Σρινιβάσα Ραμανούτζαν: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

O ''' Σρινιβάσα Ραμανούτζαν''' [[FRS]], ([[αγγλικά|αγγλ.]] Srinivasa Ramanujan, [[22 Δεκεμβρίου]] [[1887]]{{spaced ndash}}[[26 Απριλίου]] [[1920]]) ήταν Ινδός [[μαθηματικός]] και παρότι αυτοδίδακτος με σχεδόν καθόλου εκπαίδευση στα [[καθαρά μαθηματικά]], είχε αξιοσημείωτη συνεισφορά στη [[μαθηματική ανάλυση]], στη [[θεωρία αριθμών]], στις [[Σειρά|απειροστικές σειρές]] και στα [[Συνεχή Κλάσματα|συνεχή κλάσματα]]. Έζησε στην Ινδία αποκομμένος από την μαθηματική κοινότητα της εποχής, που ήταν ανεπτυγμένη κυρίως στην Ευρώπη, με αποτέλεσμα να εξελίσσει τηντη μαθηματική του έρευνα απομονωμένος. Ως συνέπεια αυτού, πέρα από την παραγωγή καινούργιου υλικού, ανακάλυψε ξανά θεωρήματα που ήταν ήδη γνωστά. Αυτό οδήγησε τον Άγγλο μαθηματικό [[Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι]] να τον χαρακτηρίσει φυσική διάνοια, της ίδιας κλάσης με μαθηματικούς όπως ο [[Νεύτωνας]] και ο [[Αρχιμήδης]], ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] και ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκάους]].<ref>Σ.Π. Σνόου, από τον πρόλογο στο [http://www.cup.gr/ViewShopProduct.aspx?ProductId=264437&LangId=1 ''Η Απολογία ενός Μαθηματικού''], Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2006</ref>

Ο Ραμανούτζαν γεννήθηκε στο Ερόντε, στην Ομόσπονδη Πολιτεία ΜανδράςΜαντράς (σημερινή επαρχία [[Ταμίλ Ναντού]]) σε μια οικογένεια που ανήκε στην [[κάστα]] των [[Βραχμάνος|Βραχμάνων]] και στον λαό των [[Ταμίλ (λαός)|Ταμίλ]] <ref>{{cite news|title=Ramanujan lost and found: a 1905 letter from The Hindu|url=http://www.thehindu.com/arts/history-and-culture/ramanujan-lost-and-found-a-1905-letter-from-the-hindu/article2745164.ece|date=December 25, 2011 | location=Chennai, India}}</ref><ref>[http://www.3quarksdaily.com/3quarksdaily/2011/01/the-use-and-misuse-of-srinivasa-ramanujan.html 3quarksdaily: The use and misuse of Srinivasa Ramanujan<!-- Bot generated title -->]</ref><ref>[http://mathsc.tripod.com/ramanujan/sramanujan.htm Srinivasa Ramanujam<!-- Bot generated title -->]</ref>

Η πρώτη του επαφή με τα [[μαθηματικά]] έγινε στην ηλικία των 10 ετών. Επέδειξε φυσική δεξιότητα στο αντικείμενο και του δόθηκαν βιβλία προχωρημένης [[τριγωνομετρία]]ς, το περιεχόμενο των οποίων κατείχε απόλυτα στην ηλικία των 12 ετών. Κατάφερε ακόμη και να ανακαλύψει δικά του [[θεώρημα|θεωρήματα]] καθώς και ανακάλυψε ξανά, μόνος του, την [[Ταυτότητα του Όιλερ]]. Στο σχολείο επέδειξε ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες, κερδίζοντας επαίνους και βραβεία. Στην ηλικία των 17 ετών ο Ραμανούτζαν είχε ήδη διεξάγει την προσωπική του έρευνα σχετικά με τους [[Αριθμοί Μπερνούλι|Αριθμούς ΜπερνουλίΜπερνούλι]] και την [[Αριθμός e (μαθηματικά)|σταθερά των Όιλερ-Μασερόνι]].

Το 1912 και το 1913 έστειλε κάποια από τα θεωρήματα του σε τρεις ακαδημαϊκούς στο [[Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ]]. Ο [[Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι]], αναγνωρίζοντας το υψηλό επίπεδο της δουλειάς του, προσκάλεσε τον Ραμανούτζαν να τον επισκεφθεί και να συνεργαστούνε στο [[Κέμπριτζ]].

