Εκκεντρότητα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 1:
[[Image:Eccentricity.svg|thumb|300px|right|Όλοι οι τύποι των κωνικών τομών, κατά αύξουσα εκκεντρότητα. Η [[καμπυλότητα]] μειώνεται όσο η εκκεντρότητα αυξάνεται.]]
Η '''εκκεντρότητα''' είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζει κάθε [[κωνική τομή]]. Ουσιαστικά είναι ένα μέτρο του πόσο η κωνική τιμή "απέχει" από το να είναι τέλειος κύκλος. Ειδικότερα,
*Η εκκεντρότητα ενός [[κύκλος|κύκλου]] είναι μηδέν
*Η εκκεντρότητα μιας [[έλλειψη|έλλειψης]] είναι μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του 1
*Η εκκεντρότητα της [[παραβολή|παραβολής]] είναι ακριβώς 1
*Η εκκεντρότητα της [[υπερβολή|υπερβολής]] είναι μεγαλύτερη του 1 και πεπερασμένη
*Η εκκεντρότητα μιας [[ευθεία|ευθείας]] είναι 1 ή άπειρο, ανάλογα με τον ορισμό.
Ο μαθηματικός τύπος που δίνει την εκκεντρότητα είναι:
:<math>e=\sqrt{1-k\frac{b^2}{a^2}}
Λέγεται επίσης '''πρώτη εκκεντρότητα''' όταν χρειάζεται να διακριθεί από τη '''δεύτερη εκκεντρότητα''' e', που χρησιμοποιείται μερικές φορές για ευκολία στους υπολογισμούς. Η δεύτερη εκκεντρότητα είναι:
:<math>e'=\sqrt{k\frac{a^2}{b^2}-1}
και σχετίζεται με την πρώτη εκκεντρότητα μέσω της εξίσωσης:
:<math>1=(1-e^2)(1+e'^2)
==Γεωμετρία==
===Έλλειψη===
Σε μια έλλειψη, όπου το μήκος του μεγάλου ημιάξονα είναι <math>a\,\!</math> και το μήκος του μικρού ημιάξονα <math>b\,\!</math> η εκκεντρότητα, <math>e\,\!</math>, είναι το ημίτονο της γωνιακής εκκεντρότητας, που δίνεται από τον τύπο:
:: <math>o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{b}{a}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right)\,\!</math>
:::<math>e=\sin(o\!\varepsilon)=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\,\!</math>
Η εκκεντρότητα είναι ο λόγος της απόστασης μεταξύ των εστιών (<math>F_1\,\!</math> και <math>F_2\,\!</math>) προς το μήκος του μεγάλου άξονα (<math>AB\,\!</math>):
Παρόμοια, η δεύτερη εκκεντρότητα είναι η εφαπτομένη της γωνιακής εκκεντρότητας:
:::<math>e'=\tan(o\!\varepsilon)=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}\,\!</math>
===Ευθεία===
Μια ευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να θεωρηθεί σαν έλλειψη με μικρό άξονα μηδενικού μήκους. Έτσι το είναι μηδέν, κι αν αντικαταστήσουμε αυτή την τιμή στην εξίσωση της εκκεντρότητας, το αποτέλεσμα είναι 1.
Αν ορίσουμε μια κωνική τομή σαν τον [[γεωμετρικός τόπος|γεωμετρικό τόπο]] των σημείων Q γύρω από ένα σημείο P και τη [[διευθετούσα]] L, όπου <math>\overline{PQ} = e\overline{LQ}</math> με <math>\overline{LQ}</math> την κάθετη απόσταση από τη διευθετούσα στο Q και ''e'' η εκκεντρότητα, τότε η τιμή ''e''=∞ θα δώσει μια ευθεία.
==Υπερβολή==
Για κάθε υπερβολή, ο τύπος που δίνει την εκκεντρότητα είναι:
:<math>e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\,\!</math>
με <math>a\,\!</math> το μήκος του μεγάλου ημιάξονα και <math>b\,\!</math> το μήκος του μικρού ημιάξονα.
===Επιφάνειες===
Η εκκεντρότητα μιας επιφάνειας είναι η εκκεντρότητα μιας ορισμένη τομής της. Για παράδειγμα, σε ένα τριασδιάστατο ελλειψοειδές η ''μεσημβρινή εκκεντρότητα'' είναι αυτή της έλλειψης που σχηματίζεται από μια τομή που περιέχει το μεγάλο και το μικρό άξονα (ένας από τους οποίους θα είναι ο πολικός άξονας) και η ''ισημερινή εκκεντρότητα'' είναι της έλλειψης που δημιουργείται από μια τομή που διέρχεται από το κέντρο, κάθετα στον πολικό άξονα.
