|
| <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math>
|}
[[Αρχείο:Square_root_of_2_triangle.svg|μικρογραφία|200x200εσ|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίσοίση με το μήκος της </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">υποτείνουσας</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> του </font></font>[[Ορθογώνιο τρίγωνο|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">ορθογωνίου τριγώνου</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> με ταπλευρές πόδια από το μήκοςμήκους 1</font></font>]]
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Η </font></font>'''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">τετραγωνική ρίζα του 2</font></font>'''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , ή το (1/2) ου αλλιώς</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">δύναμη, τουγραμμένο 2στα μαθηματικά</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> ,</font></font><font γραμμένοstyle="vertical-align: σταinherit;"><font μαθηματικάstyle="vertical-align: ωςinherit;"> </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}} <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Ήή </font></font>{{Math|2{{sup|{{frac|1|2}}}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">, είναι τοο θετικόθετικός </font></font>[[Αλγεβρικός αριθμός|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">αλγεβρικόαλγεβρικός αριθμός</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό </font></font>[[2 (αριθμός)|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">2</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> . </font><font style="vertical-align: inherit;">Τεχνικά, ονομάζεται η </font></font>'''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">κύρια τετραγωνική ρίζα του 2</font></font>'''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , το οποίο το διακρίνει από το αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.</font></font>
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Γεωμετρικά η </font></font>[[Τετραγωνική ρίζα|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">τετραγωνική ρίζα</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου σεενός όλη την </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">πλατείατετραγώνου με τιςπλευρά πλευρέςμήκους του1 μια μονάδα του μήκους(</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> τους * </font><font style="vertical-align: inherit;">αυτό προκύπτει από το </font></font>[[Πυθαγόρειο θεώρημα|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Πυθαγόρειο θεώρημα</font></font>]])<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> . </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Ήταν ίσως ο πρώτος αριθμός γνωστό ότι είναι </font></font>[[Άρρητος αριθμός|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">παράλογος</font></font>]] [[Άρρητος αριθμός|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">άρρητος .αριθμός</font></font>]].
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Η ορθολογική προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του δύο, </font></font><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">665,857</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">470,832</span><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">, που προέρχεται από το τέταρτο βήμα της </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Βαβυλώνας αλγόριθμο,</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> ξεκινώντας με </font></font>{{Math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 1}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , είναι πολύ μεγάλες από περ. </font></font>{{Val|1.6e-12}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">: Η πλατεία είναι </font></font>{{Val|2.0000000000045}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">...</font></font>
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Ορθολογική προσέγγιση Του </font></font><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">99</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">70</span><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">(≈ 1.4142857) χρησιμοποιείται συχνά. </font><font style="vertical-align: inherit;">Παρά το γεγονός ότι μια </font></font>[[Κλάσμα|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">παρονομαστή</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> του 70, διαφέρει από τη σωστή τιμή από λιγότερο από το </font></font><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">1</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">10,000</span><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">(περ. </font></font>{{Val|+0.72e-4}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">). </font><font style="vertical-align: inherit;">Είναι al Από Συγκλίνουσα από την </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Συνεχιζόμενη Κλάσμα εκπροσώπηση</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> από την τετραγωνική ρίζα του δύο, Καλύτερα Ορθολογική προσέγγιση HSA al παρονομαστή που δεν είναι μικρότερη Από ό, 169, ΔΕΔΟΜΈΝΟΥ ότι: </font></font><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">239</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">169</span><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">(≈ 1.4142012) είναι το επόμενο συγκλίνουσα με σφάλμα περίπου. </font></font>{{Val|-0.12e-4}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">.</font></font>
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Η αριθμητική τιμή για την τετραγωνική ρίζα του δύο, περικοπεί σε 65 </font></font>[[Δεκαδικό σύστημα|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">δεκαδικών ψηφίων</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , είναι:</font></font>
== <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Ιστορία</font></font> ==
=== <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Καταγραφή προόδου</font></font> ===
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Αυτό είναι έναν πίνακα με τις πρόσφατες εγγραφές κατά τον υπολογισμό των ψηφίων του </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}} ( 1 trillion = 10<sup>12</sup> = 1,000,000,000,000 ).