Στην διάρκεια της ζωής του ο Ραμανούτζαν απέκτησε τους τίτλους του Εταίρου [[FRS|Έταιρου της Βασιλικής Εταιρίας]] καθώς και του Εταίρου του κολεγίουΚολεγίου Τρίνιτι στο Κέμπριτζ. Απεβίωσε το 1920, μόλις στην ηλικία των 32 ετών ταλαιπωρημένος από αρρώστιες, υποσιτισμό και πιθανόν υποφέροντας από μόλυνση στο συκώτι.

Στην διάρκεια της σύντομής του ζωής, ο Ραμανούτζαν κατάφερε να αφήσει έργο που απαριθμεί σχεδόν 3900 αποτελέσματα, κυρίως [[Ταυτότητα (μαθηματικά)|ταυτότητες]] και [[Εξίσωση|εξισώσεις]].<ref>{{Cite book|last=Berndt |first=Bruce C. |title= Ramanujan's Notebooks Part V|year= 2005 |publisher= Εκδόσεις SpringerLink |isbn= 0-387-94941-0 | pages=4}}</ref> Αν και ένας μικρός αριθμός από τα αποτελέσματα αυτά ήταν εσφαλμένα και μερικά ήδη γνωστά, οι περισσότερες από τις εργασίες του αποδείχθηκαν ορθές.<ref>{{Cite journal|year=1999 |month=August |title=Rediscovering Ramanujan |journal= Περιοδικό Frontline|volume=16 |issue=17 |pages=650|url=http://www.hinduonnet.com/fline/fl1617/16170810.htm |accessdate=2007-06-23 }}</ref>

Διατύπωσε συμπεράσματά του ήταν τόσο πρωτότυπα όσο και ιδιαίτερα αντισυμβατικά, όπως οι [[πρώτοι αριθμοί Ραμανούτζαν|Πρώτοι Αριθμοί Ραμανούτζαν]] και η [[συναρτήση θήτα Ραμανούτζαν|Συναρτήση Θήτα Ραμανούτζαν]], και ενέπνευσαν έναν τεράστιο αριθμό περαιτέρω ερευνών.<ref>{{Cite journal|last=Ono |first= Ken|authorlink=Ken Ono |year=2006 |month=June–July |title=Honoring a Gift from Kumbakonam |journal= Περιοδικό Notices of the American Mathematical Society|volume=53 |issue=6 |pages=650|url=http://www.ams.org/notices/200606/fea-ono.pdf |format=PDF|accessdate=2007-06-23 |doi=10.2307/2589114 |last2=Rankin |first2=Robert A. |jstor=10.2307/2589114 |publisher=Mathematical Association of America }}</ref> Είναι χαρακτηριστικό πως μερικές από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις του άργησαν πολύ να ενταχθούν στο ρεύμα των σύγχρονων μαθηματικών.

Ο Ραμανούτζαν γεννήθηκε στις 22 Δεκεμβρίου 1887 στην πόλη Έροουντ (Erode), [[Προεδρία του Μάντρας|Προεδρία του Μαντράς]] (τώρα [[Παλιπαλαγιάμ]], [[Ερόουντ]], [[Ταμίλ Ναντού]]), και ζούσε στην κατοικία των παππούδων του.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=11}}</ref> Ο πατέρας του, K. Σρινιβάσα Ιγιενκάρ, εργαζόταν σαν υπάλληλος σε ένα μαγαζί που πωλούσε υφάσματα και καταγόταν από την [[Tανζαβούρ]].<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=17–18}}</ref> Η μητέρα του, Kομαλαταμάλ, ασχολούταν με τα οικιακά και παράλληλα ήταν ψάλτης σε ένα τοπικό ναό.<ref name="ramanujan_essays_p89">{{Harvnb|Berndt|Rankin|2001|p=89}}</ref> Έμεναν στην οδό Σαρανγκαπάνι σε ένα παραδοσιακό σπίτι της πόλης Κουμπακόναμ. To πατρικό του σπίτι είναι τώρα μουσείο. Όταν ο Ραμανούτζαν ήταν ενός και μισού έτους, η μητέρα του γέννησε ένα αγόρι με το όνομα Σανταγκόπαν, το οποίο πέθανε σε χρονικό διάστημα μικρότερο των τριών μηνών από τη γέννησή του. Τον Δεκέμβριο του 1889, ο Ραμανούτζαν αρρώστησε με [[ευλογιά]] αλλά ανάρρωσε, σε αντίθεση με χιλιάδες άτομα στην περιοχή της Τανζαβούρ τα οποία κατέληξαν από την ασθένεια εκείνο το χρόνο.<ref name="p12">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=12}}</ref> Στην πορεία, μετακόμισε με την μητέρα του στο σπίτι των γονιών της στο [[Kαντσιπούραμ]], κοντά στο ΜάντραςΜαντράς (τώρα [[Τσενάι]]). Τον Νοέμβριο του 1891, καθώς και το 1894, η μητέρα του γέννησε δύο παιδιά, τα οποία πέθαναν σε νηπιακή ηλικία.