==Εκκεντρότητα τροχιάς==
[[Image:OrbitalEccentricityDemo.svg|thumb|Παραδείγματα τροχιών για διάφορες τιμές της εκκεντρότητας]]
Σύμφωνα με τα αξιώματα της [[Αστροδυναμική|Αστροδυναμικής]], κάθε τροχιά ενός σώματος γύρω από ένα άλλο σε πεδίο βαρυτικών δυνάμεων είναι [[κωνική τομή]]. Η εκκεντρότητα αυτής της κωνικής τομής, ή αλλιώς '''τροχιακή εκκεντρότητα''' ή '''εκκεντρότητα τροχιάς''', είναι σημαντική παράμετρος που καθορίζει το σχήμα της, και εξαρτάται μεταξύ άλλων και από τα [[ενέργεια|ενεργειακά]] χαρακτηριστικά της.
Όπως και στον μαθηματικό ορισμό της, η εκκεντρότητα της τροχιάς (<math>e\,\!</math>) παίρνει τις ακόλουθες τιμές
*για [[κυκλική τροχιά]]: <math>e=0\,\!</math>
*για [[ελλειπτική τροχιά]]: <math>0<e<1\,\!</math>
*για [[παραβολική τροχιά]]: <math>e=1\,\!</math>
*για [[υπερβολική τροχιά]]: <math>e>1\,\!</math>
Για τις ελλειπτικές τροχιές μπορεί εύκολα να αποδειχτεί ότι το sin<sup>−1</sup><math>e</math> δίνει τη [[γωνία προβολής]] ενός τέλειου κύκλου σε έλλειψη εκκεντρότητας <math>e</math>. Έτσι, για να πάρουμε μια ιδέα της εκκεντρότητας της τροχιάς π.χ. του [[Ερμής (πλανήτης)|Ερμή]] (με εκκεντρότητα 0.2056), υπολογίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο γωνία προβολής 11,86 μοιρών. Αν τώρα γείρουμε ένα κυκλικό αντικείμενο, ειδωμένο από πάνω, κατ' αυτή τη γωνία σε σχέση με το οριζόντιο, η φαινόμενη [[έλλειψη]] που θα αντικρίσουμε θα έχει την ίδια εκκεντρότητα με την τροχιά του πλανήτη.
===Υπολογισμός===
Η εκκεντρότητα μιας τροχιάς μπορεί να υπολογιστεί από τα διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας ενός κινητού ως [[μέτρο διανύσματος|μέτρο]] του [[διάνυσμα της εκκεντρότητας|διανύσματος της εκκεντρότητας]]:
:<math>e= \left | \mathbf{e} \right |</math>
όπου
*<math>\mathbf{e}\,\!</math> είναι το διάνυσμα της εκκεντρότητας.
Για τις ελλειπτικές τροχιές μπορεί επίσης να υπολογιστεί από την απόσταση ανάμεσα στο περίκεντρο και το απόκεντρο:
:<math>e={{d_a-d_p}\over{d_a+d_p}}</math>
::<math>=1-\frac{2}{(d_a/d_p)+1}</math>
όπου:
*<math>d_p\,\!</math> είναι η απόσταση στο περίκεντρο (πλησιέστερο σημείο της τροχιάς στο κέντρο),
*<math>d_a\,\!</math> είναι η απόσταση στο απόκεντρο (στο σημείο της τροχιάς που απέχει περισσότερο από το κέντρο).
===Παραδείγματα===
Η εκκεντρότητα της τροχιάς της [[Γη|γης]] είναι σήμερα 0,0167. Με το πέρασμα των αιώνων, η εκκεντρότητα αυτή μεταβάλλεται από σχεδόν 0 σε περίπου 0,05 ως αποτέλεσμα της βαρυτικής αλληλεπίδρασης με τα άλλα σώματα του ηλιακού συστήματος.
Ο πλανήτης [[Ερμής (πλανήτης)|Ερμής]] (με εκκεντρότητα 0,2056) είναι ο πλανήτης με την πιο έκκεντρη τροχιά στο ηλιακό μας σύστημα. Πριν τον επανακαθορισμό της έννοιας του πλανήτη από τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση το 2006, ο νάνος πλανήτης [[Πλούτωνας (πλανήτης)|Πλούτωνας]] κατείχε τον τίτλο, με εκκεντρότητα 0,0248. Η τροχιά της [[Σελήνη|Σελήνης]] επίσης χαρακτηρίζεται από μεγάλη εκκεντρότητα (0,0554) σε σχέση με άλλα σώματα του ηλιακού συστήματος σε τροχιά.