{| class="wikitable" style="text-align: center; caption-side: bottom; margin-bottom: 10px;"
!<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Ημερομηνία </font></font>
!<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Όνομα </font></font>
!<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Αριθμός ψηφίων</font></font>
|-
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> 28 ιουνίου 2016 </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Ο Ρον Watkins </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> 10 τρισεκατομμύρια</font></font>
|-
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> 3 απριλίου 2016 </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Ο Ρον Watkins </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> 5 τρισεκατομμύρια</font></font>
|-
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Νοέμβριος 9, 2012 </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Ο Αλέξανδρος Yee </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> 2 τρισεκατομμύρια</font></font>
|-
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Μάρτιος 22, 2010 </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> Σιγκέρου Κόντο </font></font>
|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">1 τρισεκατομμύριο = 10 </font></font><sup><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">12</font></font></sup>
|+<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Αναφορά: </font></font><ref name="y-cruncher">{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Archived copy|archiveurl=https://web.archive.org/web/20151020062050/http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|archivedate=2015-10-20|dead-url=no|accessdate=2015-12-03}}</ref>
|}
== <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Αποδείξεις του παραλογισμού</font></font> ==
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Μια σύντομη απόδειξη του παραλογισμού της </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}} μπορεί να ληφθεί από την ορθολογική ρίζα θεώρημα, δηλαδή, εάν {{Math|''p''(''x'')}} είναι ένα monic πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε [[Ρητός αριθμός|λογικός]] [[Ρίζα (μαθηματικά)|ρίζα]] του {{Math|''p''(''x'')}} είναι απαραίτητα ακέραιος. Εφαρμόζοντας αυτό το πολυώνυμο {{Math|''p''(''x'') {{=}} ''x''{{sup|2}} − 2}}, έπεται ότι {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι είτε ένας ακέραιος ή παράλογες. Γιατί {{Math|{{sqrt|2}}}} δεν είναι ακέραιος (2, δεν είναι τέλειο τετράγωνο), {{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">πρέπει, συνεπώς, είναι παράλογο. </font><font style="vertical-align: inherit;">Αυτή η απόδειξη μπορεί να γενικευθεί για να δείξει ότι κάθε ρίζα της κάθε φυσικό αριθμό που δεν είναι το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού είναι παράλογη.</font></font>
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Δείτε </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">την δευτεροβάθμια παράλογη</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> ή </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">άπειρης καθόδου</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> για μια απόδειξη ότι η τετραγωνική ρίζα του κάθε μη-τετράγωνο φυσικού αριθμού είναι παράλογη.</font></font>
=== <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Απόδειξη θα είναι άπειρη κάθοδο</font></font> ===
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Μία απόδειξη του αριθμού είναι παραλογισμός είναι η ακόλουθη απόδειξη από </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">άπειρης καθόδου</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> . </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Είναι επίσης μια </font></font>[[Εις άτοπον απαγωγή|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">απόδειξη της αντίφασης</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , επίσης γνωστή ως μια έμμεση απόδειξη, ότι η πρόταση αποδεικνύεται από την παραδοχή ότι το αντίθετο του πρόταση είναι αληθινή και δείχνει ότι η υπόθεση αυτή είναι εσφαλμένη, πράγκα που συνεπάγεται ότι η πρόταση πρέπει να είναι αλήθεια.</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Assume that </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">is a rational number, meaning that there is a pair of integers whose ratio is </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">.</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">If the two integers have a common factor, it can be eliminated using the </font></font>[[Αλγόριθμος του Ευκλείδη|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Euclidean algorithm</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> .</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Then </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">can be written as an </font></font>[[Ανάγωγο κλάσμα|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">irreducible fraction </font></font>]] {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">such that </font></font>{{Math|''a''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">and </font></font>{{Math|''b''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">has </font></font>[[Σχετικά πρώτοι|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">coprime</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> integers (having no common factor).</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">It follows that </font></font>{{Math|{{sfrac|''a''{{sup|2}}|''b''{{sup|2}}}} {{=}} 2}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> and </font></font>{{Math|''a''{{sup|2}} {{=}} 2''b''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">. </font></font> <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">( </font>[[Δύναμη (μαθηματικά)|<font style="vertical-align: inherit;">( </font>{{math|({{sfrac|''a''|''b''}}){{sup|''n''}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sup|''n''}}|''b''{{sup|''n''}}}}}}]]</font> [[Δύναμη (μαθηματικά)|{{math|({{sfrac|''a''|''b''}}){{sup|''n''}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sup|''n''}}|''b''{{sup|''n''}}}}}}]]  <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">)</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Therefore, </font></font>{{math|''a''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">is even because it is equal to </font></font>{{math|2''b''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">. </font><font style="vertical-align: inherit;">( </font></font>{{math|2''b''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> is necessarily even because it is 2 times another whole number and multiples of 2 are even.)</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">It follows that </font></font>{{math|''a''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> must be even (as squares of odd integers are never even).</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Because </font></font>{{math|''a''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">is even, there exists an integer </font></font>{{math|''k''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">that fulfills: </font></font>{{math|''a'' {{=}} 2''k''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">.</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Substituting </font></font>{{math|2''k''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">from step 7 for </font></font>{{math|''a''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">in the second equation of step 4: </font></font>{{math|2''b''{{sup|2}} {{=}} (2''k''){{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">is equivalent to </font></font>{{math|2''b''{{sup|2}} {{=}} 4''k''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">, which is equivalent to </font></font>{{math|''b''{{sup|2}} {{=}} 2''k''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">.</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Because </font></font>{{math|2''k''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">is divisible by two and therefore even, and because </font></font>{{math|2''k''{{sup|2}} {{=}} ''b''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">, it follows that </font></font>{{math|''b''{{sup|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">is also that which means that </font></font>{{math|''b''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> is even.</font></font>