ΣτηΤην 11η Οκτωβρίου 1892, ο Ραμανούτζαν γράφτηκε στο τοπικό σχολείο.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=13}}</ref> Τον Μάρτιο του 1894, μεταφέρθηκε σε ένα ξενόγλωσσο σχολείο. Όμως, μετά την απόλυση του παππού του ως δικαστικού υπαλλήλου στο Καντσιπούραμ<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=19}}</ref>, ο Ραμανούτζαν επέστρεψε στο [[Κουμπακόναμ]] μαζί με την μητέρα του και γράφτηκε στο δημοτικό σχολείο του Κανκάγιαν.<ref name="p14">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=14}}</ref> Μετά το θάνατο του παππού του από την πλευρά του πατέρα του, επιστέφει στους παππούδες του από την πλευρά της μητέρας του, οι οποίοι ζούσαν τότε στο ΜάντραςΜαντράς. Δεν του άρεσε το σχολείο στο ΜάντραςΜαντράς και το απέφευγε έντονα. H οικογένεια του επιστράτευσε ένα τοπικό αστυφύλακα για να διαβεβαιώσει ότι πήγαινε στο σχολείο. Μετά από έξι μήνες ο Ραμανούτζαν επέστρεψε στο Κουμπακόναμ.<ref name="p14"/>

Στην ηλικία των 11, είχε ξεπεράσει σε μαθηματικές γνώσεις δύο ενοικιαστές του σπιτιού του, οι οποίοι ήταν φοιτητές. Στην πορεία δανείστηκε ένα βιβλίο με θέμα την ανώτερη τριγωνομετρία γραμμένο από τον [[Σ. Λ. Λόνι]]. Κατανόησε σε βάθος αυτό το βιβλίο στην ηλικία των 13, όπου έφτιαξε και δικά του θεωρήματα πάνω σε αυτό. Στα 14, είχε κερδίσει αξιόλογα βραβεία και διακρίσεις, οι οποίες συνεχίστηκαν σε όλα τα μαθητικά του χρόνια. Μάλιστα, αφού το σχολείο του είχε μόνο 35 καθηγητές και 1200 μαθητές, βοηθούσε τους πρώτους στη διδασκαλία.<ref name="p27">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=27}}</ref> Ολοκλήρωσε τις εξετάσεις του στα μαθηματικά στο μισό προαπαιτούμενο χρόνο και επέδειξε μεγάλη οικειότητα με τηντη [[γεωμετρία]] και τις [[άπειρες σειρές]]. Ο Ραμανούτζαν διδάχθηκε πως να λύνει της κυβικές εξισώσεις το 1902 και κατάφερε να βρει το δικό του σωστό τρόπο για να επιλύει τις τεταρτοβάθμιες. Τον επόμενο χρόνο, χωρίς να ξέρει ότι οι πεμπτοβάθμιες δε λύνονται με τη βοήθεια ριζών, προσπάθησε (και φυσικά απέτυχε) να τις λύσει.

Το 1903 όταν ήταν 16 ετών, ο Ραμανούτζαν προμηθεύτηκε από ένα φίλο ένα αντίτυπο του βιβλίου του [[Γ. Σ. Καρ]].<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=39}}</ref><ref>''Το Α και το Ω των μαθηματικών'' από Τάκερ Μακελρόι2005 ISBN 0-8160-5338-3 page 221</ref> Ο τίτλος του οποίου ήταν ''[[Synopsis of Pure Mathematics|Μια σύνοψη των στοιχειωδών αποτελεσμάτων στα Θεωρητικά και Εφαρμοσμένα Μαθηματικά]]'' και ήταν μια συλλογή 5000 θεωρημάτων. Ο Ραμανούτζαν μελέτησε το βιβλίο σε βάθος.<ref name=papers /> Αυτό το βιβλίο φημολογείται ότι ήταν ο λόγος που ξεδιπλώθηκε η ιδιοφυΐα του.<ref name="papers ">''Collected papers of Srinivasa Ramanujan'' Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy, P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar 2000 ISBN 0-8218-2076-1 page xii</ref> Tον επόμενο χρόνο, είχε αναπτύξει και ερευνήσει τους [[Αριθμούς Μπερνούλι]] και είχε υπολογίσει τη [[σταθερά του Όιλερ-Μασερόνι]] σε 15 δεκαδικά ψηφία.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=90}}</ref> Οι συνομήλικοι του υποστήριζαν ότι "σπάνια τον καταλάβαιναν" και ότι συχνά "έμεναν έκθαμβοι" από το θαυμασμό τους.<ref name="p27"/>

