνότητα]]. == Αναφορές == <references/> *{{citation|last1=Deza|first1=E.|first2=M.|last2=Deza|author2-link=Michel Deza|title=Dictionary of Distances|year=2006|publisher=Elsevier|isbn=0444520872}}. * [http://en.wikipedia.org/wiki/Distance Distance,Wikipedia] [[Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>m8upqjqhkg1pfw3nwdwrahrey4rrec3</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Μεταβλητή (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>118786</id>
-<revision>
<id>6046280</id>
<parentid>5388454</parentid>
<timestamp>2016-10-01T17:24:06Z</timestamp>
-<contributor>
<ip>2A02:587:D009:1B00:3C1D:6DBD:EDDF:DF2</ip>
</contributor>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="2238" xml:space="preserve">{{πηγές|22|03|2015}} Η έννοια της '''μεταβλητής''' είναι αρχική έννοια για τα Μαθηματικά, δηλαδή τη δεχόμαστε [[αξίωμα|αξιωματικά]], χωρίς [[απόδειξη]]. Μια '''μεταβλητή''' είναι ένα γράμμα που μπορεί να περιέχει που συμβολίζει ένα τυχαίο '''στοιχείο''' ενός [[σύνολο|συνόλου]] και χρησιμεύει για να δηλωθεί μια κοινή ιδιότητα των στοιχείων του. Μια μεταβλητή «διατρέχει» όλα τα στοιχεία του συνόλου στο οποίο αναφερόμαστε (σύνολο αναφοράς). Επίσης όταν χρειάζεται χρησιμοποιούνται κεφαλαία γράμματα και δείκτες. Συνήθως ως μεταβλητές χρησιμοποιούνται τα τελευταία μικρά γράμματα της ελληνικής ή της αγγλικής αλφαβήτου (χ, ψ, ω) ή (x, y, z). Για να αποφευχθεί η σύγχυση μεταξύ μεταβλητών και στοιχείων αποφεύγεται η χρήση γραμμάτων του αλφαβήτου στο συμβολισμό συγκεκριμένων στοιχείων του συνόλου. Αν αυτό είναι απαραίτητο, τότε τα γράμματα που αντιπροσωπεύουν τα συγκεκριμένα στοιχεία μπαίνουν σε εισαγωγικά («»). Μια ιδιότητα που εκφράζεται για ορισμένα στοιχεία ισχύει μόνο για αυτά, ενώ όταν δηλώνεται μια ιδιότητα για μια μεταβλητή, ισχύει για όλα τα στοιχεία του συνόλου. == Αναφορές και σημειώσεις == {{Παραπομπές}} {{Ενσωμάτωση κειμένου|en|Variable (mathematics)}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Θεωρία συνόλων]] [[Κατηγορία:Λογισμός]]</text>
<sha1>tt5nwhix1465io609xhn3sk4ppojhka</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Ρίζα (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>123860</id>
-<revision>
<id>5142596</id>
<parentid>4727276</parentid>
<timestamp>2015-03-22T19:25:09Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Gts-tg</username>
<id>134797</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>σήμανση για έλλειψη πηγών</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="1519" xml:space="preserve">{{πηγές|22|03|2015}} [[Εικόνα:X-intercepts.svg|thumb|right|300px|Γράφημα της συνάρτησης ƒ(x)=cosx στο διάστημα [-2π,2π] με τις ρίζες σημειωμένες στον άξονα χ ως κόκκινα σημεία.]] Ένα στοιχείο <math>x_0</math> από το πεδίο ορισμού μιας [[συνάρτηση]]ς <math>f</math> ονομάζεται '''ρίζα''' της <math>f</math> όταν: :<math>f\left(x_0\right)=0</math> Μια συνάρτηση μπορεί να μην έχει καμία ρίζα, μπορεί να έχει μία ακριβώς ρίζα, ή μπορεί να έχει περισσότερες ρίζες στο [[πεδίο ορισμού]] της. Για παράδειγμα η ƒ(x)=cosx (σχήμα) έχει [[Άπειρο|άπειρες]] το πλήθος ρίζες στο <math>\R</math>. Κάθε [[πολυώνυμο|πολυωνυμική]] συνάρτηση, μιας μεταβλητής, μη-σταθερή, με μιγαδικούς συντελεστές και με πεδίο ορισμού το μιγαδικό επίπεδο, σύμφωνα με το [[Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας|Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας]], θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα. ==Δείτε επίσης== * [[Νιοστή ρίζα]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] {{Μαθηματικά-επέκταση}}</text>
<sha1>fky1r465p7aqchkdohcp0v27ctsyrh4</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Συνάρτηση</title>
<ns>0</ns>
<id>840</id>
-<revision>
<id>6128980</id>
<parentid>5899960</parentid>
<timestamp>2016-11-27T14:35:47Z</timestamp>
-<contributor>
<ip>2A02:587:D009:1B00:4EA:BA54:FCD8:4908</ip>
</contributor>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="50491" xml:space="preserve">{{πηγές|27|11|2016}}[[Αρχείο:Zobrazeni druhy.svg|μικρογραφία|380px|Οι αντιστοιχίσεις b), c) d) είναι συναρτήσεις. Η αντιστοίχιση a) δεν αποτελεί συνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο του συνόλου ορισμού που αντιστοιχίζεται σε δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου τιμών.]] Στα [[μαθηματικά]], '''συνάρτηση''', ή '''απεικόνιση''' όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο [[σύνολο|συνόλων]], που καλούνται σύνολο ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών. Αν <math>f</math> είναι μια συνάρτηση από ένα σύνολο <math>A</math> σε ένα σύνολο <math>B</math>, γράφουμε <math>f : A \to B</math>. Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] το [[1694]]. Οι όροι ''συνάρτηση'' και ''απεικόνιση'' είναι [[συνώνυμο]]ι. Ο πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο στην [[στοιχειώδης άλγεβρα|στοιχειώδη άλγεβρα]] και τον [[απειροστικός λογισμός|απειροστικό λογισμό]], ενώ ο δεύτερος στα [[διακριτά μαθηματικά]]. == Γενικά == Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη [[διαίσθηση|διαισθητική]] ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμή αντιστοιχεί. (Δηλαδή κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου τιμών). == Εισαγωγή και παραδείγματα == [[Αρχείο:Function color example 3.svg|δεξιά|thumb|Μια συνάρτηση που τον συνδέει με οποιοδήποτε από τα τέσσερα χρωματιστά διαμορφώνει το χρώμα του]] Για ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω ''Χ'' το [[σύνολο]] που αποτελείται από τέσσερα σχήματα: ένα κόκκινο τρίγωνο, ένα κίτρινο ορθογώνιο, ένα πράσινο εξάγωνο και ένα κόκκινο τετράγωνο και έστω ''Υ'' το σύνολο που αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μπλε, πράσινο, ροζ και κίτρινο. Συνδέοντας κάθε σχήμα στο χρώμα του είναι μια συνάρτηση από το ''Χ'' στο ''Υ'': κάθε σχήμα συνδέεται με ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο στο ''Υ''), και κάθε σχήμα είναι "συνδεδεμένο", ή "χαρτογραφείται", σε ακριβώς ένα χρώμα. Δεν υπάρχει σχήμα που στερείται ενός χρώματος και ούτε κάποιο σχήμα που έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Αυτή η λειτουργία θα αναφέρεται ως "χρώμα της συνάρτησης σχήματος". Η εισαγωγή σε μια συνάρτηση ονομάζεται [[όρισμα]] και η έξοδος ονομάζεται [[τιμή]]. Το σύνολο όλων των επιτρεπόμενων ορισμάτων σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται [[σύνολο ορισμού]],ενώ το σύνολο των επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται [[σύνολο τιμών]]. Έτσι, το σύνολο ορισμού του "χρώμα της συνάρτησης σχήματος" είναι το σύνολο των τεσσάρων σχημάτων, και το συνόλου τιμών αποτελείται από τα πέντε χρώματα.Η έννοια της συνάρτησης ''δεν'' απαιτεί ότι κάθε πιθανή έξοδος είναι η τιμή κάποιου ορισμού, π.χ. το μπλε χρώμα δεν είναι το χρώμα οποιουδήποτε από τα τέσσερα σχήματα στο ''Χ''. Ένα δεύτερο παράδειγμα μιας συνάρτησης είναι η εξής: το σύνολο ορισμού επιλέγεται να είναι το σύνολο των [[φυσικοί αριθμοί|φυσικών αριθμών]] (1, 2, 3, 4, ...), και το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των [[ακέραιοι|ακεραίων]] (..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Η συνάρτηση σχετίζεται με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό ''n'',τον αριθμό 4-''n''. Για παράδειγμα, το 1 σχετίζεται με το 3 και το 10 με το -6. Ένα τρίτο παράδειγμα μιας συνάρτησης έχει το σύνολο των [[πολύγωνα|πολυγώνων]] ως σύνολο ορισμού και το σύνολο των φυσικών αριθμών ως σύνολο τιμών. Η συνάρτηση συσχετίζει ένα πολύγωνο με τον αριθμό των [[κορυφή (γεωμετρία)|κορυφών]] του. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο συνδέεται με τον αριθμό 3, ένα τετράγωνο με τον αριθμό 4, και ούτω καθεξής. Ο όρος [[εύρος]] μερικές φορές χρησιμοποιείται είτε για το σύνολο τιμών είτε για το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών που έχει μια συνάρτηση. Για να αποφευχθεί η ασάφεια αυτό το άρθρο αποφεύγει τη χρήση του όρου. == Συμβολισμός == ''Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτό το θέμα, δείτε το [[συμβολισμός συναρτήσεων|συμβολισμό συναρτήσεων]].'' Μια συνάρτηση ''f'' με σύνολο ορισμού το ''Χ'' και σύνολο τιμών το ''Y'' συνήθως συμβολίζεται με :<math>f\colon X \rightarrow Y</math> ή :<math>X \stackrel f \rightarrow Y.</math> Στο πλαίσιο αυτό, τα στοιχεία του ''Χ'' ονομάζονται [[Όρισμα|όρισμα μιας συνάρτησης]] της ''f''. Για κάθε όρισμα ''Χ'', το αντίστοιχο μοναδικό ''y'' του συνόλου τιμών ονομάζεται η συνάρτηση [[Τιμή (μαθηματικά)|τιμή]] στο ''Χ'' ή η ''εικόνα'' του ''x'' με την ''f''.Γράφεται ως ''f''(''x''). Λέει ότι η ''f'' αντιστοιχεί το ''y'' με το ''x'' ή στέλνει το ''x'' στο ''y''. Αυτό είναι συντομογραφία από το :<math>y = f(x).</math> Μια γενική συνάρτηση συχνά συμβολίζεται με το ''f''. Ειδικές συναρτήσεις έχουν ονομασίες, για παράδειγμα, η [[συνάρτηση signum]] συμβολίζεται με sgn. Λαμβάνοντας υπόψη ένα [[πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμό]] ''x'', η εικόνα του στο πλαίσιο της συνάρτησης signum γράφεται ως sgn(''x''). Εδώ, το όρισμα συμβολίζεται με το σύμβολο ''x'', αλλά διαφορετικά σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε άλλα πλαίσια. Για παράδειγμα, στη φυσική, η [[ταχύτητα]] κάποιου σώματος, αναλόγως του χρόνου, συμβολίζεται με ''v''(''t''). Οι παρενθέσεις γύρω από το όρισμα μπορούν να παραλειφθούν όταν υπάρχει μικρή πιθανότητα σύγχυσης, έτσι: {{nowrap|sin ''x''}}; Αυτό είναι γνωστό ως [[συμβολισμός προθέματος]]. Για να καθορίσετε μια συγκεκριμένη λειτουργία, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός <math>\mapsto</math> (ένα βέλος με μια μπάρα στην ουρά του). Για παράδειγμα, η παραπάνω συνάρτηση διαβάζει :<math>\begin{align} f\colon \mathbb{N} &\to \mathbb{Z} \\ x &\mapsto 4-x. \end{align}</math> Το πρώτο μέρος μπορεί να διαβαστεί ως εξής: * "''f'' είναι μια συνάρτηση από το <math>\mathbb{N}</math> (το σύνολο των φυσικών αριθμών) στο <math>\mathbb{Z}</math> (το σύνολο των ακεραίων)" ή * "''f'' είναι μια <math>\mathbb{Z}</math>-συνάρτηση τιμών από μια <math>\mathbb{N}</math>-τιμή μεταβλητών". Το δεύτερο μέρος μπορεί να διαβαστεί: * "το ''x'' αντιστοιχεί στο 4−''x''." Με άλλα λόγια, η συνάρτηση αυτή έχει τους [[φυσικός αριθμός|φυσικούς αριθμούς]] ως σύνολο ορισμού και τους [[ακέραιοι|ακεραίους]] ως σύνολο τιμών. Για να κυριολεκτήσουμε, μια συνάρτηση είναι σωστά ορισμένη μόνο όταν το σύνολο ορισμού και το σύνολο τιμών καθορίζονται. Για παράδειγμα, ο τύπος ''f''(''x'') = 4 − ''x'' μόνος του,(χωρίς να προσδιορίζεται το σύνολο τιμών και του ορισμού) δεν είναι μια σωστά ορισμένη συνάρτηση. Επιπλέον, η συνάρτηση : <math>\begin{align} g\colon \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z} \\ x &\mapsto 4-x. \end{align}</math> (με διαφορετικό σύνολο ορισμού) δεν θεωρείται η ίδια συνάρτηση, ακόμη και αν οι τύποι που ορίζουν τα ''f'' και ''g'' συμφωνούν, και ομοίως με ένα διαφορετικό σύνολο τιμών. Παρ 'όλα αυτά, πολλοί συγγραφείς παραλείπουν τον καθορισμό του συνόλου ορισμού και του συνόλου τιμών, ειδικά αν αυτά είναι σαφή από τα συμφραζόμενα.Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, πολλοί απλά γράφουν ''f''(''x'') = 4 − ''x''. Μερικές φορές, το μέγιστο δυνατό σύνολο ορισμού είναι επίσης κατανοητό έμμεσα: ένας τύπος όπως ο <math>f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}</math> μπορεί να σημαίνει ότι το σύνολο ορισμού της ''f'' το σύνολο των πραγματικών αριθμών ''x'' όπου η τετραγωνική ρίζα ορίζεται(σε αυτή την περίπτωση ''x'' ≤ 2 or ''x'' ≥ 3). Για να οριστεί μια συνάρτηση, μερικές φορές χρησιμοποιείται μια τελεία ως συμβολισμός για να τονίσει το λειτουργικό χαρακτήρα της έκφρασης, χωρίς να δίνεται ένα ειδικό σύμβολο για τη μεταβλητή.