# <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">By steps 5 and 8 </font></font>{{math|''a''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">and </font></font>{{math|''b''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">has both even, which contradicts that </font></font>{{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> is irreducible as stated in step 3.</font></font>
:: '''''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">QED</font></font>'''''
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Γιατί υπάρχει μια αντίφαση, την παραδοχή (1) </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">είναι ένας λογικός αριθμός πρέπει να είναι ψευδής. </font><font style="vertical-align: inherit;">Αυτό σημαίνει ότι </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">δεν είναι ρητός αριθμός; </font><font style="vertical-align: inherit;">δηλαδή, </font></font>{{Math|{{sqrt|2}}}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> είναι παράλογη.</font></font>
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Αυτή η απόδειξη ήταν υπαινίχθηκε με </font></font>[[Αριστοτέλης|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">τον Αριστοτέλη</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , στο </font></font>''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Analytica Priora</font></font>''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , §I. 23. </font></font><ref>All that Aristotle says, while writing about [//en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction proofs by contradiction], is that “the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate”.</ref> <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> appeared first ως πλήρη απόδειξη σε </font></font>[[Ευκλείδης|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Euclid</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> 's </font></font>''[[Στοιχεία|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Στοιχεία</font></font>]]''<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> , ως πρόταση 117 από Βιβλίο Χ. Ωστόσο, από τις αρχές του 19ου αιώνα οι ιστορικοί έχουν συμφωνήσει ότι η απόδειξη αυτή είναι μια </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">παρεμβολή</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> και δεν μπορούν να αποδοθούν σε Ευκλείδη. </font></font><ref>The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in [//en.wikipedia.org/wiki/Berlin Berlin] in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with [//en.wikipedia.org/wiki/Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) J. L. Heiberg's] edition (1883–1888).</ref>
=== <font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Απόδειξη από τη μοναδική παραγοντοποίηση</font></font> ===
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Μια εναλλακτική απόδειξη χρησιμοποιεί την ίδια προσέγγιση με το </font></font>[[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής|<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής,</font></font>]]<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> η οποία λέει ότι κάθε ακέραιος μεγαλύτερος από το 1 έχει μια μοναδική παραγοντοποίηση των αρμοδιοτήτων του primes.</font></font>
# Υποθέστε ότι ο √ 2 είναι ένας λογικός αριθμός. Έπειτα, υπάρχουν ακέραιοι aand β έτσι ώστε ais coprime να b και √2 = ένα / / σι . Με άλλα λόγια, το √2 μπορεί να γραφτεί ως ένα μη αναγωγικό κλάσμα.<br />
<div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">{{Exp|2}}</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;"> = ''a''<span class="visualhide">/</span>''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;"> {{Irrational numbers}} ''a''<span class="visualhide">/</span>''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div></div></div></div>
# Η τιμή του b δεν μπορεί να είναι 1 δεδομένου ότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι 2.<br />
<div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div>
# Πρέπει να υπάρχει ένα prime p που διαιρεί τη ζώνη που δεν χωρίζει ένα, διαφορετικά το κλάσμα δεν θα είναι μη αναστρέψιμο.<br />
<div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''p''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''p''</div></div></div></div>
# Το τετράγωνο του acan υπολογίζεται ως το προϊόν των πρώτων υλών στο οποίο το a είναι συντεταγμένο αλλά με κάθε ισχύ διπλασιάζεται.<br />
<div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div>
# Επομένως, με μοναδική παραγοντοποίηση ο πρωταρχικός pwhich διαιρεί το b, αλλά και το τετράγωνο του, δεν μπορεί να διαιρέσει το τετράγωνο του a.<br />
<div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''a''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''b''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''p''</div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div><div class="cx-template-editor-param-value" data-key="1" style="position: relative;">''p''</div></div></div></div>
# Therefore, the square of an irreducible fraction cannot be reduced to an integer.
# Επομένως, το √ 2 δεν μπορεί να είναι ένας λογικός αριθμός.<br />
<div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div></div></div></div><div class="cx-template-editor-source-container" lang="en" dir="ltr" style="display: none;"><div class="cx-template-editor-source"><div class="cx-template-editor-title" title="This template formats markup generated mathematical formulas with HTML and CSS. The template tries to match the size of the serif font with the surrounding sans-serif font. The template also prevents line-wrapping. Use this template for non-complex formulas as an alternative to using the <math> format.">Math</div><div class="cx-template-editor-param"><div class="cx-template-editor-param-title"><span id="1" class="cx-template-editor-param-key">formula</span><span data-key="1" title="wrap an inline formula in wikitext." class="cx-template-editor-param-desc"></span></div></div></div></div>
<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">Αυτή η απόδειξη μπορεί να γενικευθεί για να δείξει ότι αν ένας ακέραιος δεν είναι μια ακριβής </font></font>{{Math|''k''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">οστή δύναμη του άλλου ακέραιος, τότε το </font></font>{{Math|''k''}}<font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">οστή ρίζα είναι παράλογη. </font><font style="vertical-align: inherit;">Για μια απόδειξη του το ίδιο αποτέλεσμα που δεν βασίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, δείτε: </font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;">τετραγωνική παράλογη</font></font><font style="vertical-align: inherit;"><font style="vertical-align: inherit;"> .</font></font>
=== Απόδειξη από το άπειρο καταγωγής, δεν συνεπάγονται factoring ===
Τα ακόλουθα reductio ad absurdum επιχείρημα που δείχνει τον παραλογισμό {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι λιγότερο γνωστά. Χρησιμοποιεί τις πρόσθετες πληροφορίες {{Math|2 > {{sqrt|2}} > 1}} ώστε {{Math|1 > {{sqrt|2}} − 1 > 0}}.<ref>{{Citation|last=Gardner|first=Martin|title=A Gardner's workout: training the mind and entertaining the spirit|year=2001|publisher=A K Peters, Ltd.|isbn=978-1-56881-120-8|ISBN=978-1-56881-120-8}}, p. 16</ref>
# Ας υποθέσουμε ότι {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι ένας λογικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι {{Math|''m''}} και {{Math|''n''}} με {{Math|''n'' ≠ 0}} τέτοιο ώστε {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}} {{=}} {{sqrt|2}}}}. Τότε {{Math|''m'' {{=}} ''n''{{sqrt|2}}}} και {{Math|''m''{{sqrt|2}} {{=}} 2''n''}}.
# Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το {{Math|''n''}} είναι ο μικρότερος ακέραιος έτσι ώστε {{Math|''n''{{sqrt|2}}}} είναι ένας ακέραιος. Δηλαδή, ότι το κλάσκα {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} είναι σε χαμηλότερο επίπεδο.