Όταν αποφοίτησε από το Γυμνάσιο [[Τάουν Χάιερ]] το 1904, ο Ραμανούτζαν βραβεύθηκε με το βραβείο Κ. Ρανγκανάθα Ράο για τα μαθηματικά από τον διευθυντή του, Κρισνασουάμι Άιερ. Ο Άιερ τον εκφώνησε ως έναν εξέχοντα μαθητή ο οποίος άξιζε υψηλότερες από τις μέγιστες δυνατές βαθμολογίες.<ref name="p27"/> Κέρδισε μια υποτροφία για να σπουδάσει στο [[Κρατικό Κολέγιο Τέχνης, Κουμπακόναμ]].<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=28}}</ref><ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=45}}</ref> Παρόλα αυτά, ο Ραμανούτζαν ήταν τόσο επίμονος με τη μελέτη των μαθηματικών, έτσι ώστε να μην μπορεί να εστιάσει και στα άλλα μαθήματα, στα περισσότερα εκ των οποίων απέτυχε, και έχασε την υποτροφία του.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=47}}</ref> Τον Αύγουστο του 1905, έφυγε από το σπίτι του, κατευθυνόμενος στο Βισακχαπάτναμ και έμεινε στο Ρατζαχμούντρι <ref>{{cite news| url=http://www.thehindu.com/arts/history-and-culture/ramanujan-lost-and-found-a-1905-letter-from-the-hindu/article2745164.ece | location=Chennai, India | work=The Hindu | title=Ramanujan lost and found: a 1905 letter from ''The Hindu'' | date=25 December 2011}}</ref> για περίπου ένα μήνα.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=48–49}}</ref> Στη συνέχεια γράφτηκε στο Κολέγιο Πατσαϊγιάπα στο ΜάντραςΜαντράς. Εκεί, πάλι αρίστευσε στα μαθηματικά αλλά είχε χαμηλές επιδόσεις σε άλλα μαθήματα όπως η φυσιολογία. Ο Ραμανούτζαν απέτυχε τις εξετάσεις για τη σχολή Τεχνών τον Δεκέμβριο του 1906 και ξανά τον επόμενο χρόνο. Χωρίς πτυχίο, έφυγε από το πανεπιστήμιο, συνεχίζονταν να διεξάγει ανεξάρτητη έρευνα πάνω στα μαθηματικά. Σε αυτή την περίοδο της ζωής του ζούσε σε μεγάλο επίπεδο φτώχειας και συχνά ήταν στα όρια της λιμοκτονίας.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=55–56}}</ref>

Μετά τοτον γάμο, ο Ραμανούτζαν παρουσίασε ένα οίδημα στους όρχεις.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=72}}</ref> Η μόλυνση αυτή μπορούσε να θεραπευτεί με μία εγχείρηση ρουτίνας, όμως η οικογένειά του δεν διέθετε τα απαραίτητα χρήματα. Παρόλα αυτά τον Ιανουάριο του 1910 ένας γιατρός ανέλαβε την εγχείρηση δωρεάν.<ref>{{Cite book|last=Ramanujan|first=Srinivasa|editor = P. K. Srinivasan |title= Ramanujan Memorial Number: Letters and Reminiscences |year= 1968|publisher= Muthialpet High School |location=Madras|isbn= | pages=Vol. 1, p100 |nopp=true}}</ref>

Στα τέλη του 1910, ο Ραμανούτζαν αρρώστησε ξανά, πιθανώς λόγω της εγχείρησης που υποβλήθηκε τον προηγούμενο χρόνο. Φοβόταν για τη ζωή του τόσο, που είπε στον φίλο του Ρ. Ραντακρίσνα Άιερ να "δώσει αυτά" (τα τετράδια του Ραμανούτζαν) στον καθηγητή Σινγκαραβέλου Μουνταλιάερ (ο καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Πασαγιάπα) ή στον Βρετανό καθηγητή Έντουαρντ Β. Ρος, από το "[[Χριστιανικό Κολέγιο του Μάντρας|Χριστιανικό Κολέγιο του Μαντράς]]."<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=74–75}}</ref> Αφότου ο Ραμανούτζαν ανάρρωσε και πήρε πίσω τα τετράδιατετράδιά του από τον Άιερ , επιβιβάστηκε σε ένα τραίνο από το Κουμπακόναμ προς την πόλη Βιλουπούραμ, η οποία είναι μια παραλιακή πόλη κάτω από τηυπό Γαλλική κατοχή.<ref>{{Cite book |last=Ranganathan |first=Shiyali Ramamrita |authorlink=Shiyali Ramamrita Ranganathan |title=Ramanujan: The Man and the Mathematician |year=1967 |publisher=[[Asia Publishing House]] |location=Bombay |isbn= |ref=harv |url=http://books.google.com/?id=OuTuAAAAMAAJ }}, p.&nbsp;23.</ref><ref>Srinivasan (1968), Vol. 1, p99.</ref>