Για παράδειγμα,ο τύπος <math>\scriptstyle a(\cdot)^2</math> συμβολίζει τη συνάρτηση <math>\textstyle x\mapsto ax^2</math>,ο τύπος <math>\scriptstyle \int_a^{\, \cdot} f(u)du</math> συμβολίζει το ολοκλήρωμα της συνάρτησης <math>\scriptstyle x\mapsto \int_a^x f(u)du</math>,κι ούτω καθεξής. == Ορολογία == [[Αρχείο:Graph of example function.svg|μικρογραφία|250px|Γραφική παράσταση της συνάρτησης <br /> <math>\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math><br /> στο διάστημα ορισμού [-1,1.5] του <math>\mathbb{R}</math> και με πεδίο τιμών επίσης στο [-1,1.5] του <math>\mathbb{R}</math>.]] Αν Α και Β είναι δύο σύνολα και f : Α → Β μια συνάρτηση από το Α στο Β, το Α λέγεται ''σύνολο ορισμού'' και το Β ''σύνολο τιμών''. Κάθε στοιχείο a του Α λέγεται ''όρισμα'' της f και κάθε στοιχείο b του Β στο οποίο αντιστοιχίζεται ένα τουλάχιστον όρισμα a λέγεται ''τιμή'' ή ''εικόνα'' της f στο a, και γράφουμε b = f(a). Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, για να είναι η f συνάρτηση, θα πρέπει να ισχύει: αν f(a) ≠ f(a') τότε a ≠ a'. Δηλαδή δυο τιμές που είναι διαφορετικές να μην αντιστοιχούν παρά σε διαφορετικά ορίσματα. Το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α, δηλαδή του πεδίου ορισμού, ονομάζεται ''ανεξάρτητη μεταβλητή'' της συνάρτησης. Ενώ το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Β, δηλαδή του συνόλου τιμών, ονομάζεται ''εξαρτημένη μεταβλητή'' της συνάρτησης. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι οι δύο όροι δηλώνουν τη διαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύο μεταβλητών. Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει τιμή αυθαίρετα, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει την τιμή της πάντα σε σχέση με την ίδια τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή. Το ''γράφημα'' της συνάρτησης f : A → B είναι το σύνολο που αποτελείται από τα [[διατεταγμένο ζεύγος|διατεταγμένα ζευγάρια]] της αντιστοίχισης <center>G(f) = {(a,b)∈ A×B, όπου b = f(a)}</center> Για συναρτήσεις ορισμένες στο πεδίο των πραγματικών αριθμών το γράφημα ή αλλιώς ''γραφική παράσταση'' είναι η απεικόνιση αυτών των ζευγαριών στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης και το σύνολο των σημείων σχηματίζουν τη καμπύλη της γραφικής παράστασης. Η ''αντίστροφη'' αντιστοίχιση f<sup> -1</sup> της συνάρτησης f είναι η αντιστοίχιση από το Β στο Α, που ορίζεται ως εξής: <center>f<sup> -1</sup>(b) = a [[αν και μόνο αν|ανν]] f(a) = b</center> Η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μια και δεν υπακούει απαραίτητα στο αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a και a' της f. Στην περίπτωση πάντως που είναι, η f λέγεται ''αντιστρέψιμη'' και η f<sup> -1</sup> ''αντίστροφη συνάρτηση'' της f. == Ορισμοί == Στα πλαίσια της [[θεωρία συνόλων|θεωρίας συνόλων]] η συνάρτηση ορίζεται από το γράφημά της. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση f : A → B θεωρείται ως [[σχέση]] μεταξύ των Α και Β, δηλαδή ως ένα σύνολο f ⊂ A×B, η οποία υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, που εδώ παίρνει την εξής μορφή: <center>αν (a,b) ∈ f και (a,b') ∈ f τότε b = b'</center> Από την άποψη της [[Μαθηματική λογική|μαθηματικής λογικής]], η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μια [[τυπική γλώσσα]] ως ένα [[σύμβολο (μαθηματική λογική)|σύμβολο]] f [[βαθμός συμβόλου|βαθμού]] 2, το οποίο πάλι υπακούει στο αξίωμα μονοτιμίας: <center>αν f(a,b) και f(a,b') τότε b ≡ b'</center> Στα πλαίσια του [[Λογισμός λ|λ-λογισμού]], η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μία τυπική γλώσσα ως [[όρος (μαθηματικά)|λογικός όρος]] t, ο οποίος μπορεί [[αξίωμα|αξιωματικά]] να * [[εφαρμογή (μαθηματικά)|εφαρμόζεται]] σε άλλον όρο s, ο οποίος συμπεριφέρεται ως όρισμα, με αποτέλεσμα η σύνταξη t s να ανάγεται (β-αναγωγή) σε έναν νέο όρο που μαθηματικά είναι η τιμή του t(s) * μετατρέπεται σε αφαίρεση ως προς κάποια του μεταβλητή x, με αποτέλεσμα έναν νέο όρο λx.t, ο οποίος συμπεριφέρεται ως γενικός κανόνας αντιστοίχισης μέσα από τον κανόνα της [[αντικατάσταση]]ς:<center>(λx.t)(s) = t[x:=s]</center> Η συνηθισμένη διαισθητική ερμηνεία των παραπάνω είναι ότι «η ανεξάρτητη μεταβλητή x αντιστοιχίζεται στην εξαρτημένη μεταβλητή t(x), ώστε αν εφαρμοστεί σε όρισμα s, τότε θα προκύψει η τιμή t(s)». == Είδη συναρτήσεων == * Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ''ένα προς ένα'' (1-1) ή ''αμφιμονότιμη'' ή ''αμφιμονοσήμαντη'' όταν αντιστοιχίζει κάθε όρισμα σε αποκλειστικά δική του τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σε διαφορετικές τιμές: <center>αν a ≠ a' τότε f(a) ≠ f(a')</center> * Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ''επί'' (με την έννοια: «το Α απεικονίζεται μέσω της f επί του Β, πάνω στο Β») όταν δεν υπάρχει στοιχείο στο Β που να μην είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου στο Α: <center>για κάθε b∈B υπάρχει a∈A ώστε b = f(a)</center> Από πολλούς μαθηματικούς, ο όρος «αμφιμονότιμη συνάρτηση» δεν χρησιμοποιείται ως συνώνυμο του «ένα προς ένα συνάρτηση» παρά ως συνώνυμο του «ένα προς ένα και επί». Το δε [[επίθημα]] -εση (<ίημι) αποδίδει το γαλλικό - jection (<[[Λατινική γλώσσα|λατ]]. jacere), και έτσι χρησιμοποιούνται και οι όροι «ένεση» - «έφεση» - «αμφίεση» για να αποδίδουν τα «injection» - «surjection» - «bijection», τα οποία έχουν επικρατήσει στη δυτική μαθηματική ορολογία, και σημαίνουν «ένα προς ένα» - «επί» - «ένα προς ένα και επί» αντίστοιχα. == Καθορισμός συνάρτησης == Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί από οποιοδήποτε μαθηματικό όρο σχετίζοντας το κάθε όρισμα (τιμή εισόδου) προς την αντίστοιχη τιμή εξόδου.Εάν το σύνολο ορισμού είναι πεπερασμένο, μια συνάρτηση f μπορεί να οριστεί απλά κατατάσσοντας όλα τα ορίσματα x και την αντίστοιχη συνάρτηση των τιμών της f(x). Συνηθέστερα, μια συνάρτηση ορίζεται από έναν [[τύπος|τύπο]], ή (γενικότερα) από έναν [[αλγόριθμος|αλγόριθμο]] - μια συνταγή που λέει πώς να υπολογιστεί η τιμή του f(x) δίνοντας οποιοδήποτε χ στο σύνολο ορισμού. Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι ορισμού συναρτήσεων. Παραδείγματα περιλαμβάνουν [[τμηματικός ορισμός|τμηματικούς ορισμούς]], [[μαθηματική επαγωγή]] ή [[αναδρομή]], αλγεβρική ή [[αναλυτική συνάρτηση]] [[κλείσιμο]], [[όριο (μαθηματικά)|όρια]], [[αναλυτική συνέχεια]], άπειρες [[Σειρά|σειρές]], και λύσεις σε [[ολοκληρωτικές]] και [[διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]]. Ο [[λογισμός λάμδα]] παρέχει μια ισχυρή και ευέλικτη [[σύνταξη]] για τον καθορισμό και το συνδυασμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Σε προχωρημένα μαθηματικά, ορισμένες συναρτήσεις υπάρχουν εξαιτίας ενός [[αξίωμα|αξιώματος]], όπως το [[Αξίωμα της επιλογής]]. ===Γραφική Παράσταση=== Η [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφική παράσταση]] μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών F. Αυτό είναι μια αφαίρεση της ιδέας ενός γραφήματος, σαν μια εικόνα που δείχνει τη συνάρτηση να απεικονίζεται σε ένα ζεύγος αξόνων συντεταγμένων.Για παράδειγμα,{{nowrap|(3, 9)}}, το σημείο πάνω από το 3 βρίσκεται επί του οριζόντιου άξονα και στα δεξιά του 9 επί του κατακόρυφου άξονα, βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της {{nowrap|1=y=x<sup>2</sup>.}} === Τύποι και αλγόριθμοι === Διαφορετικοί τύποι ή αλγόριθμοι μπορεί να περιγράψουν την ίδια συνάρτηση.Για παράδειγμα, {{nowrap|1=''f''(''x'') = (''x'' + 1) (''x'' − 1)}} είναι ακριβώς η ίδια συνάρτηση με την {{nowrap|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − 1}}.<ref>{{Cite book|title = Theory of Recursive Functions and Effective Computation|last = Hartley Rogers, Jr|first = Hartley Rogers, Jr|publisher = MIT Press|year = 1987|isbn = 0-262-68052-1|location = |pages = 1–2}}</ref>.Επιπλέον, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να περιγράφεται από έναν τύπο, έκφραση, ή αλγόριθμο, ούτε απαιτείται να ασχολείται με τους αριθμούς.Το σύνολο ορισμών και σύνολο τιμών μιας συνάρτησης μπορεί να είναι αυθαίρετα [[σύνολο|σύνολα]]. Ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης που ενεργεί για μη αριθμητικές εισόδους παίρνει αγγλικές λέξεις ως τιμή εισόδου, και επιστρέφει το πρώτο γράμμα της λέξης της τιμής εισόδου ως τιμή εξόδου. Για παράδειγμα, η [[παραγοντικό|παραγοντική]] συνάρτηση ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους και παράγει έναν μη αρνητικό ακέραιο αριθμό. Ορίζεται από την ακόλουθο επαγωγικό αλγόριθμο: 0! που ορίζεται να ισούται με 1, και το ''n''! που ορίζεται να είναι <math>n (n-1)!</math> για όλους τους θετικούς ακέραιους ''n''. Η παραγοντική συνάρτηση συμβολίζεται με το θαυμαστικό (που απεικονίζει το σύμβολο της συνάρτησης) μετά τη μεταβλητή ([[συμβολισμός postfix]]). ===Υπολογισιμότητα=== {{Main|Υπολογίσιμη συνάρτηση}} Συναρτήσεις που στέλνουν ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς, ή πεπερασμένο χορδές σε πεπερασμένες χορδές, μπορεί μερικές φορές να ορίζονται από έναν [[αλγόριθμος|αλγόριθμο]], που δίνει μια ακριβή περιγραφή μιας σειράς βημάτων για τον υπολογισμό της εξόδου της συνάρτησης από την είσοδο του .Οι συναρτήσεις που προσδιορίζονται από έναν αλγόριθμο ονομάζονται ''[[υπολογίσιμες συναρτήσεις]]''.Για παράδειγμα, ο [[Αλγόριθμος του Ευκλείδη]] δίνει μια ακριβή διαδικασία για τον υπολογισμό του [[μέγιστος κοινός διαιρέτης|μέγιστου κοινού διαιρέτη]] των δύο θετικών ακεραίων. Πολλές από τις συναρτήσεις που μελετήθηκαν στο πλαίσιο της [[Θεωρία αριθμών|Θεωρίας Αριθμών]] είναι υπολογίσιμες. Θεμελιώδη αποτελέσματα της [[θεωρίας υπολογισιμότητας]] δείχνουν ότι υπάρχουν συναρτήσεις που μπορούν να προσδιοριστούν επακριβώς, αλλά δεν είναι υπολογίσιμες. Εξάλλου, υπό την έννοια του [[πληθάριθμος|πληθάριθμου]], σχεδόν όλες οι συναρτήσεις από τους ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους δεν είναι υπολογίσιμες.Ο αριθμός των υπολογίσιμων συναρτήσεων από ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς είναι [[μετρήσιμος]], επειδή ο αριθμός των πιθανών αλγορίθμων είναι.Ο αριθμός όλων των συναρτήσεων από ακέραιους σε ακέραιους είναι υψηλότερη: το ίδιο συμβαίνει και με τον πληθάριθμο των [[πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]].Έτσι, οι περισσότερες συναρτήσεις από ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς δεν είναι υπολογίσιμες. Συγκεκριμένα παραδείγματα μη υπολογίσιμων συναρτήσεων είναι γνωστά, συμπεριλαμβανομένου της [[Busy beaver]] και των συναρτήσεων που σχετίζονται με το [[πρόβλημα ανάσχεσης]] και άλλα [[αναποφάσιστα προβλήματα]]. == Σύγκριση συναρτήσεων και πράξεις == Μία συνάρτηση f είναι ''ίση με'' μία συνάρτηση g όταν έχουν το ίδιο σύνολο ορισμού, το ίδιο σύνολο τιμών και αντιστοιχίζουν ίσα ορίσματα σε ίσες τιμές: <center>f(a) = b [[Αν και μόνο αν|ανν]] g(a) = b</center> Σύμφωνα εξάλλου με τη συνολοθεωρητική προσέγγιση, δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν τα γραφήματά τους ταυτίζονται (ως σύνολα). * Η ''(ξένη) ένωση'' δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B', όπου τα Α, Α' είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους, είναι η αντιστοίχιση f∪g: A∪A' → B∪B' που ορίζεται ως <center>f∪g(a) = f(a) και f∪g(a') = g(a')</center> για κάθε a∈A, a'∈A'. * Η ''τομή'' δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B' είναι η αντιστοίχιση f∩g: A∩A' → B∩B' που ορίζεται ως <center>f∩g(a) = b ανν f(a)=g(a)=b</center> για κάθε a∈ A∩A'. * Η ''σύνθεση'' της συνάρτησης f : A → B με την g : B → C είναι η αντιστοίχιση g<small>o</small>f: A → C, που ορίζεται ως <center>g<small>o</small>f(a) = g(f(a))</center> για κάθε a∈ A∩f(a)∈B. == Ιδιότητες == Υπάρχουν ορισμένες βασικές ιδιότητες και έννοιες. Σε αυτή την ενότητα,''f'' είναι μια συνάρτηση με σύνολο ορισμού ''Χ'' και σύνολου τιμών ''Y''. ===Εικόνα και αντίστροφη εικόνα=== {{Main|Εικόνα (μαθηματικά)}} [[Αρχείο:Function image and preimage 3.png|thumb|δεξιά|Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup> − 9''x''<sup>2</sup> + 23''x'' − 15.