Νιοστή ρίζα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
προσθ |
||
Γραμμή 16:
== Ιδιότητες και ταυτότητες ==
=== Γενικά ===
* <math>(\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\alpha</math>, διότι, εφόσον <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha</math>, τότε <math>(\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\beta^\nu=\alpha</math><ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 59</ref>▼
* Εάν <math>\nu</math> άρτιος και <math>\alpha>0</math>, τότε η <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math> έχει δύο ρίζες τον πραγματικό αριθμό <math>\beta</math> και τον αντίθετό του <math>-\beta</math> επειδή <math>\beta^\nu=\alpha</math> και <math>(-\beta)^\nu=\alpha</math>.▼
* Πάντα ισχύει <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha</math>, λόγο του ορισμού.<ref name=":0" />
*: Παράδειγμα: η <math>\sqrt[4]{16}</math> έχει ρίζες τον αριθμό <math>2</math> και τον αντίθετό του <math>-2</math>, διότι <math>2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16</math> και <math>(-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16</math>▼
*: Σε πρακτικές εφαρμογές δεν έχουν έννοια και οι δύο ρίζες, οπότε λαμβάνουμε υπόψη μας μία από τις δύο, συνήθως την θετική που ονομάζεται ''κύρια <math>\nu</math>-οστή ρίζα'' (principal root).<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 60</ref>▼
▲*
*<math>\sqrt[\nu]{0}=0</math>, διότι <math>0^\nu=0</math>για κάθε φυσικό αριθμό <math>\nu</math>.<ref name=":1">Τόγκας Πέτρος, σελ. 61</ref>
*<math>\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}</math>, αν <math>\alpha</math>πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. <math>\alpha\in\R</math>και <math>\alpha\geq0</math>) και οι <math>\nu, \mu, \rho</math>φυσικοί αριθμοί (δηλ. <math>\nu, \mu, \rho\in\Z</math>).<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 173</ref>
=== Ρίζες άρτιας τάξης ===
▲*
▲
▲
* Εάν <math>\nu</math> άρτιος και <math>\alpha<0</math>, τότε η <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math> δεν έχει ρίζα (δεν έχει έννοια), διότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός <math>\beta</math>, τέτοιος ώστε <math>\beta^\nu</math>να έχει αποτέλεσμα το <math>\alpha<0</math>. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα <math>2^4=16> 0</math>και <math>(-2)^4=16>0</math>, σε καμιά περίπτωση δεν έχουμε αποτέλεσμα <math>-16</math> , ώστε η <math>\sqrt[4]{-16}</math>να έχει ρίζα.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 60</ref> Η ρίζα αυτή δεν έχει έννοια στο σύνολο τον πραγματικών αριθμών και γιαυτό λέγεται ''φανταστική παράσταση'' και αντιμετωπίζεται με την χρήση των [[Φανταστικός αριθμός|φανταστικών αριθμών]].<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 171</ref>
=== Ρίζες περιττής τάξης ===
Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μόνο μία ρίζα περιττής τάξης.<ref name=":1" /> Συγκεκριμένα:
*Εάν <math>\nu</math> περιττός και <math>\alpha>0</math>, τότε η <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math> έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η <math>\sqrt[3]{8}</math> έχει ρίζα τον αριθμό <math>2</math> διότι <math>2^3=2\cdot2\cdot2=8</math>.
*Εάν <math>\nu</math> περιττός και <math>\alpha<0
</math>, τότε η <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math> έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η <math>\sqrt[3]{-8}</math> έχει ρίζα τον αριθμό <math>-2</math> διότι <math>(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8</math>.
== Δείτε επίσης ==
| |||