Ο Ραμασουάμι Άιερ σύστησε δια αλληλογραφίας τον Ραμανούτζαν στους φίλους του μαθηματικούς στο ΜάντραςΜαντράς.<ref name="p77"/> Κάποιοι από αυτούς είδαν το έργο του και του έδωσαν συστατικές επιστολές για τον [[Ρ. Ραμαχάντρα Ράο]], τον αναπληρωτή καθηγητή του Νέλορ και τον γενικό γραμματέα της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας.<ref>Srinivasan (1968), Vol. 1, p86.</ref><ref>{{Cite journal|last=Neville |first=Eric Harold |date=January 1921 |title=The Late Srinivasa Ramanujan |journal=[[Nature (journal)|Nature]]|volume=106 |issue=2673 |pages=661–662 |doi=10.1038/106661b0 |bibcode = 1921Natur.106..661N|ref=harv }}</ref><ref>{{Harvnb|Ranganathan|1967|p=24}}</ref> Ο Ραμαχάντρα Ράο ενθουσιάστηκε από το έργο του Ραμανούτζαν αν και αμφέβαλε ότι ήταν δικό του. O Ραμανούτζαν αναφέρθηκε στην αλληλογραφία του με τον καθηγητή Σαλντχάνα, έναν αξιόλογο μαθηματικό, στην οποία ο Σαλντχάνα εξέφραζε το γεγονός ότι δεν καταλάβαινε πλήρως το έργο του,αλλά κατέληγε στο συμπέρασμα ότι δεν ήταν ψεύτικο.<ref name="p80">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=80}}</ref> Ο φίλος του Ραμανούτζαν, Σ. Β. Ρατζαγκοπαλαχάρι, συμφωνούσε με τον Ραμαχάντρα Ράο και προσπαθούσε να δαμάσει τις αμφιβολίες για την ακαδημαϊκή ακεραιότητα του Ραμανούτζαν. Ο Ράο συμφώνησε να του δώσει μια ακόμη ευκαιρία, και άκουσε τις θεωρίες του Ραμανούτζαν για τα [[ελλειπτικά ολοκληρώματα]], [[τις υπεργεωμετρικές σειρές του Γκάους]], και την θεωρία του για τις [[αποκλίνουσες σειρές]], οι οποίες έπεισαν τον Ράο για τη μαθηματική ιδιοφυΐα του Ραμανούτζαν.<ref name="p80"/> Όταν ο Ράο τον ρώτησε τι χρειαζόταν, ο Ραμανούτζαν απάντησε ότι ήθελε μια θέση εργασίας και οικονομική ενίσχυση. O Ράο συμφώνησε και τον έστειλε στο ΜάντραςΜαντράς. Εκεί συνέχισε την μαθηματική του έρευνα με την οικονομική βοήθεια του Ράο. Ο Ραμανούτζαν με την βοήθεια του Ραμασουάμι Άιερ, δημοσίευσε το έργο του στο "Περιοδικό της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας".<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=86}}</ref>

Θα δειχθεί ότι εάν ο ''n'' είναι ζυγός αριθμός διάφορος του μηδενός,<br>

Ο Ραμανούτζαν έγραψε αργότερα ένα άρθρο μέσω του οποίου συνέχισε να θέτει προβλήματα στο ''Περιοδικό''.<ref>Neville (March 1942), p292.</ref> Στις αρχές του 1912, είχε μια προσωρινή εργασία στο γραφείο του [[Γενικού Λογιστή]] του ΜάντραςΜαντράς, με μισθό 20 ρουπίες το μήνα. Έμεινε εκεί για μερικές μόνο εβδομάδες.<ref>Srinivasan (1968), p176.</ref> Αμέσως μετά την εργασία αυτή αιτήθηκε για μια θέση στο γραφείο του προϊστάμενου του λογιστηρίου του λιμανιού του ΜάντραςΜαντράς. Σε ένα γράμμα που χρονολογείται στις 9 Φεβρουαρίου 1912, γράφει:

