Θεωρία κατηγοριών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Μια παρατήρηση πάνω στις κλάσεις, τα σύνολα και τις συλλογές. |
μ Μερικές απλές διορθώσεις σε κάποια σημεία για να είναι πιο ευανάγνωστα. |
||
Γραμμή 7:
== Μια αφαίρεση άλλων μαθηματικών εννοιών ==
Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν ως κατηγορίες. Η Θεωρία Κατηγοριών είναι μια αφηρημένη μαθηματική θεωρία που όμως συχνά μας επιτρέπει
Το πιο προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία [[σύνολο|συνόλων]], συμβολίζεται με '''Set''', όπου τα αντικείμενα της είναι σύνολα και τα βέλη είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν είναι υποχρεωτικό να είναι πάντα σύνολα ούτε τα βέλη (οι μορφισμοί) πάντα συναρτήσεις. Οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας που ικανοποιεί τους βασικούς κανόνες (αξιώματα) της Θεωρίας Κατηγοριών, για τη συμπεριφορά των αντικειμένων και των βελών είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της Θεωρίας Κατηγοριών θα ισχύουν για αυτήν.
Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα μιας κατηγορίας είναι αυτό του ''groupoid'', που ορίζεται ως μια κατηγορία τα της οποίας τα βέλη, ή οι μορφισμοί όπως αλλιώς λέγονται, είναι όλα αντιστρέψιμα. Η έννοια ''groupoid'' είναι σημαντική στην τοπολογία. Οι κατηγορίες εμφανίζονται τώρα στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών,σε μερικούς τομείς της θεωρητικής πληροφορικής όπου αντιστοιχούν τους τύπους, και της μαθηματικής φυσικής όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν
Η Θεωρία Κατηγοριών είναι γνωστή σε διάφορα πρόσωπα όχι μόνο στους ειδικούς, αλλά και σε άλλους μαθηματικούς. Ένας όρος που χρονολογείται από τη δεκαετία του '40, «γενικές αφηρημένες αηδίες», αναφέρεται στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσής, έναντι των περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών. Η Ομολογιακή [[Άλγεβρα]] είναι θεωρία κατηγορίας στην πτυχή της οργάνωσης και υποβολής προτάσεων των χειρισμών στην αφηρημένη άλγεβρα.
Γραμμή 17:
=== Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί ===
Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλληφθεί αξιωματικά τι βρίσκεται συνήθως στις διάφορες κατηγορίες σχετικών μαθηματικών δομών με το συσχετισμό τους στη δομή-συντηρώντας λειτουργίες μεταξύ τους. Μια συστηματική μελέτη της Θεωρίας Κατηγοριών επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας.Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.Η κατηγορία των ομάδων, '''Grp''', αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν μια «δομή ομάδας», αυτά είναι τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας. Κάποιος μπορεί να προχωρήσει να αποδείξει τα θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο αξιωμάτων. Παραδείγματος χάριν, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό.
Αντί όμως να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα (π.χ., ομάδες) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η Θεωρία Κατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς –δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή– μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της '''Grp'''.
Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει έπειτα ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας.Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων
=== Συναρτητές ( Functors ) ===
Μια κατηγορία είναι από μόνη της ένας τύπος μαθηματικής δομής, έτσι μπορούμε να
Η χάραξη διαγραμμάτων είναι μια οπτική μέθοδος που υποστηρίζεται με τα αφηρημένα «βέλη» που ενώνονται σε διαγράμματα. Το Functors αντιπροσωπεύεται από τα βέλη μεταξύ των κατηγοριών, υπό τον όρο στους συγκεκριμένους όρους commutativity καθορισμού. Το Functors μπορεί να καθορίσει (κατασκεύασμα) τα κατηγορικά διαγράμματα και τις ακολουθίες (δηλαδή Mitchell, 1965). Ένα functor συνδέει σε κάθε αντικείμενο μιας κατηγορίας ένα αντικείμενο μιας άλλης κατηγορίας, και σε κάθε μορφισμό στην πρώτη κατηγορία ένα μορφισμό στη δεύτερη.
| |||