Το [[Διάστημα (μαθηματικά)|διάστημα]] ''A'' = [3.5, 4.25] είναι ένα υποσύνολο του συνόλου ορισμού, με αποτέλεσμα να εμφανίζεται στον άξονα των ''x'' (πράσινο).Η εικόνα του ''Α'' είναι (περίπου) το διάστημα [-3.08, -1.88].Επιτυγχάνεται με την προβολή στον άξονα των ''y'' (κατά μήκος των μπλε βελών) του σημείου τομής της γραφικής παράστασης στην περιοχή με το ανοιχτό πράσινο που αποτελείται από όλα τα σημεία των οποίων η συντεταγμένη ''x'' είναι μεταξύ 3,5 και 4,25. Το τμήμα του (κάθετου) άξονα των ''y'' εμφανίζεται σε μπλε χρώμα. Η αντίστροφη εικόνα του ''B'' = [1, 2.5] αποτελείται από τρία χρονικά διαστήματα. τα οποία επιτυγχάνονται με την προβολή του σημείου τομής της περιοχής με το ανοιχτό κόκκινο με το γράφημα στον άξονα των ''x''.]] Αν το ''Α'' είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου ορισμού ''Χ'', τότε το ''f''(''Α'') είναι το υποσύνολο του συνόλου τιμών του ''Υ'' που αποτελείται από όλες τις εικόνες των στοιχείων του Α . Λέμε το ''f''(''Α'') είναι η ''εικόνα'' του Α. Η ''εικόνα'' της ''f'' δίνεται από την ''f''(''Χ''). Από την άλλη πλευρά, η ''[[αντίστροφη εικόνα]]'' (ή [['' πλήρης αντίστροφη εικόνα'']]) ενός υποσυνόλου ''Β'' του συνόλου τιμών ''Υ '' κάτω από μια συνάρτηση ''f'' είναι το υποσύνολο του συνόλου ορισμού ''Χ'' που ορίζεται από την :<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}.</math> Έτσι, για παράδειγμα, η αντίστροφη εικόνα του {4, 9} υπό την συνάρτηση τετράγωνου είναι το σύνολο {-3, -2,2,3}. Ο όρος [[εύρος]] αναφέρεται συνήθως στην εικόνα,<ref name="standard">''Quantities and Units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology'', σελίδα 15. ISO 80000-2 (ISO/IEC 2009-12-01)</ref> αλλά μερικές φορές αναφέρεται και στο σύνολο τιμών. Εξ ορισμού μιας συνάρτησης, η εικόνα ενός στοιχείου ''x'' του συνόλου ορισμού είναι πάντα ένα μόνο στοιχείο ''y'' του συνόλου τιμών. Αντίθετα, όμως, η αντίστροφη εικόνα του [[μονου (μαθηματικά)]] συνόλου (ένα σύνολο με ακριβώς ένα στοιχείο) μπορεί γενικά να περιέχει οποιοδήποτε αριθμό στοιχείων. Για παράδειγμα, αν ''f''(''x'') = 7 (η [[Σταθερή|σταθερή συνάρτηση]], παίρνει την τιμή 7), τότε η αντίστροφη εικόνα του του {5} είναι το κενό σύνολο, αλλά του {7} είναι ολόκληρο το σύνολο ορισμού. Είναι σύνηθες να γράφουμε ''f''<sup>−1</sup>(''b'') αντί ''f''<sup>−1</sup>({''b''}), δηλαδή :<math>f^{-1}(b) = \{x \in X : f(x) = b\}.</math> Η χρήση του ''f''(''Α'') για να υποδηλώσει την εικόνα ενός υποσυνόλου ''Α''⊆''Χ'' ορίζεται εφόσον κανένα υποσύνολο του συνόλου ορισμού δεν είναι επίσης ένα στοιχείο του συνόλου ορισμού. Σε ορισμένους τομείς (π.χ., στη θεωρία των συνόλων, όπου ο [[Διατεταγμένο ζεύγος|διατεταγμένος αριθμός]] είναι επίσης σύνολα διάταξης) είναι βολικό ή ακόμα και απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ των δύο εννοιών.Ο συνήθης συμβολισμός είναι ''f''[''A''] για το σύνολο { ''f''(''x''): x ∈ ''A'' }.Ομοίως, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν αγκύλες για να αποφευχθεί η σύγχυση μεταξύ της αντίστροφης εικόνας και την αντίστροφης συνάρτησης.Έτσι θα έγραφαν ''f''<sup>−1</sup>[''B''] και ''f''<sup>−1</sup>[''b''] για την αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου και μιας συνάρτησης. ===Αμφιμονοσήμαντες και επιρριπτικές συναρτήσεις=== Μια συνάρτηση ονομάζεται [[ένα προς ένα|αμφιμονότιμη]] (ή ''ένα-προς-ένα'', ή ένεση) αν ''f''(''a'') ≠ ''f''(''b'') για οποιαδήποτε ''διαφορετικά'' στοιχεία ''a'' και ''b'' του συνόλου ορισμού.Ονομάζεται επιρριπτική (ή ''επί'') αν ''f''(''X'') = ''Y''.Δηλαδή, είναι επί αν για κάθε στοιχείο ''y'' του συνόλου τιμών υπάρχει ένα ''x'' στο σύνολο ορισμού, έτσι ώστε ''f''(''x'') = ''y''. Τέλος η ''f'' ονομάζεται ''[[αμφιρριπτική]]'', αν είναι αμφιμονότιμη και επί. Αυτή η ονοματολογία εισήχθη από την ομάδα [[bourbaki]]. Η παραπάνω ''χρώμα του σχήματος'' συνάρτηση δεν είναι αμφιμονότιμη αφού δύο διαφορετικά σχήματα (το κόκκινο τρίγωνο και το κόκκινο ορθογώνιο) έχουν την ίδια τιμή. Επιπλέον, δεν είναι επί, δεδομένου ότι η εικόνα της συνάρτησης περιέχει μόνο τρία, αλλά όχι και τα πέντε χρώματα του συνόλου τιμών. ===Σύνθεση συνάρτησης=== {{Main|Σύνθεση συνάρτησης}} [[Αρχείο:Function machine5.svg|350px|right|thumbnail|Μια σύνθεση συνάρτησης ''g''(''f''(''x'')) μπορεί να απεικονιστεί ως συνδυασμός δυο "μηχανών".Η πρώτη παίρνει ως είσοδο το ''x'' και εξάγει το ''f''(''x'').Η δεύτερη εισάγει το ''f''(''x'') και εξάγει το ''g''(''f''(''x'')).]] Η ''σύνθεση συνάρτησης'' δυο συναρτήσεων παίρνει την έξοδο της μιας συνάρτησης ως την είσοδο της δεύτερης. Πιο συγκεκριμένα, η σύνθεση της ''f'' με μια συνάρτηση ''g'': ''Y'' → ''Z'' είναι η συνάρτηση <math>g \circ f\colon X \rightarrow Z</math> που ορίζεται από την :<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)).</math> Δηλαδή, η τιμή του ''x'' προέρχεται εφαρμόζοντας πρώτα το ''f'' στο ''x'' για να διατηρήσουμε το ''y'' = ''f''(''x'') κι έπειτα εφαρμόζοντας το ''g'' στο ''y'' για να διατηρήσουμε το ''z'' = ''g''(''y'').Στο συμβολισμό <math>g\circ f</math>, η συνάρτηση στα δεξιά, η ''f'', δρα πρώτη και η συνάρτηση στα αριστερά,η ''g'' λειτουργεί δεύτερη ,αντιστρέφοντας τη σειρά ανάγνωσης.Ο συμβολισμός μπορεί να απομνημονευθεί διαβάζοντας το συμβολισμό ως "''g'' του ''f''".Η σύνθεση <math>g\circ f</math> ορίζεται μόνο όταν το σύνολο τιμών της ''f'' είναι το σύνολο ορισμού της ''g''.. Υποθέτοντας ότι, η σύνθεση κατά την αντίθετη σειρά <math>f\circ g</math> δεν χρειάζεται να οριστεί.Ακόμα κι αν είναι, δηλαδή, αν το σύνολο τιμών της ''f'' είναι το σύνολο τιμών της ''g'',σε γενικές γραμμές ''δεν'' ισχύει πως :<math>g \circ f = f \circ g.</math> Δηλαδή, η διάταξη της σύνθεσης είναι σημαντική. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> και ''g''(''x'') = ''x''+1. Τότε ''g''(''f''(''x'')) = ''x''<sup>2</sup>+1, ενώ ''f''(''g''(''x'')) = (''x''+1)<sup>2</sup>, που ισούται με ''x''<sup>2</sup>+2''x''+1, μια διαφορετική συνάρτηση. ===Ταυτοτική συνάρτηση=== {{Main|Ταυτοτική συνάρτηση}} Η μοναδική συνάρτηση ενός συνόλου ''X'' που αντιστοιχεί το κάθε στοιχείο στον εαυτό του ονομάζεται ''ταυτοτική συνάρτηση'' του ''Χ'', και συνήθως συμβολίζεται με id<sub>''X''</sub>. Κάθε σύνολο έχει τη δική του ταυτοτική συνάρτηση, οπότε ο δείκτης δεν μπορεί να παραλειφθεί εάν το σύνολο μπορεί προκύψει από τα συμφραζόμενα. Στη σύνθεση η ταυτοτική συνάρτηση είναι ''ουδέτερη'': αν η ''f'' είναι οποιαδήποτε συνάρτηση από το ''X'' στο ''Y'', τότε :<math>\begin{align} f \circ \operatorname{id}_X &= f , \\ \operatorname{id}_Y \circ f &= f . \end{align}</math> ===Περιορισμοί και επεκτάσεις=== {{Κύριο λήμμα|Περιορισμός (μαθηματικά)}} Ανεπίσημα, ο ''περιορισμός'' μιας συνάρτησης ''f'' είναι το αποτέλεσμα της περικοπής του συνόλου ορισμού του. Πιο συγκεκριμένα, αν ''S'' είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του ''Χ'', ο περιορισμός της ''f'' στο ''S'' είναι η συνάρτηση ''f''|<sub>''S''</sub> από το ''S'' στο ''Υ'', έτσι ώστε ''f''|<sub>''S''</sub>(''s'') = ''f''(''s'') για όλα τα ''s'' του ''S''. Αν ''g'' είναι ένας περιορισμός του ''f'', τότε λέγεται ότι το ''f'' είναι μια ''επέκταση'' της ''g''. Το ''πρωταρχικό'' της ''f'': ''X'' → ''Y'' μέσω της ''g'': ''W'' → ''Y'(που ονομάζεται επίσης ''επιτακτική ένωση'') είναι μια επέκταση της ''g'' που συμβολίζεται ως (''f'' ⊕ ''g''): (''X'' ∪ ''W'') → Y.Η γραφική παράσταση του είναι η σύνολο-θεωρητική ένωση των γραφικών παραστάσεων των ''g'' and ''f''|<sub>''X'' \ ''W''</sub>. Έτσι, σχετίζει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου ορισμού της ''g'' στην εικόνα του επί της ''g'', καθώς και κάθε άλλο στοιχείο του συνόλου ορισμού της ''f'' στην εικόνα του επί της ''f''. είναι μια [[προσεταιριστική ιδιότητα]] ,που περιέχει την [[κενή συνάρτηση]] ως το [[ουδέτερο στοιχείο]]. Αν ''f''|<sub>''X'' ∩ ''W''</sub> και ''g''|<sub>''X'' ∩ ''W''</sub> είναι σημειακά ίσες (π.χ., η τομή των ''f'' και ''g'' είναι ξένη), τότε η ένωση των ''f'' και ''g'' ορίζεται και είναι ίση με επιτακτικό ένωσή τους. Ο ορισμός αυτός συμφωνεί με τον ορισμό της ένωσης για την [[δυαδική σχέση]]. ===Αντίστροφη συνάρτηση=== {{Main|Αντίστροφη συνάρτηση}} Μια ''αντίστροφη συνάρτηση'' για την ''f'', συμβολίζεται με ''f''<sup>−1</sup>,και είναι μια συνάρτηση προς την αντίθετη κατεύθυνση, από το ''Υ'' στο ''X'', ικανοποιώντας την :<math>f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y, f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X.</math> Δηλαδή, οι δύο πιθανές συνθέσεις της ''f'' και ''f''<sup>−1</sup> πρέπει να είναι οι αντίστοιχοι ακριβείς του ''Χ'' και ''Υ''. Ως ένα απλό παράδειγμα, αν η ''f'' μετατρέπει μια θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου ''C'' σε βαθμούς Fahrenheit ''F'', η συνάρτηση που μετατρέπει τους βαθμούς Fahrenheit σε βαθμούς Κελσίου θα ήταν μια κατάλληλη ''f''<sup>−1</sup>. :<math>\begin{align} f(C) &= \frac {9}{5} C + 32 \\ f^{-1}(F) &= \frac {5}{9} (F - 32) \end{align}</math> Μια τέτοια αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει αν και μόνο αν η ''f'' είναι αμφιρριπτική. Σε αυτή την περίπτωση,η ''f'' ονομάζεται αντιστρέψιμη. Ο συμβολισμός <math>g \circ f</math> (ή, σε κάποια κείμενα, απλά <math>gf</math>) και ''f''<sup>−1</sup> είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό. Έτσι, οι ταυτοτικές συναρτήσεις είναι σαν την [[1(αριθμός)|πολλαπλασιαστική ταυτότητα]], 1, και οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι σαν [[αντίστροφος|αντίστροφες]](εξ ου και ο συμβολισμός). ===Γενικά=== * Μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι αμφίεση. * H ένωση δύο συναρτήσεων είναι πάλι συνάρτηση, ενώ η τομή όχι πάντα (ωστόσο είναι πάντα [[μερική |μερική συνάρτηση]], δες παρακάτω). * Η σύνθεση δύο συναρτήσεων είναι επίσης συνάρτηση. * Αν f : A → B και g : B → C είναι ενέσεις τότε και η σύνθεσή τους g<small>o</small>f είναι ένεση. * Αν f : A → B και g : B → C είναι εφέσεις τότε και η σύνθεσή τους g<small>o</small>f είναι έφεση. == Γενικεύσεις == * Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν είναι απαραίτητα μονότιμη, αλλά μπορεί να αποδίνει περισσότερες από μία τιμές σε ένα όρισμα, λέγεται ''πολύτιμη'' ή ''πλειότιμη'' ή ''πολυσήμαντη συνάρτηση''. Παράδειγμα πολύτιμης συνάρτησης είναι η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης. * Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν αποδίνει απαραίτητα τιμή σε κάθε όρισμα από το Α, λέγεται ''μερική συνάρτηση'', και στην αντίθετη περίπτωση, ''ολική συνάρτηση''. Στην περίπτωση της μερικής συνάρτησης, λέμε ότι η f ''ορίζεται'' σε κάποιο στοιχείο a του Α όταν το αντιστοιχίζει σε κάποιο στοιχείο b του Β· το υποσύνολο Α' του συνόλου ορισμού Α στο οποίο η f ορίζεται, λέγεται ''πεδίο ορισμού'' (ακόμη, ''πεδίο''), και το υποσύνολο Β' του συνόλου τιμών Β, που αποτελείται από τις εικόνες της f, λέγεται ''πεδίο τιμών'' (ακόμη, ''συμπεδίο'') της f. * Μία αντιστοίχιση F : (A → B) → C, που δέχεται δηλαδή συναρτήσεις f : A → B ως ορίσματα και τους αποδίνει τιμή F(f) μέσα στο C, και ακόμη υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, λέγεται ''συναρτησιακό'' ή ''συναρτησοειδές''. Τυπικά παραδείγματα συναρτησιακών στη [[μαθηματική ανάλυση]] είναι το [[ολοκλήρωμα]] και η [[παράγωγος]] συνάρτησης. == Παραπομπές == {{παραπομπές}} == Δείτε ακόμη == * [[Γραφική παράσταση συνάρτησης]] * [[Συνέχεια συνάρτησης]] * [[Πραγματική συνάρτηση]] * [[Μιγαδική συνάρτηση]] * [[Συναρτησιακό]] και [[Τελεστής]] * [[Μερική συνάρτηση]] * [[Σχέση]] * [[Συνάρτηση μεταφοράς]] * [[Συνάρτηση ζήτα]] {{βικιλεξικό}} {{commonscat}} {{Authority control}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} {{Μαθηματικά-επέκταση}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Θεωρία συνόλων]] [[Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις| ]]</text>