Τον Φεβρουάριο του 1913, ο Χάρντι έγραψε ένα γράμμα στον Ραμανούτζαν, στο οποίο εξέφραζε το ενδιαφέρον του για τις μελέτες του. Ο Χάρντι, επίσης, πρόσθεσε ότι "είναι απαραίτητο να δοθούν και κάποιες αποδείξεις στους ισχυρισμούς".<ref>Letter, Hardy to Ramanujan, 8 February 1913.</ref> Πριν ακόμα να φτάσει το γράμμα του στο ΜάντραςΜαντράς, την τρίτη εβδομάδα του Φεβρουαρίου, ο Χάρντι επικοινώνησε με τις Ινδικές Αρχές για να κανονίσει ένα ταξίδι για τον Ραμανούτζαν στο Κέιμπριτζ. Ο γραμματέας της συμβουλευτικής επιτροπής για τους Ινδούς φοιτητές, Άρθουρ Ντέιβις, συνάντησε τον Ραμανούτζαν για να συζητήσουν για το υπερπόντιο ταξίδι του.<ref>Letter, Ramanujan to Hardy, 22 January 1914.</ref> Όμως, σύμφωνα με την Βραχμανική παιδεία του, ο Ραμανούτζαν αρνήθηκε να φύγει από την πατρίδα του για να πάει σε μια "ξένη χώρα".<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=185}}</ref> Εν τω μεταξύ, ο Ραμανούτζαν έστειλε ένα γράμμα με θεωρήματα στον Χάρντι, στο οποίο ανέφερε για τον Χάρντι "Έχω βρει ένα φίλο σε σας, ο οποίος βλέπει με ενδιαφέρον το έργο μου."<ref>Letter, Ramanujan to Hardy, 27 February 1913, [[Cambridge University Library]].</ref>

Συμπληρωματικά με την οπισθογράφηση του Χάρντι, ένας πρώην λέκτορας μαθηματικών στο [[Τρίνιτι Κόλετζ, Κέιμπριτζ]], [[Γκίλμπερτ Γουόλκερ]], είδε το έργο του Ραμανούτζαν και εξέφρασε τον θαυμασμό του, παροτρύνοντας τον να πάει στο Κέιμπριτζ.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=175}}</ref> Ως αποτέλεσμα της οπισθογράφησης του Γουόλκερ, ο B. Χανουμάνθα Ραο, ένας καθηγητής μαθηματικών σε σχολή μηχανικών, προσκάλεσε τον συνάδελφο του Ραμανούτζαν, Ναραγιάνα Άιερ, σε μια συζήτηση με θέμα "τι μπορούμε να κάνουμε με τον Σ. Ραμανούτζαν".<ref>{{Cite book|last=Ram|first=Suresh |title= Srinivasa Ramanujan |year= 1972|publisher= National Book Trust |location=New Delhi|isbn= | page=29}}</ref> Η απόφαση που πήρανε ήταν να δώσουν μια υποτροφία στον Ραμανούτζαν αξίας 75 ρουπίες το μήνα για δύο χρόνια στο πανεπιστήμιο του ΜάντραςΜαντράς.<ref>{{Harvnb|Ranganathan|1967|pp=30–31}}</ref> Ενόσω ο Ραμανούτζαν ήταν απασχολημένος ως φοιτητής, συνέχισε να στέλνει τις μελέτες του στο "Περιοδικό της Μαθηματικής Εταιρείας της Ινδίας".

Όμως, ο Χάρντι απογοητεύτηκε από την απόφαση του Ραμανούτζαν να μην ταξιδέψει στην Αγγλία. Για αυτό επιστράτεψε ένα συνάδελφο του, λέκτορα στο ΜάντραςΜαντράς, E. Χ. Nεβίλ, να μεταπείσει τον Ραμανούτζαν.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=184}}</ref> Ο Νεβίλ ρώτησε τον Ραμανούτζαν το λόγο για τον οποίο δε θέλει να επισκεφθεί το Κέιμπριτζ. Μέχρι τότε, ο Ραμανούτζαν είχε όμως δεχθεί την πρόταση καθώς η αρχική διστακτική θέση των γονιών του άλλαξε. Ο Ραμανούτζαν τότε έπλευσε για την Αγγλία, αφήνοντας τη γυναίκα του πίσω με τους γονείς του στην Ινδία.