# Επειδή {{Math|1 > {{sqrt|2}} − 1 > 0}}, προκύπτει από την (1) ότι {{Math|''n'' > ''n''({{sqrt|2}} − 1) {{=}} ''m'' − ''n'' > 0}}. Άρα {{Math|''n'' > ''m'' − ''n'' > 0}}.
# Επίσης, από την (1) έχουμε {{Math|{{sqrt|2}} {{=}} {{sfrac|''m''|''n''}} {{=}} {{sfrac|''m''({{sqrt|2}} − 1)|''n''({{sqrt|2}} − 1)}} {{=}} {{sfrac|2''n'' − ''m''|''m'' − ''n''}}}}.
# Έτσι, το κλάσμα {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} για {{Math|{{sqrt|2}}}}, το οποίο σύμφωνα με το (2) είναι ήδη σε [[Ανάγωγο κλάσμα|χαμηλότερο επίπεδο]], εκπροσωπείται από (4) σε ακόμα χαμηλότερες τιμές (το οποίο προκύπτει από το αποτέλεσμα (3)). Αυτό είναι μια αντίφαση, οπότε η υπόθεση ότι {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι λογικά πρέπει να είναι ψευδής.
Αυτό το επιχείρημα μπορεί να είναι αυστηρότερες ως εξής.
Ας ''b'' είναι το λιγότερο θετικός ακέραιος για τον οποίο {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι μια ορθολογική {{Math|''a''/''b''}}. Τότε το ''β'' έχει την ιδιότητα ότι δύο φορές το τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο, {{Math|2''b''<sup>2</sup> {{=}} ''a''<sup>2</sup>}}. Για μια αντίφαση, μπορούμε να δείξουμε ότι {{Math|''a'' − ''b''}} είναι μικρότερος θετικός ακέραιος με την ίδια ιδιότητα. Πολλαπλασιάστε τις ανισότητες {{Math|1 > {{sqrt|2}} − 1 > 0}} με {{Math|''b''}} για να δείξει {{Math|''b'' > ''a'' − ''b'' > 0}}. Τώρα δύο φορές το τετράγωνο {{Math|''a'' − ''b''}} είναι {{Math|2''a''<sup>2</sup> − 4''ab'' + 2''b''<sup>2</sup>}}. Να ξαναγράψει το πρώτο και το τελευταίο αφορά τη χρήση β ιδιοκτησίας για να δώσει {{Math|''a''<sup>2</sup> − 4''ab'' + 4''b''<sup>2</sup>}}, το οποίο είναι απλά η επέκταση των {{Math|(2''b'' − ''a'')<sup>2</sup>}}, το υποσχέθηκε πλατεία. Έτσι, {{Math|{{sqrt|2}}}} μπορεί επίσης να γραφτεί ως {{Math|(''a'' − ''b'')/(2 ''b'' − ''a'')}}. Αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναλαμβάνεται και κατανοητό γεωμετρικά, όπως φαίνεται παρακάτω.
=== Γεωμετρική απόδειξη ===
[[Αρχείο:NYSqrt2.svg|μικρογραφία|Σχήμα 1. Stanley Tennenbaum γεωμετρική απόδειξη του παραλογισμού της √2{{sqrt|2}}.]]
Το αμέσως προηγούμενο επιχείρημα έχει μια απλή γεωμετρική διατύπωση που αποδίδεται από τον [[Τζον Χόρτον Κόνγουεϊ|John Horton Conway]] να Stanley Tennenbaum , όταν ο τελευταίος ήταν ένας φοιτητής στις αρχές της δεκαετίας του 1950<ref>[http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Proof 8‴] Σφάλμα στο πρότυπο webarchive: Ελέγξτε την τιμή <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|url=</code>. Empty.
[[Κατηγορία:Σφάλματα προτύπου Webarchive]]</ref> και του οποίου η πιο πρόσφατη εμφάνιση σε ένα άρθρο από Noson Yanofsky του Μαΐου–ιουνίου 2016 ζήτημα του ''αμερικανού Επιστήμονα''.<ref>{{Cite web|url=http://www.americanscientist.org/issues/feature/paradoxes-contradictions-and-the-limits-of-science|title=Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science|last=Yanofsky, N.|year=2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160630035856/http://www.americanscientist.org/issues/feature/paradoxes-contradictions-and-the-limits-of-science|archivedate=2016-06-30|dead-url=no}}</ref> δύο πλατείες με ακέραιες πλευρές αντίστοιχα ''α'' και ''β'', ένα από τα οποία έχει δύο φορές την περιοχή του άλλου, το μέρος δύο αντίγραφα από τα μικρότερα πλατεία στο μεγαλύτερο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. Η πλατεία επικαλύπτονται περιοχή στη μέση ({{Math|(2''b'' − ''a'')<sup>2</sup>}}) πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των δύο αποκάλυψε πλατείες, παράγραφος{{Math|2(''a'' − ''b'')<sup>2</sup>}}). Αλλά αυτά τα τετράγωνα διαγώνια έχουν θετικό ακέραιο τις πλευρές που είναι μικρότερη από την αρχική πλατείες. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία μπορούμε να βρούμε αυθαίρετα μικρές πλατείες ένα, δύο φορές την περιοχή από τις άλλες, ακόμα και οι δύο έχουν θετικές ακέραιες πλευρές, το οποίο είναι αδύνατο αφού θετικοί ακέραιοι δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 1.
[[Αρχείο:Irrationality_of_sqrt2.svg|αριστερά|μικρογραφία|Σχήμα 2. Tom Apostol γεωμετρική απόδειξη του παραλογισμού της sqrt(2).]]