<sha1>5uts5rdi6y2b608qe13h12qjbockvfu</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Μέτρο (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>224210</id>
-<revision>
<id>4727291</id>
<parentid>4537254</parentid>
<timestamp>2014-06-29T08:55:48Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>αφαιρέθηκε η [[Κατηγορία:Μαθηματικά]]; προστέθηκε η [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="2332" xml:space="preserve">{{πηγές|30|07|2011}} '''Μέτρο''' στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση <math>\mu:\Sigma\rightarrow[0, +\infty]</math> ορισμένη σε μία [[Σ-άλγεβρα]] <math>\Sigma</math> με τις ακόλουθες ιδιότητες: *'''Αριθμήσιμη προσθετικότητα''': Για κάθε [[αριθμήσιμη]] συλλογή <math>\{E_i\}_{i\in I}</math> ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων :<math> \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i).</math> *'''Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο''': :<math>\mu(\varnothing)=0.</math> Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το <math>\mathbb{R}</math> ή το <math>\mathbb{C}</math> εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης. == Εξωτερικό μέτρο == Έστω ένα σύνολο X, και έστω <math>\mathcal{P}(X)</math> το [[δυναμοσύνολο]] του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση <math>\mu:\mathcal{P}(X)\rightarrow[0, +\infty]</math> με τις ακόλουθες ιδιότητες: * <math>\mu(\varnothing) = 0.</math> * Αν <math>A\subseteq B\subseteq X</math>, τότε <math>\mu(A)\leq\mu(B)</math>. * Αν <math>\{A_n\}</math> είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε <math>\mu\Bigl(\bigcup_n A_n\Bigr) \leq \sum_n\mu(A_n)</math>. == Σ-περατότητα == Έστω <math>(X, \Sigma, \mu)</math> ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε <math>E \in \Sigma</math>, υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων <math>{A_n}</math> με <math>\bigcup_n A_n = E</math> τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή <math>\mu(A_i) < +\infty</math>. [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>lwebxbinb02q3jk5uy03nkb6pj6rmqj</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Τετραγωνική ρίζα</title>
<ns>0</ns>
<id>219861</id>
-<revision>
<id>6058055</id>
<parentid>6058053</parentid>
<timestamp>2016-10-09T15:13:04Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Texniths</username>
<id>193707</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>rv</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="9667" xml:space="preserve">{{πηγές|07|05|2015}} '''Τετραγωνική ρίζα''' είναι η [[νιοστή ρίζα]] για ν=2, δηλαδή ''τετραγωνική ρίζα του α'' είναι ο μη αρνητικός [[πραγματικός αριθμός]] β, αν <math>\beta^2=\alpha</math>. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε ότι δεν είναι [[ρητός αριθμός|ρητός]]. Επιπλέον, η ιδέα της τετραγωνικής ρίζας έχει επεκταθεί σε όλους τους αριθμούς, αν και ο αυστηρός ορισμός της την περιορίζει στους θετικούς αριθμούς και το 0. Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α συμβολίζεται με <math>\sqrt{\alpha}</math>. Το όνομα ''τετραγωνική ρίζα'' ήταν το πρώτο όνομα της και καθιερώθηκε, γιατί αποτελεί ''[[Ρίζα (μαθηματικά)|ρίζα]] του τετραγώνου'', δηλαδή της εξίσωσης <math>x^2=\alpha</math> (το [[Δύναμη (μαθηματικά)|x<sup>2</sup>]] ονομάζεται δεύτερη δύναμη του x, ή ''τετράγωνο του x'', γιατί παραπέμπει στον τύπο [[εμβαδόν|εμβαδού]] του [[τετράγωνο|τετραγώνου]]). ==Ιστορία== Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι πιθανόν ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς να είναι [[ρητός αριθμός|ρητός]]. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον [[Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι|Πυθαγόρειο φιλόσοφο]] [[Ίππασος|Ίππασσο]], ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό για αυτήν την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή [[κλάσμα]]τος, η ανακάλυψη του Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οι Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο να περιγράφουν άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή: <math>\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}</math> Οι μαθηματικοί κατά την [[Αλεξανδρινή εποχή]] ασχολήθηκαν με τις τετραγωνικές ρίζες, αλλά σύντομα συμπεριέλαβαν στη μελέτη τους και τις κυβικές. Ο συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας άρχισε να χρησιμοποιείται το 1525 από τον [[Christoff Rudolf]]. Από τότε, ο συμβολισμός έχει επεκταθεί και για τις υπόλοιπες νιοστές ρίζες, με τη διαφορά ότι πάνω αριστερά αναγράφεται το ν.<ref>{{cite web | url=http://users.sch.gr/kassetas/ed0math2symbols.htm | title=Πότε έκαναν την εμφάνισή τους τα σύμβολα των μαθηματικών; | accessdate=2011-07-06 | author=Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας}}</ref> Η τετραγωνική ρίζα εμφανίζεται στους τύπους επίλυσης δευτεροβάθμιων, τριτοβάθμιων και τεταρτοβάθμιων [[πολυώνυμο|πολυωνυμικών]] [[εξίσωση|εξισώσεων]]. Οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν υπό την προϋπόθεση ότι τα υπόρριζα είναι θετικά. Ωστόσο, μερικοί τύποι ισχύουν αν κάποιες ρίζες αντικατασταθούν από λύσεις τις εξίσωσης <math>x^2=\alpha</math>, όπου α το υπόρριζο. Αυτή η διαπίστωση οδήγησε στη θεώρηση των [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικών αριθμών]]. Το βασικό στοιχείο τους [[φανταστική μονάδα|i]] είναι λύση της εξίσωσης <math>x^2=-1</math>. Συχνά το i αποκαλείται ''τετραγωνική ρίζα του -1'', αλλά αυτή η έκφραση δεν είναι σωστή από αυστηρή μαθηματική άποψη, γιατί το i δεν είναι πραγματικός αριθμός. ==Ιδιότητες== Επειδή το [[Πολλαπλασιασμός|γινόμενο]] δύο μη αρνητικών αριθμών είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός, η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς. Η τετραγωνική ρίζα του α είναι εξ ορισμού ίδια με την ½ δύναμη του α, δηλαδή για κάθε <math>\alpha\ge 0</math> ισχύει <math>\sqrt{\alpha}\equiv\alpha^{\frac{1}{2}}</math> Η τετραγωνική ρίζα είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης <math>x^2=\alpha</math>, αν και μόνο αν α=0 (ωστόσο έχει αποδειχθεί ότι μπορούν να οριστούν αριθμοί τέτοιοι, ώστε και στην περίπτωση που α=0 να υπάρχουν παραπάνω από μία λύσεις). Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει πάντα και άλλη μία λύση. Στους [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικούς αριθμούς]] η εξίσωση πάντα έχει λύση, ίσως υπάρχουν πολλές λύσεις ή καμία από αυτές δεν είναι τετραγωνική ρίζα. Ωστόσο, ισχύει: <math>x^2=\alpha\Rightarrow|x|=\sqrt{|\alpha|}</math> ==Η συνάρτηση ''τετραγωνική ρίζα''== Η [[συνάρτηση]] <math>f(x)=\sqrt{x}</math> καλείται ''τετραγωνική ρίζα''. Η γραφική της παράστασης είναι το άνω τμήμα της [[Παραβολή (γεωμετρία)|παραβολή]]ς με διευθετούσα την [[ευθεία]] <math>x=-\frac{1}{2}</math> και εστία το σημείο <math>\left(\frac{1}{2},0\right)</math>. [[File:Fonction racine carrée - tangente en 0.svg|300px|thumb|Γραφική παράσταση της συνάρτησης της τετραγωνικής ρίζας]] === Πεδίο ορισμού === Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας πεδίο ορισμού είναι όλοι οι θετικοί [[πραγματικοί αριθμοί]] και το 0. === Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα === <!--εκκρεμεί απόδειξη συνέχειας, παραγωγισιμότητας---> Η τετραγωνική ρίζα είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, ενώ είναι [[παράγωγος|παραγωγίσιμη]] σε όλους τους θετικούς αριθμούς (στο 0 η παράγωγος τείνει στο <math>+\infty</math> από τα δεξιά.) Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει <math>\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>, ενώ για τη νιοστή παράγωγο <math>\sqrt{x}^{(\nu)}=\frac{(-1)^{\nu-1}\cdot\prod_{i=1}^{\nu}(2i-1)}{2^{\nu}x^{\nu-1}\sqrt{x}}</math>. === Μονοτονία-Κοιλοκυρτότητα === Η τετραγωνική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη. === Ακρότατα-Ασύμπτωτες === <!--εκκρεμούν αποδείξεις των ορίων--> Η τετραγωνική ρίζα έχει μόνο ένα ελάχιστο 0 στο 0. Δεν υπάρχει ασύμπτωση, αν και η παράγωγός της τείνει στο 0. === Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες === Το σύνολο τιμών της τετραγωνικής ρίζας είναι όλοι οι θετικοί αριθμοί και το 0, είναι ίσο με το πεδίο ορισμού. Η τετραγωνική ρίζα δεν έχει παράμετρο, άρα όλες τις οι τιμές είναι συγκεκριμένες. Σε σχέση με τις άλλες νιοστές ρίζες, όλες τους ξεκινάνε από το (0,0). ===Σύνοψη μεταβολών της τετραγωνικής ρίζας=== Η τετραγωνική ρίζα ορίζεται στους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, είναι συνεχής, παραγωγίσιμη εκτός του 0 και κάθε παράγωγός της παραγωγίσιμη. Είναι κοίλη συνάρτηση και γνησίως αύξουσα. Παρουσιάζει ελάχιστο το (0,0), δεν έχει ασύμπτωτες. == Παραπομπές == {{παραπομπές}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>8dhg3uvilg4558vry9ceqx0t5l7cebs</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Ρητός αριθμός</title>
<ns>0</ns>
<id>20903</id>
-<revision>
<id>5676255</id>
<parentid>5290679</parentid>
<timestamp>2016-02-09T12:52:37Z</timestamp>
-<contributor>
<ip>2A02:582:C0E:EB00:59C3:9D84:F0B9:411D</ip>
</contributor>