Ο Ραμανούτζαν επιβιβάστηκε στο πλοίο "Νεβάσα" στις 17 Μαρτίου 1914, το οποίο αναχώρησε στις 10 η ώρα το πρωί από το ΜάντραςΜαντράς.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=196}}</ref> Έφτασε στο Λονδίνο στις 14 Απριλίου, όπου και τον περίμενε με ένα αμάξι ο Ε. Χ. Νεβίλ. Μετά από τέσσερις ημέρες, ο Νεβίλ τον φιλοξένησε στο σπίτι του στο δρόμο Τσέστερτον στο Κέιμπριτζ. Ο Ραμανούτζαν ξεκίνησε αμέσως να εργάζεται με τους Λίτλγουντ και Χάρντι. Μετά από έξι εβδομάδες, ο Ραμανούτζαν έφυγε από το σπίτι του Νεβίλ και μετακόμισε το Φίουελ Κορτ, με απόσταση μόνο πέντε λεπτών από το δωμάτιο του Χάρντι.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=202}}</ref> Ο Χάρντι και ο Ραμανούτζαν ξεκίνησαν να μελετούν τα τετράδια του Ραμανούτζαν. Ο Χάρντι είχε ήδη παραλάβει 120 θεωρήματα από τον Ραμανούτζαν στα πρώτα δύο γράμματα της αλληλογραφίας τους, αλλά υπήρχαν πολλά περισσότερα πορίσματα και θεωρήματα για να βγουν στο φως μέσα στα τετράδια του Ραμανούτζαν. Ο Χάρντι αναγνώρισε ότι μερικά από αυτά ήταν λάθος, άλλα είχαν ήδη εκφραστεί, ενώ μερικά από αυτά ήταν καινοτομίες.<ref>{{Cite book|last=Hardy |first=G. H. |title= Ramanujan|year= 1940 |publisher= [[Cambridge University Press]] |location=Cambridge|isbn=| page=10}}</ref> Ο Ραμανούτζαν είχε κερδίσει την εκτίμηση του Χάρντι και του Λίτλγουντ. Ο Λίτλγουντ σχολίασε, "Πιστεύω ότι είναι τουλάχιστον ένας [[Καρλ Γιακόμπι|ΓιακομπιΤζακόμπι]]",<ref>Letter, Littlewood to Hardy, early March 1913.</ref> καθώς και ο Χάρντι δήλωσε ότι μπορεί να τον συγκρίνει μόνο με τον Όιλερ και τον ΓιακομπιΤζακόμπι."<ref>{{Cite book|last=Hardy |first=G. H. |title= Collected Papers of G. H. Hardy|year= 1979 |publisher= [[Oxford University Press|Clarendon Press]] |location=Oxford, England|isbn=| pages=Vol. 7, p720 |nopp=true}}</ref>

Στον Ραμανούτζαν απονεμήθηκε πτυχίο Θετικών επιστημών (το πτυχίο αυτό αργότερα μετονομάστηκε σε διδακτορικό "phD")τον Μάρτιο του 1916 για την δουλειά του πάνω στους [[ιδιαίτερα σύνθετους αριθμούς]], το πρώτο μέρος της οποίας έχει δημοσιευθεί σαν εργασία στη Μαθηματική Εταιρία του Λονδίνου. Αυτή η εργασία αποτελούταν από 50 σελίδες όπου αποδείκνυε διαφορετικές ιδιότητες αυτών των αριθμών. Ο Χάρντι υποστήριξε ότι η εργασία αυτή ήταν μια από τις πιο ασυνήθιστες για την εποχή όσον αφορά την μαθηματική έρευνα και ότι ο Ραμανούτζαν έδειξε τρομερή οξύνοια συγγράφοντάς την.{{Citation needed|date=October 2012}} Στις 6 Δεκεμβρίου 1917, εκλέχθηκε μέλος της Μαθηματικής Εταιρίας του Λονδίνου. Έγινε μέλος της Βασιλικής Εταιρίας το 1918, όντας ο δεύτερος Ινδός με αυτή την ιδιότητα, μετά τον [[Ardaseer Cursetjee]] το 1841, και ήταν ένας από τα νεότερα μέλη της ιστορίας της Βασιλικής Εταιρίας. Εκλέχθηκε για τη συνεισφορά του στις "[[Ελλειπτικές Συναρτήσεις]] και για την Θεωρία Αριθμών." Τον Οκτώβριο του 1918, ήταν ο πρώτος Ινδός που εκλέχθηκε στο Tρίνιτι Κόλετζ του Κέιμπριτζ.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=299–300}}</ref>

Μια από τις πιο αξιοσημείωτες ικανότητες του Ραμανούτζαν ήταν η ταχύτατη λύση προβλημάτων. Μοιραζόταν ένα δωμάτιο με τον Ινδό στατιστικολόγο [[Μαχαλανομπις|Π.Τ. Μαχαλανομπι]] ο οποίος προσπαθούσε να λύσει το εξής πρόβλημα: «Φανταστείτε πως βρίσκεστε σε έναν δρόμο με σπίτια αριθμημένα από 1 εως ν. Υπάρχει κάποιο σπίτι ανάμεσα (x) τέτοιο ώστε το άθροισμα των σπιτιών αριστερά του, να ισούται με το άθροισμα των σπιτιών δεξιά του. Αν το ν είναι ανάμεσα στο 50 και το 500, ποια είναι τα ν και x;». Αυτό είναι ένα πρόβλημα δύο μεταβλητών με πολλές λύσεις.