Ένα άλλο γεωμετρικό reductio ad absurdum επιχείρημα που δείχνει ότι {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι παράλογο εμφανίστηκε το 2000 στην Αμερικανική Μαθηματική Μηνιαία.<ref>{{Citation|title=Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof|date=Nov 2000|number=9|surname=Tom M. Apostol|journal=The American Mathematical Monthly|volume=107|pages=841–842|doi=10.2307/2695741|DOI=10.2307/2695741}}</ref> είναι επίσης ένα παράδειγμα της απόδειξης από άπειρης καθόδου. Κάνει χρήση του κλασικού πυξίδα και straightedge κατασκευή, που αποδεικνύει το θεώρημα με μια μέθοδο παρόμοια με εκείνη που ακολουθείται από την αρχαία ελληνική geometers. Είναι ουσιαστικά η αλγεβρική απόδειξη προηγούμενη ενότητα viewed γεωμετρικά σε έναν ακόμη τρόπο.
Ας {{Math|△''ABC''}} είναι ένα δικαίωμα ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους {{Math|''m''}} και τα πόδια {{Math|''n''}} , όπως φαίνεται στο Σχήμα 2. Από το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]], {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}} {{=}} {{sqrt|2}}}}. Ας υποθέσουμε ότι {{Math|''m''}} και {{Math|''n''}} είναι [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιοι]]. Ας {{Math|''m'':''n''}} είναι μια [[Λόγος (μαθηματικά)|αναλογία]] που περιέχονται στο [[Ανάγωγο κλάσμα|χαμηλότερο επίπεδο]].
Σχεδιάστε τα τόξα {{Math|''BD''}} και {{Math|''CE''}} με κέντρο {{Math|''A''}}. Ενταχθούν {{Math|''DE''}}. Έπεται ότι {{Math|''AB'' {{=}} ''AD''}}, {{Math|''AC'' {{=}} ''AE''}} και το {{Math|∠''BAC''}} και {{Math|∠''DAE''}} συμπίπτουν. Επομένως, τα τρίγωνα {{Math|''ABC''}} και {{Math|''ADE''}} είναι σύμφωνες με την SAS.
Επειδή {{Math|∠''EBF''}} είναι μια σωστή γωνία και {{Math|∠''BEF''}} είναι η μισή δεξιά γωνία, {{Math|△''BEF''}} είναι επίσης δικαίωμα ισοσκελές τρίγωνο. Ως εκ τούτου, {{Math|''BE'' {{=}} ''m'' − ''n''}} , συνεπάγεται {{Math|''BF'' {{=}} ''m'' − ''n''}}. Από συμμετρία, {{Math|''DF'' {{=}} ''m'' − ''n''}}, και {{Math|△''FDC''}} είναι επίσης δικαίωμα ισοσκελές τρίγωνο. Προκύπτει επίσης ότι {{Math|''FC'' {{=}} ''n'' − (''m'' − ''n'') {{=}} 2''n'' − ''m''}}.
Ως εκ τούτου, έχουμε ένα ακόμη μικρότερο δικαίωμα ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους {{Math|2''n'' − ''m''}} και τα πόδια του {{Math|''m'' − ''n''}}. Οι τιμές αυτές είναι ακέραιοι, ακόμη και μικρότερα από ό, {{Math|''m''}} και {{Math|''n''}} και κατά την ίδια αναλογία, σε αντίθεση με την υπόθεση ότι {{Math|''m'':''n''}} είναι σε χαμηλότερο επίπεδο. Ως εκ τούτου, {{Math|''m''}} και {{Math|''n''}} δεν είναι και οι δύο ακέραιοι, ως εκ τούτου, {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι παράλογη.
=== Πυθαγόρειο θεώρημα-απόδειξη ===
# Έτσι, η πλατεία του ποδιού είναι ακόμα. Τώρα, σύμφωνα με (2) το πόδι πρέπει να είναι ακόμη.
# Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση μας στο (1) ότι το πόδι και υποτείνουσα δεν έχουν κοινούς παράγοντες (εκτός από το 1). Γιατί αν είναι κι οι δυο τους μοιράζονται ένα κοινό συντελεστή 2. Έτσι, η υπόθεση ότι {{Math|{{sqrt|2}}}} ήταν λογικό να είναι ψευδής. Ή με άλλα λόγια {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι άρρητος αριθμός. '''''Q. E. D.'''''
=== Αναλυτική απόδειξη ===
* Λήμμα: ας {{Math|''α'' ∈ ℝ{{sup|+}}}} και {{Math|''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2}},… ''q''{{sub|1}}, ''q''{{sub|2}},… ∈ ℕ}} τέτοιο ώστε {{Math|{{abs|''αq{{sub|n}}'' − ''p{{sub|n}}''}} ≠ 0}} για όλα τα {{Math|''n'' ∈ ℕ}} και
:: <math />
:: <math />
: Τότε το {{Math|''α''}} είναι παράλογη.
: '''Απόδειξη:''' ας υποθέσουμε ότι {{Math|''α'' {{=}} {{sfrac|''a''|''b''}}}} με {{Math|''a'',''b'' ∈ ℕ{{sup|+}}}}.
: Για αρκετά μεγάλο {{Math|''n''}}
:: <math />
: στη συνέχεια
:: <math />
:: <math />
: αλλά {{Math|''aq{{sub|n}}'' − ''bp{{sub|n}}''}} είναι ένας ακέραιος, παράλογο, τότε το {{Math|''α''}} είναι παράλογη.
* {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι παράλογη.
: '''Απόδειξη:''' ας {{Math|''p''{{sub|1}} {{=}} ''q''{{sub|1}} {{=}} 1}}και
:: <math />
:: <math />
: για όλα τα {{Math|''n'' ∈ ℕ}}.