Οι περισσότεροι [[αστεροειδής|αστεροειδείς]] του ηλιακού συστήματος έχουν εκκεντρότητες μεταξύ 0 και 0,35, με μέση τιμή 0,17.<ref>http://filer.case.edu/sjr16/advanced/asteroid.html</ref> Οι μεγάλες αυτές τιμές οφείλονται στη βαρυτική επίδραση του [[Δίας (πλανήτης)|Δία]] και σε παλαιότερες συγκρούσεις.
Η εκκεντρότητα των [[κομήτης|κομητών]] είναι συνήθως κοντά στο 1. Οι περιοδικοί κομήτες έχουν τροχιές μεγάλης εκκεντρότητας, λίγο κάτω από 1. Η ελλειπτική τροχιά του [[κομήτης του Χάλεϊ|Κομήτη του Χάλεϊ]] έχει εκκεντρότητα 0,967. Οι μη-περιοδικοί κομήτες, δηλαδή αυτοί που δεν επιστρέφουν στο ηλιακό μας σύστημα, ακολουθούν σχεδόν παραβολικές τροχιές κι έτσι η εκκεντρότητά τους επλησιάζει το 1. Παραείγματα αποτελούν ο [[Κομήτης Χέιλ-Μποπ]] με 0.995086 και ο [[Κομήτης Μακνώτ]] με 1.000030. Ο κομήτης Χέϊλ Μποπ έχει εκκεντρότητα μικρότερη του 1, δηλαδή η τροχιά του είναι ελλειπτική και τελικά θα επιστρέψει, όμως αυτό θα συμβεί το έτος 4.380. Η τροχιά του κομήτη Μακνώτ, από την άλλη, είναι υπερβολική κι έτσι ο κομήτης θα εγκαταλείψει το ηλιακό σύστημα για πάντα.
Ο δορυφόρος [[Τρίτωνας (δορυφόρος)]] του πλανήτη [[Ουρανός (πλανήτης)|Ουρανού]] πιστεύεται ότι είναι το μοναδικό ουράνιο σώμα, στο δικό μας ηλιακό σύστημα τουλάχιστον, του οποίου η τροχιά είναι απόλυτα κυκλική με εκκεντρότητα μηδέν.
===Εκκεντρότητα και κλίμα===
Η διάρκεια των εποχών είναι ανάλογη με το εμβαδό που σαρώνει το διάνυσμα θέσης της Γης μεταξύ [[ισημερία|ισημεριών]] και [[ηλιοστάσιο|ηλιοστασίων]], κι έτσι όταν η εκκεντρότητα είναι μεγάλη οι εποχές που εμφανίζονται όταν ο πλανήτης είναι στο πιο απομακρυσμένο σημείο της τροχιάς του (αφήλιο) θα είναι μεγαλύτερες σε διάρκεια. Σήμερα, ο χειμώνας και το φθινόπωρο του βόεριου ημισφαιρίου εμφανίζονται στο περιήλιο, όταν η Γη κινείται με την μεγαλύτερη ταχύτητα. Σαν αποτέλεσμα, οι δυο αυτές εποχές είναι λίγο συντομότερες από την άνοιξη και το καλοκαίρι, Το 2006, το καλοκαίρι ήταν 4,66 μέρες μεγαλύτερο από το χειμώνα και η άνοιξη 2,9 μέρες μεγακύτερη σε διάρκεια από το φθινόπωρο. <ref>http://members.aol.com/gregbenson/iceage.htm</ref> Η [[μετάπτωση των ισημεριών]] μεταβάλλει σιγά-σιγά το σημείο της τροχιάς όπου σημειώνονται τα ηλιοστάσια και οι ισημερίες. Μέσα στα επόμενα 10.000 χρόνια, οι χειμώνες του βόρειου ημισφαιρίου θα γίνουν προοδευτικά μεγαλύτεροι σε διάρκεια και τα καλοκαίρια μικρότερα. Η θερμοκρασία του πλανήτη όμως δεν θα ελαττωθεί λόγω αυτού του γεγονότος, καθώς η εκκεντρότητα της τροχιάς της Γης θα έχει πέσει τότε στη μισή τιμή από τη σημερινή, κάτι που σημαίνει μικρότερη μέση απόσταση από τον Ήλιο και μεγαλύτερες θερμοκρασίες λόγω μεγαλύτερης εισροής ηλιακής ενέργειας.
==Παραπομπές==
<references />
| |||