<comment>/* Θεωρητική Κατασκευή */</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="7022" xml:space="preserve">{{πηγές|23|06|2013}} Το συνολο των '''ρητών αριθμών''' είναι το σύνολο των [[αριθμός|αριθμών]] που μπορούν να γραφούν σε μορφή [[κλάσμα]]τος με [[ακέραιος αριθμός|ακέραιους]] όρους και [[παρονομαστής|παρονομαστή]] διάφορο του μηδενός. Συμβολίζεται με <math>\mathbb{Q}</math>. Το σύνολο των ρητών περιγράφεται από το σύνολο: :<center><math>\left\{\frac{\mu}{\nu} : \mu, \nu \in \mathbb{Z}, \nu \ne 0 \right\}</math></center> και ισοδύναμα από το: :<center><math>\left\{\frac{\mu}{\nu} : \mu \in \mathbb{Z}, \nu \in \mathbb{N} \right\}</math></center> Όλοι οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με άπειρους διαφορετικούς τρόπους ως πηλίκα δύο ακεραίων μ/ν όπου το ν δεν είναι ίσο με μηδέν. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος γραφής κάθε ρητού στην μορφή μ/ν με ν φυσικό, όπου ο [[μέγιστος κοινός διαιρέτης]], μκδ(μ, ν) των μ και ν είναι η μονάδα η οποία είναι και η πιο απλή μορφή του. Η δεκαδική αναπαράσταση κάθε ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική. Το σύνολο των ρητών είναι γνήσιο [[υποσύνολο]] αυτού των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν δηλαδή [[πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]] που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται '''[[άρρητος αριθμός|άρρητοι]]'''. Επιπλέον το σύνολο των ακεραίων και κατά συνέπεια και το σύνολο των φυσικών, είναι υποσύνολο αυτού των ρητών αφού κάθε ακέραιος α γράφεται στη μορφή α/1 που είναι ρητός. == Αριθμητική == Δύο ρητοί αριθμοί <math>\frac{\alpha}{\beta}</math> και <math>\frac{\gamma}{\delta}</math> λέμε ότι είναι ''ίσοι'' και γράφουμε <math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}</math> [[αν και μόνο αν]] <math>\alpha\delta= \beta\gamma</math> Γενικά οι ρητοί αριθμοί όπως και οι ακέραιοι έχουν την [[αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]] και την [[προσεταιριστική ιδιότητα]] ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό και την [[επιμεριστική ιδιότητα]] του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Η [[πρόσθεση]] δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως: :<math>\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha\delta + \beta\gamma}{\beta\delta}</math> Ο [[πολλαπλασιασμός]] δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως: :<math>\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha\gamma}{\beta\delta}</math> == Ιδιότητες == === Αλγεβρικές ιδιότητες === * Το σύνολο των ρητών αριθμών αποτελεί ένα [[διατεταγμένο σώμα]]. Είναι το μικρότερο σώμα με [[χαρακτηριστική]] 0 και για το λόγο αυτό είναι [[πρώτο σώμα]]. [[Αρχείο:Diagonal argument.svg|thumb|Απαρίθμηση των ρητών αριθμών]] * Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι [[αριθμήσιμο σύνολο|αριθμήσιμο]]. Υπάρχει δηλαδή μια [[Συνάρτηση#Είδη συναρτήσεων|ένα προς ένα συνάρτηση]] από το <math>\Q</math> στο σύνολο των [[φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] <math>\N</math>. Ο [[πληθάριθμος]] του συνόλου των ρητών αριθμών επομένως είναι <math>\aleph_0</math> (''άλεφ-μηδέν''), όπως και του συνόλου των φυσικών. === Τοπολογικές ιδιότητες === * Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι [[πυκνό]] στο σύνολο των πραγματικών. Με αυτό εννοούμε ότι μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών μπορεί να βρεθεί πάντα ένας ρητός και κατά συνέπεια μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μπορούν να βρεθούν άπειροι σε πλήθος ρητοί αριθμοί. * Επίσης είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι και μεταξύ δύο οποιονδήποτε ρητών αριθμών μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον ένας άλλος ρητός αριθμός και κατά συνέπεια άπειροι σε πλήθος ρητοί. == Θεωρητική Κατασκευή == [[Αρχείο:RationalRepresentation.pdf|thumb|Κάθε γραμμή του διαγράμματος (χωρίς το 0) αντιστοιχεί σε μια κλάση ισοδυναμίας]] Οι ρητοί αριθμοί κατασκευάζονται από [[Σχέση ισοδυναμίας#κλάση ισοδυναμίας|κλάσεις ισοδυναμίας]] διατεταγμένων ζεύγων ακεραίων (μ, ν) με ν διάφορο του μηδενός. Θεωρούμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού: ::<math>(\mu, \nu) + (\kappa, \lambda) = (\mu \cdot \lambda + \nu \cdot \kappa,\, \nu \cdot \lambda)</math> ::<math>(\mu, \nu) \cdot (\kappa, \lambda) = (\mu \cdot \kappa,\, \nu \cdot \lambda)</math> Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν σε αυτές των κλασμάτων (βλ. Αριθμητική). Ως σχέση ισοδυναμίας ορίζουμε ::<math>(\mu, \nu) \sim (\kappa, \lambda) \Leftrightarrow \mu \cdot \lambda = \nu \cdot \kappa</math> που αντιστοιχεί στην ισοδυναμία κλασμάτων (π.χ. 1/2 = 2/4 αφού 1 <math>\cdot</math> 4 = 2 <math>\cdot</math> 2). Το σύνολο <math>\mathbb{Q}</math> είναι σύμφωνα με τα παραπάνω ισοδύναμο με το σύνολο πηλίκο <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \{0\}/\sim \,</math> {{Αριθμοί}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} [[Κατηγορία:Ρητοί αριθμοί]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>h0ebof5y8sh1lxts4h9h7mg72xs41xk</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Πραγματικός αριθμός</title>
<ns>0</ns>
<id>20904</id>
-<revision>
<id>6000379</id>
<parentid>6000366</parentid>
<timestamp>2016-08-29T20:12:44Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Texniths</username>
<id>193707</id>
</contributor>
<comment>Αναίρεση έκδοσης 6000366 από τον [[Special:Contributions/46.12.193.129|46.12.193.129]] ([[Συζήτηση χρήστη:46.12.193.129|Συζήτηση]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="12254" xml:space="preserve">{{πηγές|23|06|2013}} Στα [[μαθηματικά]], οι '''πραγματικοί αριθμοί''' γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το [[σύνολο]] όλων των αριθμών που είναι σε [[ένα προς ένα αντιστοιχία]] με τα [[σημείο|σημεία]] μιας άπειρης [[ευθεία]]ς, που καλείται ''ευθεία των πραγματικών αριθμών'' ή ''πραγματικός άξονας''. Ο όρος «πραγματικός αριθμός» πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους «[[φανταστικός αριθμός|φανταστικούς αριθμούς]]», των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικούς]]. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της [[πραγματική ανάλυση|πραγματικής ανάλυσης]]. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο πραγματικός αριθμός ορίζεται ως εξής: Αν για τον αριθμό L ισχύει <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L </math> , όπου a<sub>n</sub> μια ρητή προσέγγιση του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο L είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε να γράψουμε μία δεκαδική προσέγγιση, όπως στον αριθμό [[Αριθμός π|π]]~3,14. Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε [[ρητός αριθμός|ρητούς αριθμούς]] (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και σε [[άρρητος αριθμός|άρρητους αριθμούς]] (που δεν μπορούν να εκφραστούν επακριβώς ως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές. Κάθε «φυσικό [[μέγεθος]]» που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως με ένα πραγματικό αριθμό. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με <math>\R</math>. == Αξιωματική Θεμελίωση των πραγματικών αριθμών == Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο <math>\R</math> το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα: * Το σύνολο <math>\R</math> αποτελεί [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]. Αναλυτικά: ** Για όλα τα x, y, και z στο <math>\R</math>, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z. ** Για όλα τα x και y στο <math>\R</math>, x + y = y + x και xy = yx. ** Για όλα τα x, y, και z στο <math>\R</math>, ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz). ** Για όλα τα x στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 <math>\neq</math> 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x. ** Για όλα τα x στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο −x στο R, τέτοιο ώστε x + (−x) = 0 = (-x) + x. ** Για όλα τα x ≠ 0 στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο x<sup>−1</sup> στο R, τέτοιο ώστε xx <sup>−1</sup> = 1 = x <sup>−1</sup> x. * Το σώμα <math>\R</math> είναι [[Διάταξη|διατεταγμένο]]. Αναλυτικά για x, y, και z στο <math>\R</math> ** ισχύει ακριβώς μια από τις: x<y, x=y, x>y (τριχοτομία) ** αν x<y τότε x+z<y+z ** αν x>0 και y>0 τότε xy>0. * Το διατεταγμένο σώμα <math>\R</math> είναι [[πλήρες]]: Κάθε μη κένό άνω [[Φράγμα (μαθηματικά)|φραγμένο]] υποσύνολό του έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (suprimum). :Ισοδύναμα μπορούμε να ορίσουμε την πληρότητα με τον ορισμό στους μετρικούς χώρους, δηλαδή κάθε [[ακολουθία Κωσύ]] συγκλίνει. Αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα που ικανοποιούν τα παραπάνω τρία αξιώματα είναι [[Ισομορφισμός|ισομορφικά]], κάτι που μας επιτρέπει να λέμε ότι υπάρχει μόνο '''ένα''' [[πλήρες διατεταγμένο σώμα]], το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο <math>\Q</math> των ρητών αν και είναι διατεταγμένο σώμα δεν ικανοποιεί την [[Αρχή της πληρότητας]] ενώ τα σύνολα των φυσικών και ακεραίων δεν αποτελούν σώματα. == Κατασκευή == Για την κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιούμε ως αφετηρία το σύνολο των ρητών αριθμών <math>\Q</math>. Ζητούμε ένα σύνολο που είναι διατεταγμένο σώμα όπως το <math>\Q</math> και επιπλέον ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητας. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. * '''Τομές Dedekind''': Οι [[τομές Dedekind]] είναι άνω φραγμένα ανοιχτά υποσύνολα του <math>\Q</math>. Για κάθε ρητό αριθμό <math> a \in \Q</math> θεωρούμε την τομή Dedekind <math>\alpha = \{q \in \Q | q < a \}</math>. To <math>\R</math> κατασκευάζεται από το σύνολο των τομών Dedekind. * '''Ακολουθίες Κωσύ''' Θεωρούμε τις [[ακολουθία Κωσύ|ακολουθίες Κωσύ]] στον <math>\Q</math> και ορίζουμε την ακόλουθη [[σχέση ισοδυναμίας]]: Δύο ακολουθίες Κωσύ (α<sub>ν</sub>) και (β<sub>ν</sub>) είναι ισοδύναμες αν η διαφορά τους τείνει στο μηδέν, δηλαδή αν για κάθε ρητό ε>0 υπάρχει φυσικός Ν, τέτοιος ώστε |α<sub>ν</sub> - β<sub>ν</sub>|<ε για κάθε ν>Ν. To <math>\R</math> κατασκευάζεται από το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας. == Η ευθεία των πραγματικών αριθμών == Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια [[ευθεία]], της οποίας κάθε [[σημείο]] αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό. Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται. Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά απ'αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό. Αν x=0, τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς. Το σύνολο <math>\R</math> είναι ολικά διατεταγμένο, δηλαδή αν επιλέξουμε δύο αριθμούς <math>a, \beta \in \R</math>, τότε θα ισχύει μία από τις τρεις παρακάτω σχέσεις: :<math>a < \beta \, \quad a = \beta \quad a> \beta</math>. Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία α και β πάνω του, τότε ή το α είναι αριστερά του β ή το α θα συμπέσει με το β ή το α θα είναι δεξιά του β. Η πρόταση αυτή ακούγεται προφανής. [[Αρχείο:Recta real entero o decimal exacto.png|right]]Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το [[σύνολο]] των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό που πάντα μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] κι αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας. == Πληθάριθμος == Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι '''υπεραριθμήσιμο'''. Σε αντίθεση δηλαδή με τους [[φυσικός αριθμός|φυσικούς αριθμούς]] δεν μπορούμε να απαριθμήσουμε όλους τους πραγματικούς. Ο [[πληθάριθμος]] του <math>\R</math> συμβολίζεται με τον ''πληθάριθμο του συνεχούς'' <math>\mathfrak c</math>. Σύμφωνα με την ''υπόθεση του συνεχούς'' του [[Γκέοργκ Καντόρ|Καντόρ]], ότι δεν υπάρχει σύνολο με πληθάριθμο μεταξύ αυτού των φυσικών και αυτού των πραγματικών αριθμών, ο πληθάριθμος του συνεχούς είναι ίσος με <math>\aleph_1</math> (άλεφ-ένα). == Τοπολογικές ιδιότητες == Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την [[ευκλείδεια μετρική]] αποτελούν [[μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]]. Η συνήθης [[τοπολογία]] προκύπτει από ανοικτά διαστήματα της μορφής <math>B_r(p)=\{x\in\R:|x-p|<r\}</math>. O <math>\R</math> δεν είναι [[συμπαγής μετρικός χώρος]]. Υπάρχει ''ανοιχτή κάλυψη'' του <math>\R</math> για την οποία δεν υπάρχει πεπερασμένη ανοιχτή υπο-κάλυψη. Π.χ. θεωρούμε τα σύνολα <math>U_n=(n-1, n+1)</math>. Η ένωσή τους <math>\cup_{n\in \N} U_n</math> είναι μια κάλυψη του <math>\R</math>. Δεν υπάρχει όμως πεπερασμένος αριθμός των <math>U_n</math> που μπορούν να καλύψουν τον <math>\R</math>. Ο <math>\R</math> είναι όμως ''τοπικά συμπαγής'', για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει [[περιοχή (μαθηματικά)|περιοχή]] του, της οποίας η κλειστή θήκη είναι συμπαγής. O <math>\R</math> είναι [[συναφής χώρος]], αφού δε μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ανοικτά ξένα μεταξύ τους σύνολα. {{Αριθμοί}} {{Authority control}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} [[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία|Πραγματικοι αρ]] [[Κατηγορία:Πραγματικοί αριθμοί| ]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>9mt387nj6yfm1bccl8lv6evg8dzuers</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Ακολουθία</title>