: Από [[Μαθηματική επαγωγή|την επαγωγή]],
:: <math />
: for all {{Math|''n'' ∈ ℕ}}. For {{Math|''n'' {{=}} 1}},
:: <math>0 < \left| \sqrt{2} q_1 - p_1 \right| < \frac{1}{2}</math>
: και αν αυτό ισχύει για το n τότε είναι αληθινό για n + 1. Στην πραγματικότητα<br />
:: <math>0 < \left| \sqrt{2} q_n - p_n \right|^2 < \frac{1}{2^{2^n}}</math>
:: <math>0 < \left| \sqrt{2} (2 p_n q_n) - \left(p_n^2 + 2 q_n^2\right) \right| < \frac{1}{2^{2^n}}</math>
:: <math>0 < \left| \sqrt{2} q_{n + 1} - p_{n + 1} \right| < \frac{1}{2^{2^n}}.</math>
: Με την εφαρμογή του λήματος, το √2 είναι παράλογο.<br />
=== Εποικοδομητική απόδειξη ===
Σε μια εποικοδομητική προσέγγιση, μια διάκριση μεταξύ, αφενός, δεν είναι ορθολογικό, και από την άλλη πλευρά παράλογος (δηλαδή, να είναι μετρήσιμα πέρα από κάθε λογική), η τελευταία είναι μια ισχυρότερη τοποθεσία. Δίνονται θετικοί ακέραιοι {{Math|''a''}} και {{Math|''b''}}, επειδή η αποτίμηση (δηλαδή, υψηλότερη δύναμη του 2 διαιρώντας τον αριθμό) των {{Math|2''b''<sup>2</sup>}} είναι περιττός, ενώ η αποτίμηση της {{Math|''a''<sup>2</sup>}} είναι ακόμα, θα πρέπει να είναι διαφορετικοί ακέραιοι * έτσι {{Math|{{abs|2''b''{{sup|2}} − ''a''{{sup|2}}}} ≥ 1}}. Στη συνέχεια<ref>See {{Citation|title=Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?|year=2011|surname=Katz|last2=Katz|first1=Karin Usadi|first2=Mikhail G.|author2-link=Mikhail Katz|journal=[[Intellectica]]|volume=56|issue=2|pages=223–302 (see esp. Section 2.3, footnote 15)|arxiv=1110.5456}}</ref>
: <math />
η τελευταία ανισότητα είναι αλήθεια, διότι υποθέτουμε {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}} ≤ 3 − {{sqrt|2}}}} (διαφορετικά η ποσοτική apartness μπορεί να είναι κοινότοπα αποδειχθεί). Αυτό δίνει ένα κάτω φράγμα του {{Math|{{sfrac|1|3''b''{{sup|2}}}}}} για τη διαφορά {{Math|{{abs|{{sqrt|2}} − {{sfrac|''a''|''b''}}}}}}, δίνοντας μια άμεση απόδειξη του παραλογισμού δεν στηρίζεται στο [[Αρχή αποκλειόμενου μέσου|νόμο των αποκλεισμένων μέση]] * βλ Errett Bishop (1985, σελ.  18). Αυτή η απόδειξη εποικοδομητικά εκθέματα διαφορά μεταξύ {{Math|{{sqrt|2}}}} και κάθε λογική.
== Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας του δύο ==
[[Αρχείο:Circular_and_hyperbolic_angle.svg|μικρογραφία|350x350εσ|[[Γωνία]] μέγεθος και τον κλάδο [[Εμβαδόν|περιοχή]] είναι το ίδιο όταν η κωνική ακτίνα είναι √2{{sqrt|2}}. Αυτό το διάγραμμα παρουσιάζει την κυκλική και υπερβολικές συναρτήσεις που βασίζονται σε τομείς {{Math|''u''}}.]]
Το ήμισυ του {{Math|{{sqrt|2}}}}, επίσης, η [[Αντίστροφος|αμοιβαία]] της {{Math|{{sqrt|2}}}}, περίπου 0.70710<span style="margin-left:0.25em">67811</span><span style="margin-left:0.25em">86548</span>, είναι μια κοινή ποσότητα στη γεωμετρία και [[τριγωνομετρία]] , επειδή η μονάδα διάνυσμα που κάνει μια γωνία 45° με τους άξονες σε ένα αεροπλάνο έχει τις συντεταγμένες
: <math />
Ο αριθμός αυτός ικανοποιεί
: <math />
Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα του {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι ως εξής:
: <math />
από
: <math />
Αυτό είναι που σχετίζονται με την ιδιότητα του ασημί δείκτες.
{{Math|{{sqrt|2}}}} μπορούν επίσης να εκφράζονται σε σχέση με τα αντίγραφα των η φανταστική μονάδα {{Math|''i''}} χρησιμοποιώντας μόνο την [[τετραγωνική ρίζα]] και [[Αριθμητική|αριθμητικές πράξεις]]:
: <math />
'''αν''' η τετραγωνική ρίζα σύμβολο ερμηνεύεται κατάλληλα για τους μιγαδικούς αριθμούς {{Math|''i''}} και {{Math|−''i''}}.
