Τετραδόνιο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 3:
== Ορισμός ==
Τα τετραδόνια αποτελούν γενικευμένη μορφή των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], που προκύπτουν από την πρόσθεση των βασικών στοιχείων <math>i, j</math> και <math>k</math> σε [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμούς]], όπου τα <math>i, j</math> και <math>k</math>
:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,\,\!</math>
Γραμμή 12:
όπου <math>a, b, c</math> και <math>d</math> είναι πραγματικοί αριθμοί.
Με βάση την προαναφερθείσα σχέση, που ικανοποιούν τα στοιχεία <math>i, j</math> και <math>k</math>, προκύπτουν νέες σχέσεις που ικανοποιούν οι ανά δύο συνδυασμοί γινομένων αυτών των στοιχείων. Για παράδειγμα, αν κανείς πολλαπλασιάσει απ' τα δεξιά και τα δύο μέλη της εξίσωσης {{nowrap|1=−1 = ''ijk''}} με το ''k'', τότε:
:<math>\begin{align}
-k & = i j k k = i j (k^2) = i j (-1), \\
k & = i j.
\end{align}</math>
Με παρόμοιο τρόπο, μπορούν να εξαχθούν σχέσεις για κάθε δυνατό συνδυασμό, που συνοπτικά είναι οι εξής:
:<math>\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j,
\end{alignat}</math>
Οι σχέσεις αυτές μπορούν να εκφραστούν και υπό μορφή ενός πίνακα, του οποίου οι γραμμές αναπαριστούν τον αριστερό και οι στήλες το δεξιό παράγοντα του γινομένου, ως εξής:
{| class="wikitable" ; style="text-align:center"
|-
| '''a b''' || '''a ''1''''' || '''a ''i''''' || '''a ''j''''' || '''a ''k'''''
|-
| '''''1'' b''' || ''1'' || ''i'' || ''j'' || ''k''
|-
| '''''i'' b''' || ''i'' || ''-1'' || ''k'' || ''-j''
|-
| '''''j'' b''' || ''j'' || ''-k'' || ''-1'' || ''i''
|-
| '''''k'' b''' || ''k'' || ''j'' || ''-i'' || ''-1''
|}
==== Μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού ====
Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό των [[πραγματικός αριθμός|πραγματικών]] και των [[πραγματικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], ο πολλαπλασιασμός των τετραδονίων δεν είναι [[αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετικός]]. Για παράδειγμα, {{nowrap|1=''ij'' = ''k''}}, ενώ {{nowrap|1=''ji'' = −''k''}}. Η μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού έχει ορισμένες απροσδόκητες συνέπειες, μεταξύ άλλων το γεγονός ότι οι πολυωνυμικές εξισώσεις σε τετραδόνια, μπορεί να έχουν περισσότερες διακριτές λύσεις από το βαθμό του πολυωνύμου.
Η εξίσωση {{nowrap|1=''z''<sup>2</sup> + 1 = 0}}, για παράδειγμα,
has infinitely many quaternion solutions {{nowrap|1=''z'' = ''bi'' + ''cj'' + ''dk''}} with {{nowrap|1=''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> = 1}}, so that these solutions lie on the two-dimensional surface of a sphere centered on zero in the three-dimensional subspace of quaternions with zero real part. This sphere intersects the complex plane at two points {{mvar|i}} and {{math|−''i''}}.
The fact that quaternion multiplication is not commutative makes the quaternions an often-cited example of a [[Division ring|strictly skew field]].
== Iστορία ==
| |||