<ns>0</ns>
<id>28830</id>
-<revision>
<id>5059575</id>
<parentid>4727313</parentid>
<timestamp>2015-02-05T19:46:09Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="7388" xml:space="preserve">{{πηγές|01|03|2014}} {{άλλεςχρήσεις}} Στα [[μαθηματικά]], μια '''ακολουθία''' είναι μια διατεταγμένη ''λίστα'' αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει ''όρους'' και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται ''μήκος'' της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα [[Σύνολο|σύνολα]] σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσο αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά). Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις '''άπειρες ακολουθίες''' και στις '''πεπερασμένες'''. Σχεδόν αποκλειστικά, στην [[μαθηματική ανάλυση]] ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες. == Αυστηρός Ορισμός == Ονομάζουμε '''ακολουθία''' ή πιο συγκεκριμένα '''άπειρη ακολουθία''' οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών <math> \mathbb{N} </math> σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής: : <math> a: \mathbb{N} \rightarrow A </math> Συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο <math> k \in \mathbb{N}</math> με α<sub>k</sub> αντί με α(k) όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Αν το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται '''πραγματική ακολουθία'''. Ονομάζουμε '''πεπερασμένη ακολουθία''' ή '''λίστα n στοιχείων''' οποιαδήποτε [[συνάρτηση]] α από ένα σύνολο <math>\lbrace 1, 2, \cdots , n \rbrace</math> σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής: : <math> a: \lbrace 1, 2, \cdots , n \rbrace \rightarrow A </math> Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με (α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub>). Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ... ) όπου α<sub>1</sub> είναι ο πρώτος όρος της, α<sub>2</sub> ο δεύτερος κοκ. ή για συντομία (α<sub>n</sub>). == Όριο Ακολουθίας == {{Κύριο|Όριο ακολουθίας}} Θεωρούμε την ακολουθία: :<math>a_n = \frac{1}{n}</math> με όρους: :<math>a_1 = 1, ..., a_{10}=\frac{1}{10}, ..., a_{100}=\frac{1}{100}, ... , a_{1000}=\frac{1}{1000} ...</math> Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας ''πλησιάζουν'' ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης της n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να ''ξεπεράσει'' το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει ''όριο'' τον αριθμό 0. Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει ''όριο'' ή ότι ''συγκλίνει σε ένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα. Ο αυστηρός ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας (a<sub>n</sub>) σε πραγματικό αριθμό είναι ο εξής: λέμε ότι '''ο αριθμός L είναι όριο της ακολουθίας''' <math>(a_n)</math> αν για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n<sub>0</sub> τέτοιος, ώστε για κάθε n>n<sub>0</sub> να ισχύει: : <math>|a_n - L| < \epsilon</math> και το συμβολίζουμε με: :<math>\lim_{n \to \infty}a_n = L </math> Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Μπορεί για παράδειγμα να αποκλίνει στο <math>+\infty</math> ή στο <math>-\infty</math> ή ακόμα να μην έχει όριο καθόλου. Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό. == Υπακολουθία == Αν <math>x_n</math> είναι μια ακολουθία και <math>k_1 < k_2 < ... < k_n < ...</math> είναι φυσικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία <math>x_{k_n}</math>, δηλαδή η <math>x_{k_1}, x_{k_2}, x_{k_3},...</math> καλείται υπακολουθία της <math>x_n</math>. Μια υπακολουθία μιας ακολουθίας αποτελεί κι αυτή ακολουθία. Επιπλέον, οι δείκτες των όρων μιας υπακολουθίας αποτελούν μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Αν <math>x_{k_n}</math> είναι υπακολουθία μιας συγκλίνουσας ακολουθίας <math>x_n</math>, τότε συγκλίνει κι αυτή στο ίδιο όριο, στο οποίο συγκλίνει η <math>x_n</math>. == Δείτε επίσης == * [[Αριθμητική πρόοδος]] * [[Αρμονική πρόοδος]] * [[Γεωμετρική πρόοδος]] ==Εξωτερικοί σύνδεσμοι== {{βικιλεξικό}} {{Μαθηματικά-επέκταση}} [[Κατηγορία:Ακολουθίες]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>13zhm91xn6fbtb7ouokbp48obafje3g</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Κλίση συνάρτησης</title>
<ns>0</ns>
<id>53718</id>
-<revision>
<id>5506132</id>
<parentid>5506131</parentid>
<timestamp>2015-11-05T19:44:12Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>αφαιρέθηκε η [[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="3680" xml:space="preserve">Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι <math>g(x) = mx+b</math>. Η '''κλίση''' μιας γραμμικής '''συνάρτησης''' (δηλ. μιας [[ευθεία]]ς) είναι [[Αρχείο:Linear function.png|thumbnail|Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.|400px]] :<math>m=\frac {g(x_2)-g(x_1)}{x_2 - x_1}</math> για δύο οποιαδήποτε σημεία <math>(x_1, \, g(x_1) \, ), (x_2, \, g(x_2) \, )</math> , όταν <math> x_1 </math> διάφορο <math> x_2 </math> .Αν <math> x_1 = x_2 </math> Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας . [[Αρχείο:Tangent of a function.png|thumb|Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.|400px]] Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. [[καμπύλη|καμπύλες]] στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης <math>\,f(x)</math> σε κάποιο σημείο <math>\,x_1 </math> είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο <math> (x_1, \, f(x_1)) </math> με την κλίση της [[εφαπτόμενη|εφαπτομένης]] που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο <math>\,x_2</math> κοντά στο <math>\, x_1 </math> η [[τέμνουσα]] που διέρχεται από τα σημεία <math> (x_1, \, f(x_1)) </math> και <math> (x_2, \, f(x_2)) </math> έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι :<math> \frac {f(x_1)-f(x_2)}{x_2 - x_1}. </math> Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται ''μέσος ρυθμός μεταβολής''. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο <math>\,x_2</math> στο σημείο <math>\,x_1</math>, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου <math>\,x_2</math> στο σημείο <math>\,x_1</math> και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως :<math> f'(x_1) = \lim_{x_2 \rightarrow x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} </math> :<math> = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}. </math> <math>\,f'(x_1)</math> ονομάζεται [[παράγωγος]] της συνάρτησης <math>\,f(x)</math> στο σημείο <math>\,x_1</math>. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το [[όριο]] του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το <math>\,x_2</math> τείνει στο <math>\,x_1</math>. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση <math>\,f(x)</math> ονομάζεται ''διαφορίσιμη'', αν όχι, ''μη διαφορίσιμη''. [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]] {{μαθηματικά-επέκταση}}</text>
<sha1>qaku3hun7r7nxiyfhlziu6m0dg7kd7n</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Ακέραιος αριθμός</title>
<ns>0</ns>
<id>20901</id>
-<revision>
<id>6022380</id>
<parentid>5953602</parentid>
<timestamp>2016-09-13T15:59:11Z</timestamp>
-<contributor>
<ip>2A02:587:A40C:FF00:1CF6:8524:E756:61C8</ip>
</contributor>
<comment>Είχε χρησιμοποιηθεί ο πληθυντικός μιας ξένης λέξης, μεταφρασμένη ως τον ενικό της αντίστοιχης ελληνικής. Έγραψα τον ενικό της ξένης.</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="6939" xml:space="preserve">{{πηγές|22|03|2015}} {{Επιστημονικό πεδίο| |όνομα= Αριθμητική |dewey= 513 |msc2010= 97Fxx }} '''Ακέραιοι''' ονομάζονται όλοι οι [[φυσικός αριθμός|φυσικοί αριθμοί]] μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το [[σύνολο]] των ακεραίων δηλαδή το σύνολο: <center><math>\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\}</math></center> συμβολίζεται με το γράμμα <math>\mathbb{Z}</math>, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει ''αριθμός''. Το σύνολο <math>\mathbb{Z}</math> ορίζεται επίσης ως εξής: <center><math>\mathbb{Z}=\{x-y:x,y\in\mathbb{N}\}</math></center>. Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι [[άπειρο]] [[αριθμήσιμο]] με [[πληθάριθμος|πληθάριθμο]] <math>\aleph_0</math> (''άλεφ-μηδέν''). == Αλγεβρικές Ιδιότητες == Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν '''αντιμεταθετικό [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]]''' ως προς την [[πρόσθεση]] και τον [[πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]]. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς προσθεση και πολλαπλασιασμο και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν '''[[σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]'''. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδη απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι [[ρητοί αριθμοί]]. {| class="wikitable" | Πρόσθεση || Πολλαπλασιασμός || |- |<math>a+b\in\mathbb{Z}</math> || <math>a\times b\in\mathbb{Z}</math> || σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις |- |<math>a+b=b+a\,</math> || <math>a\times b=b\times a</math> || αντιμεταθετική ιδιότητα |- |<math>a+(b+c)=(a+b)+c\,</math> || <math>a\times (b\times c)=(a\times b)\times c</math> || προσεταιριστική ιδιότητα |- |<math>a+0=a\,</math> || <math>a\times 1=a</math> || ουδέτερο στοιχείο |- |<math>a+(-a)=0\,</math> || δεν υπάρχει || αντίθετο στοιχείο |- | colspan=2 align=center | <math>a\times(b+c)=(a\times b) + (a\times c)</math> || επιμεριστική ιδιότητα |} == Διάταξη == Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως [[διατεταγμένο σύνολο]]: :<math>... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...</math> Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο. == Κατασκευή == [[File:Relatives Numbers Representation.png|thumb|alt=Représentation des classes d'équivalence pour les nombres de -5 à 5 | thumb | Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη. ]] Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς. Θεωρούμε το σύνολο <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη [[σχέση ισοδυναμίας]]: :<math>(a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b.</math> Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N} \,/\! \sim</math> ορίζει τους φυσικούς αριθμούς <math>\mathbb{Z}</math>. Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους <math>(a, b)</math> τη συμβολίζουμε με <math>[(a, b)]</math> ή <math>a- b</math>. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... . Ένας ακέραιος αριθμός <math>(a, b)</math> είναι θετικός, όταν <math>a > b</math>, αρνητικός όταν <math>a < b</math> και 0 όταν <math>a = b</math>. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (''n'',0), (0,''n'') ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς: :<math>[(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)].\,</math> :<math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)].\,</math> Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζευγους: :<math>-[(a,b)] = [(b,a)].\,</math> Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση: :<math>[(a,b)]<[(c,d)] \Leftrightarrow a+d < b+c.\,</math> == Πληθάριθμος == Το σύνολο των ακεραίων έχει [[πληθάριθμος|πληθάριθμο]] <math>\aleph_0</math> (''άλεφ-μηδέν''), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπάρξη αμφιμονότιμης και επί [[συνάρτηση]]ς <math>f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}</math>, σύναρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων: :<math>f(x) = \begin{cases} 2|x|, & x < 0 \\ 2x+1, & x \ge 0. \end{cases} </math> == Δείτε επίσης == {{Commonscat}} Σύνολο των * [[φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] <math>\N</math> * [[ρητός αριθμός|ρητών αριθμών]] <math>\Q</math> * [[πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] <math>\R</math> * [[μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]] <math>\C</math>. {{Αριθμοί}} {{Authority control}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} [[Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί| ]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>6mnc43me3dqp4xqqxm5gosaijvp63ck</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική</title>
