Αρχή της απροσδιοριστίας: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Εν αντιθέσει με την [[αρχή της αιτιοκρατίας]], σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία.

'''Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα <math>\Delta x</math> και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα <math>\Delta p</math>, τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του <math>\hbar</math>, όπου <math>\hbar</math> (προφέρεται "h-bar") η ανηγμένη [[Σταθερά_του_Πλανκ|σταθερά του Πλανκ]], <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}</math>. Δηλαδή:'''

:<math>\Delta x\cdot\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}</math>

Ο ίδιος ο Χάιζενμπεργκ εξήγησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των <math>\Delta x</math> και <math>\Delta p</math> δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από τη δομή της [[Ύλη|ύληςύλη]]ς καθεαυτήν. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του [[κυματοσωματιδιακός δυϊσμός|κυματοσωματιδιακού δυϊσμού]] της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων ανάμεσα στους κβαντομηχανικούς [[τελεστής|τελεστές]] θέσης και ορμής.

Θεμελιώδη αποτελέσματα για την απόδειξη των παραπάνω ανισοτήτων είναι αυτά του W. Heisenberg<ref>[http://sci-hub.cc/10.1007/BF01397280 W. Heisenberg, "Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik"]</ref> <ref>[https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19840008978 W. Heisenberg "The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics"]</ref> σχετικά με τους μεταθέτες των τελεστών <math>q,p</math> (θέση <math>x</math> με τον συμβολισμό της αναλυτικής μηχανικής, ορμή) και

και

:<math>\Delta A = \sqrt{\langle A_o^2 \rangle} = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2}</math>

Από κβαντομηχανικής άποψης το <math>A B</math> σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε την μέτρηση του <math>B</math> και μετά του <math>A</math> ενώ <math>BA</math> σημαίνει πρώτα του <math>A</math> και μετά του <math>B</math>. Δηλαδή η σειρά με την οποία γίνεται η μέτρηση ενός τελεστή επί μιας κατάστασης <math>\psi</math>, είναι αυτή με την οποία δρα ο τελεστής στην κατάσταση: <math>BA\psi = B(A\psi) = B\phi</math>. </br />

Λανθασμένα πολλές φορές, γενικεύεται η αρχή της απροδιοριστίας σε φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπως και η [[Θεωρία_της_ΣχετικότηταςΘεωρία της Σχετικότητας|θεωρία της σχετικότητας]], στο σύνολο της ή σπανιότερα σε τμήματά της. Τόσο η αρχή της απροσδιοριστίας, όσο και η θεωρία της σχετικότητας, αναφέρονται σε φαινόμενα που συμβαίνουν σε σχετικά πολύ μικρά μήκη ή πολύ μεγάλες [[ταχύτητα|ταχύτητες]], αντίστοιχα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ισχύ τους να περιορίζεται κατά πολύ μεγάλο βαθμό στην [[Κλασσική_ΦυσικήΚλασσική Φυσική|κλασσική φυσική]], η οποία και περιγράφει τα φαινόμενα που γίνονται αντιληπτά από εμάς καθημερινά. Ειδικότερα για την αρχή της απροσδιοριστίας, αυτό μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό από την μαθηματική έκφρασή της: η σταθερά <math>\hbar</math> έχει πολύ μικρή τιμή (1,054 572 66 × 10^-34−34 ± 66 J·s) συγκρινόμενη με τις αποστάσεις και τις ταχύτητες που μπορούμε να μετρήσουμε πρακτικά έξω από το χώρο του εργαστηρίου.