{{Math|{{sqrt|2}}}} είναι επίσης το μόνο πραγματικό αριθμό από το 1 του οποίου η άπειρη tetrate (δηλαδή, το άπειρο εκθετική πύργος), είναι ίση με την πλατεία. Με άλλα λόγια: αν {{Math|c > 1}} ορίζουμε {{Math|''x''<sub>1</sub> {{=}} ''c''}} και {{Math|''x''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''c''<sup>''x''<sub>''n''</sub></sup>}} για {{Math|''n'' > 1}}, θα πάρω το όριο {{Math|''x''<sub>''n''</sub>}} καθώς {{Math|''n'' → ∞}} (αν το όριο αυτό υπάρχει) {{Math|''f''(''c'')}}. Τότε, {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι ο μόνος αριθμός {{Math|''c'' > 1}} , για τα οποία {{Math|''f''(''c'') {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}. Ή συμβολικά:
: <math />
: <math />
για {{Math|''m''}} τετραγωνικές ρίζες και μόνο ένα μείον.<ref>{{Citation|last=Courant|first=Richard|title=What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods|year=1941|last2=Robbins|first2=Herbert|page=124|location=London|publisher=Oxford University Press}}</ref>
Παρόμοια σε εμφάνιση, αλλά με πεπερασμένο αριθμό όρων, {{Math|{{sqrt|2}}}} εμφανίζεται σε διάφορες τριγωνομετρικές σταθερές:<ref>Julian D. A. Wiseman [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Sin and cos in surds] Σφάλμα στο πρότυπο webarchive: Ελέγξτε την τιμή <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|url=</code>. Empty.
[[Κατηγορία:Σφάλματα προτύπου Webarchive]]</ref>
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
: <math />
Δεν είναι γνωστό εάν {{Math|{{sqrt|2}}}} είναι ένα κανονικό αριθμό, μια ισχυρότερη τοποθεσία από τον παραλογισμό, αλλά και στατιστικές αναλύσεις των [[Δυαδικό σύστημα|δυαδικών επέκταση]] είναι συνεπή με την υπόθεση ότι είναι φυσιολογικό στη βάση δύο.<ref>{{Harvard citation text|Good|Gover|1967}}.</ref>
== Σειρά προϊόντων και αναπαραστάσεις ==
Η ταυτότητα {{Math|cos {{sfrac|π|4}} {{=}} sin {{sfrac|π|4}} {{=}} {{sfrac|1|{{sqrt|2}}}}}}, μαζί με το άπειρο προϊόν αναπαραστάσεις για το ημίτονο και το συνημίτονο, οδηγεί σε προϊόντα όπως
: <math />
και
: <math />
ή ανάλογα,
: <math />
Ο αριθμός αυτός μπορεί επίσης να εκφραστεί με τη λήψη της [[Σειρά Τέιλορ|σειράς Taylor]] της μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, η σειρά για {{Math|cos {{sfrac|π|4}}}} δίνει
: <math />
Η Τέιλορ σειρά {{Math|{{sqrt|1 + ''x''}}}} με {{Math|''x'' {{=}} 1}} και χρησιμοποιώντας το διπλό παραγοντικό {{Math|''n''!!}} δίνει
: <math />
Η σύγκλιση αυτής της σειράς μπορεί να επιταχυνθεί με μια Euler μετασχηματισμό, την παραγωγή
: <math />
Δεν είναι γνωστό εάν {{Math|{{sqrt|2}}}} μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα BBP-τύπου φόρμουλα. BBP-τύπων τύπων είναι γνωστή για {{Math|π{{sqrt|2}}}} και {{Math|{{sqrt|2}}ln(1+{{sqrt|2}})}}, ωστόσο.<ref>{{Cite web|url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf|title=Archived copy|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110610050911/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf|archivedate=2011-06-10|dead-url=no|accessdate=2010-04-30}}</ref>
Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί από μια άπειρη σειρά Αιγυπτιακή κλάσματαμε παρονομαστές που ορίζεται από 2<sup>n</sup>th όρων της [[Λεονάρντο της Πίζας|Φιμπονάτσι]]-όπως αναδρομική σχέση a(n)=34α(n-1)-(n-2), a(0)=0, a(1)=6.<ref>{{Cite OEIS|A082405|2=a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6|accessdate=2016-09-05}}</ref>
: <math />
== Το συνεχιζόμενο κλάσμα εκπροσώπηση ==
[[Αρχείο:Dedekind_cut-_square_root_of_two.png|μικρογραφία|335x335εσ|Η τετραγωνική ρίζα του 2 και προσεγγίσεις από convergents του συνέχισε κλάσματα]]
Η τετραγωνική ρίζα του δύο έχει τις ακόλουθες συνεχιζόμενη κλάσμα αναπαράσταση:
: <math />
Το convergents που σχηματίζεται από την περικοπή αυτή η αναπαράσταση σχηματίζουν μια ακολουθία από τα κλάσματα που προσεγγίζουν την τετραγωνική ρίζα του δύο με αυξανόμενη ακρίβεια, και αυτό είναι που περιγράφεται από τον [[Αριθμοί του Πελ|Πελ αριθμούς]] (γνωστό και ως πλευρά, και η διάμετρος τους αριθμούς για τους αρχαίους Έλληνες, λόγω της χρήσης τους σε προσεγγίζει την αναλογία μεταξύ των πλευρών και της διαγωνίου του τετραγώνου). Το πρώτο convergents είναι: {{Math|{{sfrac|1|1}}, {{sfrac|3|2}}, {{sfrac|7|5}}, {{sfrac|17|12}}, {{sfrac|41|29}}, {{sfrac|99|70}}, {{sfrac|239|169}}, {{sfrac|577|408}}}}. Η συγκλίνουσα {{Math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} διαφέρει από {{Math|{{sqrt|2}}}} από σχεδόν ακριβώς {{Math|{{sfrac|1|2''q''{{sup|2}}{{sqrt|2}}}}}}{{Εκκρεμεί παραπομπή}} και, στη συνέχεια, την επόμενη συγκλίνουσα είναι {{Math|{{sfrac|''p'' + 2''q''|''p'' + ''q''}}}}.