<ns>14</ns>
<id>369257</id>
-<revision>
<id>4727722</id>
<parentid>4726996</parentid>
<timestamp>2014-06-29T10:32:27Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>προστέθηκε η [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="108" xml:space="preserve">[[Κατηγορία:Αριθμητική]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>byyypf1apmpfocwuaplwc5wnziq2ez3</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα</title>
<ns>14</ns>
<id>369295</id>
-<revision>
<id>5264679</id>
<parentid>4727777</parentid>
<timestamp>2015-05-23T17:40:56Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>προστέθηκε η [[Κατηγορία:Άλγεβρα]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="130" xml:space="preserve">{{catmore|Άλγεβρα}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Άλγεβρα]]</text>
<sha1>ddsu8nz24q9n5np6n4665mxcoctl2g3</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία</title>
<ns>14</ns>
<id>369298</id>
-<revision>
<id>5872351</id>
<parentid>5387099</parentid>
<timestamp>2016-05-29T08:21:44Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Spiros790</username>
<id>92946</id>
</contributor>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="175" xml:space="preserve">{{catmore|Στοιχειώδης γεωμετρία}} {{commonscat}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Γεωμετρία]]</text>
<sha1>qtqwqft3iak3xgfex1a7qerqiir8ml3</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Λόγος (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>113669</id>
-<revision>
<id>6054036</id>
<parentid>6053965</parentid>
<timestamp>2016-10-07T13:36:42Z</timestamp>
-<contributor>
<username>C messier</username>
<id>43447</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>Αναστροφή της επεξεργασίας από τον [[Χρήστης:2A02:587:D009:1B00:457:7BBB:119C:BFF1|2A02:587:D009:1B00:457:7BBB:119C:BFF1]] ([[Ειδικό:Contributions/2A02:587:D009:1B00:457:7BBB:119C:BFF1|συνεισφ.]]), επ...</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="2152" xml:space="preserve">{{πηγές|17|02|2014}} [[Εικόνα:Aspect-ratio-4x3.svg|thumb|Ο λόγος πλάτους προς ύψος στις οθόνες υπολογιστών]] '''Λόγος''' είναι μια ποσότητα που υποδηλώνει [[αναλογία (Μαθηματικά)|αναλογία]]. Οι λόγοι είναι [[μονόμετρο μέγεθος|μονόμετρα μεγέθη]] όταν συσχετίζουν ποσότητες με ίδιες [[μονάδα μέτρησης|μονάδες μέτρησης]]. Όταν χρησιμοποιούνται διαφορετικές μονάδες λέμε την πρώτη ανά την δεύτερη, πχ η ταχύτητα μετράται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Οι [[αριθμοδείκτες]] είναι ειδική περίπτωση λόγων δια 100 και λέμε επί τοις εκατό. Ο λόγος 2:3 ("δυο προς τρία") σημαίνει ότι το όλον περιλαμβάνει 2 από ένα μέρος και 3 από άλλο, πχ σε ένα καλάθι όταν περιέχονται 2 μήλα και 3 πορτοκάλια λέμε ότι ο λόγος μήλων προς πορτοκάλια είναι 2:3. Αν προστεθούν άλλα τόσα, τότε ο λόγος θα γίνει 4:6 που είναι ισοδύναμο με τον πρώτο λόγο 2:3. Με άλλα λόγια στην αρχή ήταν 2/5 ή 40% μήλα από τα φρούτα και μετά 4/10 δηλαδή πάλι 40%. Σημειώστε ότι στο παράδειγμά μας μήλα προς πορτοκάλια είναι 2:3 ή "δυο προς τρία", ενώ μήλα από φρούτα είναι 2/5 ή "δυο πέμπτα" ή 40% των φρούτων. Η αναλογία λοιπόν συγκρίνει το μέρος με το όλον ενώ ο λόγος τα δυο μέρη. == Εξωτερικοί σύνδεσμοι == {{βικιλεξικό|λόγος|λόγος}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Άλγεβρα]]</text>
<sha1>49sdk51qwzvll8ze4vdni4h85zx9quw</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Θεωρία κρυφών μεταβλητών</title>
<ns>0</ns>
<id>439273</id>
-<revision>
<id>5461239</id>
<parentid>5459661</parentid>
<timestamp>2015-10-08T09:54:10Z</timestamp>
-<contributor>
<username>KCharitakis</username>
<id>130055</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>προστέθηκε η [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="1353" xml:space="preserve">{{πηγές|07|10|2015}} {{μορφοποίηση}} Οι '''κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες''', '''κρυφές μεταβλητές''' ή '''κρυφές παράμετροι''' (επίσης '''θεωρία κρυφών μεταβλητών'''[https://en.wikipedia.org/wiki/Hidden_variable_theory]) αφορούν έκπτωτη θεωρία κβαντικής αιτιότητας[https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%B9%CF%84%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1], βασισμένη στην '''άγνοια ντετερμινιστικών μεταβλητών και μηχανισμών'''. Τα δεδομένα πειραμάτων κβαντικής σύμπλεξης και αποσυνοχής (αποσύμπλεξης) βασισμένων στο θεώρημα του John S Bell[https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE%B6%CE%BF%CE%BD_%CE%A3%CF%84%CE%B9%CE%BF%CF%8D%CE%B1%CF%81%CF%84_%CE%9C%CF%80%CE%B5%CE%BB], κατέρριψαν οριστικά τον όρο ''κρυφές μεταβλητές'' επιβεβαιώνοντας την '''θεμελιώδη κβαντική δυνητικότητα'''[https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_indeterminacy] πριν την κατάρρευση της σύμπλεξης. {{επέκταση}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>o991bjyazlu77yzju1u5xy2pjka5j4l</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Μερισμός (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>105443</id>
-<revision>
<id>5503525</id>
<parentid>5503524</parentid>
<timestamp>2015-11-04T12:41:41Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Sotkil</username>
<id>9777</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>αφαιρέθηκε η [[Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική]]; προστέθηκε η [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] (με το [[Βικιπαίδεια:HotCat|HotCat]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="2815" xml:space="preserve">Στα [[μαθηματικά]] '''μερισμός αριθμού''' ονομάζεται η αναγωγή ενός [[αριθμός|αριθμού]] σε μέρη ανάλογα προς άλλους αριθμούς. Πρόκειται για μέθοδο κατά την οποία ένας αριθμός χωρίζεται σε μέρη ισάριθμα προς άλλους αριθμούς και ανάλογα μ΄ αυτούς. Στη περίπτωση αυτή ο αριθμός που χωρίζεται λέγεται "μεριστέος", οι δε άλλοι αριθμοί "ανάλογοι" Ο Μερισμός επιτυγχάνεται αν [[πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιαστεί]] ο μεριστέος επί τον καθένα από τους δοθέντες αριθμούς και τα γινόμενα που προκύπτουν διαιρεθούν δια του [[άθροισμα|αθροίσματος]] των αναλόγων. ==Παράδειγμα== Έστω να μεριστεί ο αριθμός 120 (μεριστέος), σε μέρη ανάλογα των αριθμών 4, 7, και 9 (ανάλογοι). Το άθροισμα των αναλόγων είναι 4+7+9=20. Τότε το καθένα μέρος θα είναι α) 120Χ4:20 = 24, β) 120Χ7:20 = 42 και γ) 120Χ9:20 = 54. *Μπορεί όμως να γίνει μερισμός σε μέρη και αντιστρόφως ανάλογα δοθέντων αριθμών. Αυτό επιτυγχάνεται αφού προηγουμένως αντιστραφούν οι δοθέντες αριθμοί και τα [[ετερώνυμα κλάσματα]] αυτών μετατραπούν σε ομώνυμα, όπου και συνεχίζεται ο μερισμός κατά το παραπάνω παράδειγμα ανάλογα με τους αριθμητές των ομωνύμων πλέον κλασμάτων. Κατά το παραπάνω παράδειγμα έστω ο αριθμός 120 να μεριστεί σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 3, 4 και 12. Στη περίπτωση αυτή αντίστροφοι αριθμοί των αναλόγων είναι οι κλασματικοί αριθμοί 1/3, 1/4 και 1/12. Τρέπονται αυτοί σε ομώνυμα κλάσματα δηλαδή 4/12, 3/12 και 1/12 όπου και το άθροισμα των αριθμητών είναι 8. Τότε τα ζητούμενα μέρη θα είναι: α) 120Χ4:8 = 60, β) 120Χ3:8 = 45 και γ) 120Χ1:8 = 15 ==Πηγές== *''Νεώτερον Εγκυκλοπαιδικόν Λεξικόν Ηλίου'' τ.13ος, σ.277 [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>cn3l7xdv80j4t9tbvebc2rsmur5fc55</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Περιοδική συνάρτηση</title>
<ns>0</ns>
<id>162618</id>
-<revision>
<id>5644184</id>
<parentid>5388452</parentid>
<timestamp>2016-01-18T21:25:41Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Mavrikant</username>
<id>139259</id>
</contributor>
<comment>++Κατηγορία</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="6352" xml:space="preserve">{{πηγές|16|06|2012}} {{Μαθηματικές συναρτήσεις}} Μία συνάρτηση f(x) πραγματικής μεταβλητής με πεδίο ορισμού το A<sub>f</sub> λέγεται '''περιοδική''', αν υπάρχει Τ>0 τέτοιο, ώστε για κάθε x που ανήκει στο A<sub>f</sub> ισχύει ότι x-Τ, x+Τ ανήκουν στο A<sub>f</sub> και ότι f(x+Τ)=f(x-Τ)=f(x). Ο αριθμός Τ ονομάζεται [[περίοδος]]. Επίσης, λέμε ότι η συνάρτηση επαναλαμβάνεται. == Χαρακτηριστικά της περιοδικής συνάρτησης == [[Αρχείο:Periodic function.png|thumb|Γραφική παράσταση μια ασυνεχούς περιοδικής συνάρτησης. Σημειώνεται και η περίοδος.]] Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιοδικής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές στο διάστημα μιας περιόδου. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης. === Πεδίο ορισμού === Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είτε είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ή είναι μια απειρία ένωσης όμοιων πεδίων. Για παράδειγμα, αν το διάστημα [2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμού και Τ=5, τότε ανήκει και το διάστημα [7,11) και το διάστημα [-3,1). === Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα === <!--εκκρεμεί απόδειξη συνέχειας, παραγωγισιμότητας---> Η περιοδική συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη [[συνεχής συνάρτηση|συνεχής]] ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι, αν η συνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα, έχει και την ίδια ιδιότητα στο σημείο ή διάστημα με διαφορά από το προηγούμενο κατά Τ. Επιπλέον, η [[παράγωγος]], αν υπάρχει είναι περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο. === Μονοτονία === Η [[μονοτονία συνάρτησης|μονοτονία]] της συνάρτησης, όπου υπάρχει, επαναλαμβάνεται και αυτή με βάση την περίοδο. Για παράδειγμα, αν μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=4 είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (2,3] και στο (-6,-5]. === Ασύμπτωτες === Η περιοδική συνάρτηση είναι αδύνατον να έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες, γιατί είναι αδύνατον να έχει όριο στο συν ή πλην άπειρο, εκτός αν είναι [[σταθερή συνάρτηση]]. Αν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, τότε αυτές είναι άπειρες και επαναλαμβάνονται κατά την περίοδο της συνάρτησης. === Σύνολο τιμών-Ρίζες === Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το σύνολο τιμών της συνάρτησης σε οποιαδήποτε περίοδο. Κάθε τιμή τη λαμβάνει άπειρες φορές, άρα η περιοδική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Το σύνολο των ριζών περιοδικής συνάρτησης είναι άπειρο ή μηδέν. === Κοιλοκυρτότητα === Η [[κοιλοκυρτότητα συνάρτησης|κοιλοκυρτότητα]] της συνάρτησης, όπου ορίζεται, επαναλαμβάνετε κατά την περίοδο. