Βικιπαίδεια

Ορίζουσα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
μ Αντικατάσταση παρωχημένου προτύπου με references tag
Infin1tyGR (συζήτηση | συνεισφορές)
21 επεξεργασίες
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 4:
|msc2010= 65F40
}}
Στην [[γραμμική άλγεβρα]], η '''ορίζουσα''' είναι μια τιμή, η οποία σχετίζεται με ένα τετραγωνικό πίνακα. Μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία του πίνακα σε μια συγκεκριμένη αριθμητική έκφραση, αν και υπάρχουν και άλλοι τρόποι να βρούμε αυτήν την τιμή. Η ορίζουσα παρέχει σημαντικές πληροφορίες όταν ο πίνακας αποτελείται από τους συντελεστές ενός [[σύστημα γραμμικών εξισώσεων|συστήματος γραμμικών εξισώσεων]], ή όταν αντιστοιχεί σε ένα [[Γραμμικός μετασχηματισμός|γραμμικό μετασχηματισμό]] ενός διανυσματικού χώρου. Στην πρώτη περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση ακριβώς όταν η ορίζουσα είναι μη μηδενική, όταν η ορίζουσα είναι μηδέν είτε δεν υπάρχουν λύσεις είτε υπάρχουν πολλές. Στην δεύτερη περίπτωση για τις ίδιες συνθήκες σημαίνει ότι για τον μετασχηματισμό ορίζεται η αντίστροφη πράξη.Για την τιμή της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να δοθεί μια γεωμετρική ερμηνεία: η απόλυτη τιμή της ορίζουσας δίνει την κλίμακα με την οποία το εμβαδόν ή ο όγκος (ή μιας μεγαλύτερης διάστασης αναλογία) πολλαπλασιάζεται με τον σχετικό γραμμικό μετασχηματισμό, ενώ το πρόσημό της δείχνει αν ο μετασχηματισμός διατηρεί τον προσανατολισμό. Έτσι, ένας 2 × 2 πίνακας με ορίζουσα −2, όταν εφαρμόζεται στην περιοχή ενός επιπέδου με πεπερασμένο εμβαδόν, θα μετασχηματιστεί σε μια περιοχή με το διπλάσιο εμβαδόν, ενώ αντιστρέφει τον προσανατολισμό της.
 
 
Ορίζουσες εμφανίζονται σε όλα τα μαθηματικά. Η χρήση των οριζουσών στον [[λογισμός|λογισμό]] συμπεριλαμβάνει την ΙακοβιανήΙακωβιανή ορίζουσα σε κανόνα αντικαταστάσεως για ολοκληρώματα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. χρησιμοποιούνταιΧρησιμοποιούνται για να ορίσουν το [[χαρακτηριστικό πολυώνυμο]] ενός πίνακα, το οποίο είναι ένα ουσιώδες εργαλείο στα προβλήματα [[ιδιοτιμή|ιδιοτιμών]] της γραμμικής άλγεβρας. Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται απλά σαν ένας συμπαγής συμβολισμός για εκφράσεις που διαφορετικά θα ήταν δύσχρηστες στην καταγραφή.
 
 
Γραμμή 18:
 
Παρόλο που συχνότερα χρησιμοποιούνται για πίνακες με στοιχεία [[πραγματικός αριθμός|πραγματικούς]] ή [[μιγαδικός αριθμός|μιγαδικούς αριθμούς]], ο ορισμός της ορίζουσας περιέχει μόνο πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό, έτσι μπορεί να ορισθεί για τετραγωνικούς πίνακες με στοιχεία από οποιοδήποτε [[αντιμεταθετικός δακτύλιος|αντιμεταθετικό δακτύλιο]]. Για παράδειγμα, η ορίζουσα ενός πίνακα με [[ακέραιος|ακεραίους]] συντελεστές θα είναι ένας ακέραιος και ο πίνακας θα έχει έναν αντίστροφο με ακεραίους συντελεστές αν και μόνον αν αυτή η ορίζουσα είναι 1 ή -1
(αυτά είναι τα μόνα [[Δακτύλιος (άλγεβρα)| αντιστρέψιμα]] στοιχεία των ακεραίων). Για τετραγωνικούς πίνακες με στοιχεία από ένα μη-αντιμεταθετικό δακτύλιο, για παράδειγμα οι τετραδικοί αριθμοί, δεν υπάρχει μοναδικός ορισμός για την ορίζουσα ούτε ορισμός που έχει όλες τις συνήθεις ιδιότητες των οριζουσών σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους.
 
 
== Ορισμός ==
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να ορισθεί η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα ''A'', δηλ. ένας πίνακας με τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Πιθανώς ο πιο φυσικός τρόπος είναι να εκφραστεί από την άποψη των στηλών του πίνακα. Αν γράψουμε ένα ''n'' × ''n'' πίνακα υπό την μορφή στηλών διανυσμάτων
 
: <math>A = \begin{bmatrix} a_1, & a_2, & \ldots, & a_n \end{bmatrix}</math>
Γραμμή 136:
Αυτό συμπίπτει με τον κανόνα του Sarrus από την προηγούμενη ενότητα.
 
Η επίσημη γενίκευση για κάθε διάσταση έγινε από τον [[Tullio Levi-Civita]], δείτε επίσης ( [[σύμβολο Levi-Civita ]]) που χρησιμοποιεί ένα σύμβολο ψευδο-[[τανυστής|τανυστή]].
 