== Ένθετη πλατεία αναπαραστάσεις ==
Τα ακόλουθα ένθετα πλατεία εκφράσεις να συγκλίνουν <math />:
: <math />
== Προέρχεται σταθερές ==
Το αντίστροφο της τετραγωνικής ρίζας του δύο (η τετραγωνική ρίζα του <span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;">1</span><span style="display:none;">/</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em; border-top:1px solid;">2</span>) είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο σταθερό.
<math /> {{Oeis|A010503|id=A010503}}
== Μέγεθος χαρτιού ==
Το (κατά προσέγγιση) αναλογία της μεγέθη χαρτιού κάτω από το ISO 216 (A4, A0, κ. λπ.) είναι 1:{{Math|{{sqrt|2}}}}. Αυτή η αναλογία των μηκών από την μικρότερη στην μεγαλύτερη πλευρά εγγυάται ότι κοπής ένα φύλλο στη μέση κατά μήκος μια γραμμή παράλληλη προς τη μικρότερη πλευρά αποτελέσματα στα μικρότερα φύλλα έχουν την ίδια (κατά προσέγγιση) αναλογία με το αρχικό φύλλο.
Απόδειξη:
Ας <math /> μικρότερο μήκος και <math /> πλέον το μήκος των πλευρών του ένα φύλλο χαρτί, με
: <math /> όπως απαιτείται από το πρότυπο ISO 216.
Ας <math /> είναι το ανάλογο αναλογία του στο μισό φύλλο και, στη συνέχεια,
: <math />.
== Δείτε επίσης ==
* Τετραγωνική ρίζα του 3
* [[Τετραγωνική ρίζα του 5]]
* Ασημένιο αναλογία, {{Math|1 + {{sqrt|2}}}}
* Η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι η [[Διάστημα (μουσική)|συχνότητα αναλογία]] της tritone διάστημα σε δώδεκα-τόνος ίση ιδιοσυγκρασία μουσική.
* Η τετραγωνική ρίζα του δύο μορφές της σχέσης [[Αριθμός διαφράγματος ανοίγματος|f-stops]] σε φωτογραφικών φακών, το οποίο με τη σειρά του σημαίνει ότι η αναλογία των ''περιοχών'' μεταξύ δύο διαδοχικών ανοιγμάτων είναι 2.
* Η ουράνια γεωγραφικό πλάτος (απόκλιση) του Ήλιου κατά τη διάρκεια ενός πλανήτη αστρονομικό σταυρό τετάρτων μέρα σημεία ισούται με την κλίση του πλανήτη άξονα που διαιρείται με {{Math|{{sqrt|2}}}}.
* Gelfond–Schneider σταθερή, {{Math|2<sup>{{sqrt|2}}</sup>}}.
* Viète φόρμουλα
== Σημειώσεις ==
{{Reflist|2}}
== Αναφορές ==
* {{Citation|last=Apostol|first=Tom M.|title=Irrationality of the square root of two – A geometric proof|year=2000|author-link=Tom M. Apostol|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=107|issue=9|pages=841–842|doi=10.2307/2695741|DOI=10.2307/2695741|jstor=2695741|JSTOR=2695741}}.
* {{Citation|title=[[Prior Analytics|Analytica priora]]|year=2007|surname=[[Aristotle]]|publisher=eBooks@Adelaide}}
* Επίσκοπος, Errett (1985), η Σχιζοφρένεια στα σύγχρονα μαθηματικά. Errett Bishop: αντανακλάσεις αυτόν και την έρευνα (San Diego, Calif., 1983), 1-32, Contemp. Μαθηματικά. 39, Amer. Μαθηματικά. Soc., Providence, RI.
* {{Citation|last=Flannery|first=David|title=The Square Root of Two|year=2005|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-20220-X|ISBN=0-387-20220-X}}.
* {{Citation|title=Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context|url=http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf|year=1998|surname=Fowler|last2=Robson|first1=David|first2=Eleanor|author-link=David Fowler (mathematician)|author2-link=Eleanor Robson|journal=Historia Mathematica|volume=25|issue=4|pages=366–378|doi=10.1006/hmat.1998.2209|DOI=10.1006/hmat.1998.2209}}.
* {{Citation|title=The generalized serial test and the binary expansion of {{math|{{sqrt|2}}}}|year=1967|surname=Good|last2=Gover|first1=I. J.|first2=T. N.|author-link=I. J. Good|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series A|volume=130|issue=1|pages=102–107|doi=10.2307/2344040|DOI=10.2307/2344040|jstor=2344040|JSTOR=2344040}}.
* {{Citation|last=Henderson|first=David W.|title=Geometry At Work: Papers in Applied Geometry|url=http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html|year=2000|pages=39–45|contribution=Square roots in the Śulba Sūtras|publisher=Cambridge University Press|editor-last=Gorini|editor-first=Catherine A.|isbn=978-0-88385-164-7|ISBN=978-0-88385-164-7}}.
== Εξωτερικές συνδέσεις ==
* [[gutenberg:129|Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία]] από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff. Μπορεί, 1994.
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Τετραγωνική ρίζα του 2 είναι παράλογο], μια συλλογή από δοκίμια
* {{Cite web|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|title=The Square Root {{math|{{sqrt|2}}}} of Two|last=Grime|first=James|last2=Bowley, Roger|website=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]}}[[Κατηγορία:Άρρητοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Άρρητοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές]]
| 