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιοδική με την ίδια περίοδο. === Συμμετρίες === Η γραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνεται ακριβώς η ίδια κατά την περίοδο. Για αυτό συνήθως σχεδιάζεται μόνο ένα κομμάτι της, αυτό που αντιστοιχεί σε μία περίοδο που περιλαμβάνει τον άξονα y'y. == Αντίστροφη συνάρτηση == Μερικές περιοδικές συναρτήσεις είναι [[ένα προς ένα]] σε διάστημα μιας περιόδου, άρα ορίζεται αντίστροφη μόνο σε ένα διάστημα. == Ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων == Οι περιοδικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν με δύο τρόπους: την [[ανάλυση Φουριέ]] και την ανάλυση σειράς Taylor. ---- ''Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο ''Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης'', ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287 καθώς και στον ορισμό άρτιας συνάρτησης που περιλαμβάνεται σε αυτό'' [[Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις]] [[Κατηγορία:Λογισμός]] [[Κατηγορία:Ανάλυση Φουριέ]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>69r3wiv2wxf6xaoh1okpnnss9chdsw3</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Αρχή των αξόνων (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>475965</id>
-<revision>
<id>5859085</id>
<timestamp>2016-05-21T17:32:09Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Vivichristod</username>
<id>198372</id>
</contributor>
<comment>Δημιουργήθηκε από μετάφραση της σελίδας "[[:en:Special:Redirect/revision/712744162|Origin (mathematics)]]"</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="4750" xml:space="preserve">[[Αρχείο:Coordinate_with_Origin.svg|δεξιά|με-πλαίσιο|Η αρχή των αξόνων σε ένα Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]] Στα [[μαθηματικά]], η '''αρχή των αξόνων''' σε έναν Ευκλείδειο χώρο είναι ένα ειδικό [[σημείο]], που συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα ''O.'' Χρησιμοποιείται ως σταθερό σημείο αναφοράς για την γεωμετρία του περιβάλλοντος χώρου. == Καρτεσιανές συντεταγμένες == Σε ένα [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]], η αρχή των αξόνων είναι το σημείο όπου οι άξονες του συστήματος τέμνονται.<ref name="madsen">{{Πρότυπο:Citation|last=Madsen|first=David A.|title=Engineering Drawing and Design|url=http://books.google.com/books?id=N97zPAvogxoC&pg=PA120|year=2001|series=Delmar drafting series|page=120|publisher=Thompson Learning|isbn=9780766816343}}.</ref> Η αρχή των αξόνων διαιρεί κάθε έναν από αυτούς τους άξονες στα δύο, έναν θετικό και έναν αρνητικό ημιάξονα.<ref>{{Πρότυπο:Citation|last=Pontrjagin|first=Lev S.|title=Learning higher mathematics|year=1984|authorlink=Lev Pontryagin|series=Springer series in Soviet mathematics|page=73|publisher=Springer-Verlag|isbn=9783540123514}}.</ref> Στη συνέχεια τα σημεία μπορούν να δοθούν σε σχέση με την αρχή των αξόνων, δίνοντας τις αριθμητικές τους [[Σύστημα αναφοράς|συντεταγμένες]], τις θέσεις τους δηλαδή των προβολών τους κατά μήκος κάθε άξονα, είτε στην θετική είτε στην αρνητική κατεύθυνση. Οι συντεταγμένες της αρχής των αξόνων είναι πάντα μηδέν, για παράδειγμα (0,0) σε άξονες δύο διαστάσεων και (0,0,0) σε άξονες τριών διαστάσεων.<ref name="madsen">{{Πρότυπο:Citation|last=Madsen|first=David A.|title=Engineering Drawing and Design|url=http://books.google.com/books?id=N97zPAvogxoC&pg=PA120|year=2001|series=Delmar drafting series|page=120|publisher=Thompson Learning|isbn=9780766816343}}.</ref> == Άλλα συστήματα συντεταγμένων == Στο [[πολικό σύστημα συντεταγμένων]], η αρχή των αξόνων μπορεί επίσης να ονομάζεται πόλος. Ο πόλος, όμως, δεν έχει καλά ορισμένες πολικές συντεταγμένες, επειδή οι πολικές συντεταγμένες ενός σημείου περιλαμβάνουν τη γωνία που σχηματίζεται από τον θετικό ''x''-άξονα και την ακτίνα από την αρχή των αξόνων μέχρι ένα σημείο. Όμως αυτή η ακτίνα δεν είναι καλά ορισμένη για την αρχή των αξόνων.<ref>{{Πρότυπο:Citation|last=Tanton|first=James Stuart|title=Encyclopedia of Mathematics|url=http://books.google.com/books?id=MfKKMSuthacC&pg=PA400|year=2005|publisher=Infobase Publishing|isbn=9780816051243}}.</ref> Στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία]], η αρχή των αξόνων μπορεί να επιλεγεί ελεύθερα, ωε ένα οποιοδήποτε κατάλληλο σημείο αναφοράς.<ref>{{Πρότυπο:Citation|last=Lee|first=John M.|title=Axiomatic Geometry|url=http://books.google.com/books?id=9Z0xAAAAQBAJ&pg=PA134|year=2013|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|volume=21|page=134|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821884782}}.</ref> Η αρχή των αξόνων του [[Μιγαδικό επίπεδο|μιγαδικού επιπέδου]] μπορεί να αναφέρεται ως το σημείο όπου ο πραγματικός άξονας και ο φανταστικός άξονας τέμνονται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, είναι ο μιγαδικός αριθμός [[0 (αριθμός)|μηδέν]].<ref>{{Πρότυπο:Citation|last=Gonzalez|first=Mario|title=Classical Complex Analysis|year=1991|series=Chapman & Hall Pure and Applied Mathematics|publisher=CRC Press|isbn=9780824784157}}.</ref> == Πηγές == {{Reflist}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>akqopps3n2w86jvox45lgb6u2zpvpbj</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Σύμβολο ισότητας (μαθηματικά)</title>
<ns>0</ns>
<id>489229</id>
-<revision>
<id>6163747</id>
<parentid>6163723</parentid>
<timestamp>2016-12-22T19:16:01Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Texniths</username>
<id>193707</id>
</contributor>
<minor/>
<comment>Αναίρεση έκδοσης 6163723 από τον [[Special:Contributions/2A02:587:D009:1B00:5C52:1FB4:5090:382F|2A02:587:D009:1B00:5C52:1FB4:5090:382F]] ([[Συζήτηση χρήστη:2A02:587:D009:1B00:5C52:1FB4:5090:382F|Συζήτηση]])</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="953" xml:space="preserve">{{πηγές|10|09|2016}} Το '''σύμβολο ισότητας''' στα [[μαθηματικά]] είναι το '''ίσον''' (=) και χρησιμοποιείται για να χωρίσει τα δύο μέλη μιας [[ισότητα (μαθηματικά)|ισότητας]] ή μιας [[εξίσωση]]ς. Για παράδειγμα, τα δύο μέλη της ισότητας 3 · 5 + 6 '''=''' 2 · 5 + 11. είναι ίσα, γιατί και τα δύο έχουν τιμή ίση με 21 (21 = 21). Το σύμβολο ίσον χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1557 από τον [[Ρόμπερτ Ρέκορντ]]. Στους κώδικες [[Unicode]] και [[ASCII]], είναι ο χαρακτήρας U+003D = EQUALS SIGN. {{μαθηματικά-επέκταση}} [[Κατηγορία: Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία: Μαθηματικά σύμβολα]]</text>
<sha1>i60eiat7k6lsogwp1it5us3kjmivnn6</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Διαιρέτης</title>
<ns>0</ns>
<id>20896</id>
-<revision>
<id>6019639</id>
<parentid>6019629</parentid>
<timestamp>2016-09-11T19:15:50Z</timestamp>
-<contributor>
<username>Chalk19</username>
<id>176737</id>
</contributor>
<comment>rv βανδαλισμού του "ανώνυμου" / [[Χρήστης:Κοραλια καραντη]]</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="2323" xml:space="preserve">{{πηγές|01|03|2014}} Η '''διαιρετότητα''' είναι μια από της βασικές έννοιες της [[θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]] και αναφέρεται στην διαίρεση [[ακέραιος αριθμός|ακεραίων]]. ==Ορισμός== Ένας [[ακέραιος]] [[αριθμός]] δ ονομάζεται '''διαιρέτης''' ενός ακέραιου αριθμού α, [[αν και μόνο αν]] ισχύει <math>\, a = \pi\delta </math> για κάποιον ακέραιο π. Ο π λέγεται [[πηλίκο]] της διαίρεσης. Συμβολίζουμε το παραπάνω ως <math>\, \delta | a </math> (''ο δ διαιρεί τον α)''. Για παράδειγμα ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3), αφού 6=3 2. Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο [[Πρώτος αριθμός|πρώτων παραγόντων]] (βλ. και [[θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]). ==Ιδιότητες== Για <math> a, b, c, d\in\mathbb{Z}</math> ισχύουν τα ακόλουθα: * <math> 1|a </math> και <math> -1|a </math> για κάθε α. * <math> a|0 </math> για κάθε α. * Αν <math> 0|a</math>, τότε <math>a=0</math>. * Αν <math>a | b</math> και <math>b | a</math>, τότε <math>a = b</math> ή <math>a = -b</math>. * Αν <math>a | b</math>, τότε <math>ac| bc</math> για κάθε c. * Αν <math>a | b</math> και <math>c | d</math>, τότε <math> ac | bd</math> * Αν <math>a | b</math> και <math>a | c</math>, τότε <math> a | (b + c)</math>. Γενικότερα <math>a | (mb + nc)</math> για κάθε <math>m</math> και <math>n</math>. * Αν <math>a | b</math> και <math>b | c</math>, τότε <math>a | c</math> (μεταβατικότητα) * Αν <math>a | b</math> τότε |<math>a | =< |b</math>| ==Εξωτερικοί σύνδεσμοι== {{βικιλεξικό}} [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] [[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]] [[Κατηγορία:Αριθμητική]] {{μαθηματικά-επέκταση}}</text>
<sha1>7cxydn910ebo49h97izky5622zv3ot3</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Ταύτιση</title>
<ns>0</ns>
<id>500440</id>
-<revision>
<id>6163635</id>
<parentid>6163634</parentid>
<timestamp>2016-12-22T17:30:26Z</timestamp>
-<contributor>
<ip>2A02:587:D009:1B00:408C:C21C:175C:B3FC</ip>
</contributor>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="1166" xml:space="preserve">{{πηγές|10|12|2016}} '''Ταύτιση''' στα [[μαθηματικά]] είναι μια έννοια σχετική με την [[Ισότητα (μαθηματικά)|ισότητα]] και συμβολίζεται με ≡. Η ταύτιση δεν δηλώνει ότι τα δύο μέλη είναι ίσα, όπως και στην ισότητα. Δηλώνει ότι τα δύο μέλη είναι ίδια, δηλαδή αναπαριστούν το ίδιο πράγμα. Μια ταύτιση: 8 × 6 + 4 ≡ 48 + 4. Τα δύο μέλη (8 × 6 + 4) και (48 + 4) δε λέμε ότι είναι ίσα, αλλά ότι είναι ίδια και διαβάζουμε: "οχτώ επί έξι συν τέσσερα ταυτόσημο με σαράντα οχτώ συν τέσσερα" ή "οχτώ επί έξι συν τέσσερα ίδιο με σαράντα οχτώ συν τέσσερα". {{βικιλεξικό}} {{Portal bar|Μαθηματικά}} [[Κατηγορία:Μαθηματικές σχέσεις]] [[Κατηγορία:Μαθηματική λογική]] [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>o7nyds2lzbe1mv0b2g1rx6ny2ihupty</sha1>
</revision>
</page>
-<page>
<title>Τετράγωνο (άλγεβρα)</title>
<ns>0</ns>
<id>501522</id>
-<revision>
<id>6157183</id>
<timestamp>2016-12-17T10:26:35Z</timestamp>
-<contributor>
<ip>2A02:587:D009:1B00:24:2685:7D79:AD93</ip>
</contributor>
<comment>Νέα σελίδα: {{πηγές|17|12|2016}} Στα [[μαθηματικά]], '''τετράγωνο''' ενός [[αριθμός|αριθμού]] α ονομάζουμε το γινόμενο...</comment>
<model>wikitext</model>
<format>text/x-wiki</format>
<text bytes="534" xml:space="preserve">{{πηγές|17|12|2016}} Στα [[μαθηματικά]], '''τετράγωνο''' ενός [[αριθμός|αριθμού]] α ονομάζουμε το γινόμενο με τον εαυτό του, δηλαδή α × α. Αυτό συμβολίζεται ως α². Π.χ. το τετράγωνο του αριθμού 4 (δηλαδή το γινόμενο με τον εαυτό του) είναι 16. Αυτό γράφεται ως 4 × 4 = 16 ή ως 4² = 16. [[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]]</text>
<sha1>436766c819ku00ga5rsn0kjgaprq0j1</sha1>
</revision>
</page>
</mediawiki>
| |||