==== Σύμβολο Levi-Civita ====
Γραμμή 156:
 
Μερικές επιπρόσθετες ιδιότητες που σχετίζονται με την επίδραση της αλλαγής συγκεκριμένων γραμμών ή στηλών στην ορίζουσα:
#<li value="7">Βλέποντας ένα ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' πίνακα ως αποτελούμενο από ''n'' στήλες, η ορίζουσα είναι μία ''n''-γραμμική συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι αν μια στήλη του πίνακα ''A'' είναι γραμμένη σαν άθροισμα ''v'' + ''w'' δύο διανυσμάτων στηλών, και όλες οι άλλες στήλες παραμένουν αναλλοίωτες, έτσι η ορίζουσα του ''Α'' είναι το άθροισμα οριζουσών των πινάκων που δημιουργούνται από τον πίνακα ''Α'' αντικαθιστώντας με το ''v'' και το ''w'' αντίστοιχα (και μια όμοια σχέση ισχύει όταν μια στήλη γράφεται σαν βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος στήλης).
#Αυτή η ''n''-γραμμική συνάρτηση είναι μια εναλλασσόμενη μορφή. Αυτό σημαίνει ότι όποτε δύο στήλες του πίνακα είναι ταυτόσημες ή γενικότερα κάποια στήλη μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός των άλλων στηλών (δηλ. οι στήλες ενός πίνακα σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτημένο σύνολο), η ορίζουσά του είναι 0.
 
Γραμμή 208:
:<math>\det (A^{-1}) = \frac 1 {\det (A)}.</math>
 
Ειδικότερα, τα γινόμενα και οι αντίστροφοι πινάκων με ορίζουσα ένα εξακολουθούν να έχουν αυτή την ιδιότητα. Έτσι, το σύνολο τέτοιων πινάκων(σταθερού μεγέθους ''n'') σχηματίζουν μια ομάδα γνωστή ως [[ειδική γραμμική ομάδα]]. Γενικότερα, η λέξη "ειδική" υποδηλώνει την υποομάδα μιας άλλης [[ομάδα πινάκων|ομάδας πινάκων]] από πίνακες με ορίζουσα ένα. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν την ειδική ορθογώνια ομάδα(όπου αν το ''n'' είναι 2 ή 3 αποτελείται από όλες τις περιστροφές πινάκων]]), και η ειδική ενιαία ομάδα.
 
===Ο τύπος του Laplace και ο προσαρτημένος πίνακας===
Ο [[τύπος του Laplace]] εκφράζει την ορίζουσα ενός πίνακα με ελάσσονες ορίζουσες. Η ελασσονελάσσων ορίζουσα ''M''<sub>''i'',''j''</sub> ορίζεται να είναι η ορίζουσα του (''n''−1)&nbsp;×&nbsp;(''n''−1)-πίνακα που προκύπτει από τον ''Α'' διαγράφοντας την ''i'' γραμμή και την ''j'' στήλη. Η έκφραση (−1)<sup>''i''+''j''</sup>''M''<sub>''i'',''j''</sub> είναι γνωστή ως [[συμπαράγοντας(γραμμική άλγεβρα)|συμπαράγοντας]]. ηΗ ορίζουσα ενός ''Α'' δίνεται από
 
:<math>\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}.</math>
Γραμμή 248:
όπου ''I''<sub>''m''</sub> και ''I''<sub>''n''</sub> είναι ο ''m''&nbsp;×&nbsp;''m'' και ο ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' μοναδιαίος πίνακας, αντίστοιχα.
 
Από αυτό το γενικό αποτέλεσμα απορρέουν διάφορες συνέπειες.
 
:(α)Για την περίπτωση ενός διανύσματος-στήλης ''c'' και ενός διανύσματος-γραμμής ''r'', το καθένα με ''m'' στοιχεία, ο τύπος επιτρέπει τον γρήγορο υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα που διαφέρει από τον μοναδιαίο πίνακα κατά ένα πίνακα τάξης 1:
Γραμμή 266:
:<math>\det(A - xI) = 0, \,</math>
 
όπου ''I'' είναι ο μοναδιαίος πίνακας της ίδιας διάστασης με τον ''A''. Αντίστροφα, det(''A'') είναι το γινόμενο των [[ιδιοδιανύσματα|ιδιοτιμών]] του ''A'', μετρώντας τις [[αλγεβρική πολλαπλότητα|αλγεβρικές πολλαπλότητες]]. Το γινόμενο όλων των μη μηδενικών ιδιοτιμών αναφέρεται σαν [[ψευδο-ορίζουσα]].
 
Ένα [[Ερμιτιανός πίνακας]] είναι [[θετικά ορισμένος πίνακας|θετικά ορισμένος]] αν όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές. Το [[κριτήριο του Sylvester]] ισχυρίζεται ότι είναι ισοδύναμο με το να είναι θετικές οι ορίζουσες των υποπινάκων
Γραμμή 556:
\end{array}
\right|=\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(x_1+\omega x_2+\omega ^2x_3\right)\left(x_1+\omega ^2x_2+\omega x_3\right),</math>
όπου ω και ω<sup>2</sup> είναι οι μιγαδικές κυβικές ρίζες του 1. Γενικά, η ''n''οστής τάξης κυκλοτερής ορίζουσα είναι<ref name = "Gradshteyn"/>
:<math>\left|
\begin{array}{ccccc}
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Ορίζουσα"