Για κάθε <math>\theta</math>, όπου <math>\Gamma(z)</math> είναι η [[Συνάρτηση γάμμα|Συνάρτηση Γάμμα]]. Επεκτείνοντας σε σειρές δυνάμεων και εξισώνοντας τους συντελεστές των <math>\theta^0</math>, <math>\theta^4</math>, και <math>\theta^8</math> παίρνουμε σημαντικές ιδιότητες της [[Υπερβολικές συναρτήσεις|Υπερβολικής τέμνουσας]] ([[αγγλικά|αγγλ.]] Hyperbolic Secant).

Ενώ ακόμη βρισκόταν στο ΜάντραςΜαντράς, ο Ραμανούτζαν κατέγραψε τον κύριο όγκο των υπολογισμών του σε τέσσερα τετράδια. Ο μεγαλύτερος αριθμός αυτών των υπολογισμών γράφτηκε χωρίς να έχει κύριες πηγές. Αυτή ήταν, πιθανώς, και η αρχή της εσφαλμένης εκτίμησης ότι ο Ραμανούτζαν δεν ήταν ικανός να αποδείξει τις θεωρίες του και ότι απλά σκεφτόταν το τελικό αποτέλεσμα των υπολογισμών του με ακρίβεια. Ο Μαθηματικός [[Μπρους Μπέρντ]], στην κριτική του για τα τετράδια αυτά και για το γενικότερο έργο του Ραμανούτζαν, αναφέρει ότι κατά πάσα πιθανότητα ήταν ικανός να καταστρώσει τις αποδείξεις των υπολογισμών του, αλλά επέλεξε να μην το κάνει.

Ο τρόπος με τον οποίο εργαζόταν οφείλεται σε πολλούς λόγους. Αρχικά, αφού το χαρτί ήταν πολύ ακριβό, ο Ραμανούτζαν έκανε το κύριο μέρος των υπολογισμών του και πιθανότατα και τις αποδείξεις τους πάνω σε [[μαυροπίνακα]], και στη συνέχεια μετέφερε τα αποτελέσματα τους σε χαρτί. Η χρήση του μαυροπίνακα ήταν αρκετά συνηθισμένη για τους φοιτητές μαθηματικών στην [[Προεδρία του Μάντρας|Προεδρία του Μαντράς]] εκείνη την εποχή. Επιπρόσθετα, είναι πολύ πιθανό να επηρεάστηκε και από τον τρόπο που είναι γραμμένο το βιβλίο του [[Γ. Σ. Καρ]],που μελέτησε όταν ήταν νέος, μέσα στο οποίο υπάρχουν παρατιθέμενα τα αποτελέσματα των υπολογισμών χωρίς να δίνονται αποδείξεις. Τέλος, είναι εξίσου πιθανό το γεγονός ο Ραμανούτζαν να θεωρούσε ότι η δουλειά του ήταν ζήτημα προσωπικού ενδιαφέροντος και έτσι να μην κατέγραφε τις αποδείξεις των υπολογισμών του.<ref name = "Μπρους Μπέρντ on Ramanujan">{{cite web|url = http://www.amazon.com/Ramanujans-Notebooks-Part-Bruce-Berndt/dp/0387949410 |title = Ramanujans Notebooks}}</ref>

Tον Δεκέμβριο του 2011, λόγω του εορτασμού των 125 χρόνων από τη γέννηση του Ραμανούτζαν, η TIFR επανεξέδωσε τα τετράδια σε δίτομη έγχρωμη συλλεκτική έκδοση. Αυτή η έκδοση δημιουργήθηκε από ειδικούς αρχειοφύλακες της [http://www.lib.uchicago.edu/e/su/southasia/about-rmrl.html Ερευνητικής Βιβλιοθήκης Roja Muthiah ], ΤσεννάιΤσενάι., οι οποίοι χρησιμοποίησαν σκαναρισμένες και επεξεργασμένες εικόνες των αρχικών χειρόγραφων.