Φυσικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται το [[μηδέν]] στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι '''[[Ακέραιος αριθμός| θετικοί ακέραιοι]]''' 1, 2, 3,... ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους '''μη-αρνητικούς ακέραιους '''0, 1, 2, 3, .... Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο ''φυσικό αριθμό'' αποκλείοντας το 0 και ''ακέραιο αριθμό'' για να το συμπεριλάβουν. Άλλοι χρησιμοποιούν τον όρο ''ακέραιο αριθμό'' κατά τρόπο που να περιλαμβάνει τόσο το μηδέν όσο και τους αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή ως ισοδύναμο του ''ακεραίου '' όρου.

*[[Προσεταιριστική ιδιότητα|Προσεταιριστικότητα]]: : για όλους τους φυσικούς αριθμούς ''a'', ''b'', και ''c'', {{nowrap|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} και {{nowrap|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.

*ExistenceΎπαρξη ofτου [[identityμοναδιαίου element]]s:στοιχείου forγια everyκάθε naturalφυσικό numberαριθμό ''a'', που στην πράξη της πρόσθεσης είναι το 0 έτσι ώστε {{nowrap|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} andκαι στον πολλαπλασιασμό το 1 έτσι ώστε {{nowrap|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.

*Χωρίς [[Διαιρέτης|μηδενικούς διαιρέτες]]s: Εάν ''a'' και ''b'' είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε {{nowrap|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, τότε {{nowrap|''a'' {{=}} 0}} orή {{nowrap|''b'' {{=}} 0}} ή {{nowrap|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} 0}}.