Νιοστή ρίζα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
δρθ + πρσθ |
||
Γραμμή 1:
Στα [[μαθηματικά]] η '''<math>\nu</math>-οστή ρίζα''' ενός πραγματικού αριθμού <math>\alpha</math>, όταν το <math>\nu</math> είναι [[φυσικός αριθμός]] <math>>1</math>, είναι ο [[πραγματικός αριθμός]] <math>\beta</math>, αν <math>\beta^\nu=\alpha</math>. Η <math>\nu</math>-οστή ρίζα του αριθμού <math>\alpha</math> συμβολίζεται με <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math>, το σύμβολο <math>\sqrt{\;\;\;\;}</math> λέγεται ''ριζικό'', το ''<math>\nu</math>'' ''δείκτης'' του ριζικού, ο αριθμός <math>\alpha</math> ''υπόρριζο'' και γράφεται <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta</math> εάν <math>\beta^\nu=\alpha</math>. Αν ο δείκτης ''<math>\nu</math>'' είναι [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί|άρτιος]], ή ρίζα λέγεται ''άρτια'' ή ''άρτιας τάξεως'' και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται ''περιττή'' ή ''περιττής τάξεως''. Ένας πραγματικός αριθμός έχει 0, 1 ή 2 <math>\nu</math>-οστές ρίζες, το οποίο εξαρτάται από το <math>\nu</math> και το [[Πρόσημα|πρόσημο]] του'' <math>\alpha</math>''.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 170</ref>
Όταν <math>\nu=2</math>, η <math>\nu</math>-οστή ρίζα του <math>\alpha</math> συμβολίζεται <math>\sqrt{\alpha}</math> και διαβάζεται [[Τετραγωνική ρίζα|''τετραγωνική'' ή ''δευτέρα'' ρίζα]] του <math>\alpha</math>. Όταν <math>\nu=3</math> συμβολίζεται <math>\sqrt[3]{\alpha}</math> και διαβάζεται ''κυβική'' ή ''τρίτη'' ρίζα του <math>\alpha</math>. Όταν <math>\nu=4, 5, 6, ...</math> συμβολίζεται <math>\sqrt[4]{\alpha}</math>, <math>\sqrt[5]{\alpha}</math>, <math>\sqrt[6]{\alpha}</math>, <math>...</math> και διαβάζεται ''τέταρτη'', ''πέμπτη'', ''έκτη'', ... ρίζα του <math>\alpha</math>.
Γραμμή 18:
* Τον πραγματικό αριθμό <math>\alpha</math> πού λέγεται ''υπόρριζο''.''<ref name=":2" />''
* Το σύμβολο <math>\sqrt{\;\;\;\;}</math>, που λέγεται ''ριζικό<ref name=":2" />'' (radical sign) και η οριζόντια γραμμή του πρέπει να καλύπτει πλήρως το υπόρριζο. Παράδειγμα: <math>\sqrt{\alpha\gamma}\neq\sqrt{\alpha}\gamma=\gamma\sqrt{\alpha}</math>
* Τον φυσικό αριθμό <math>\nu</math>, που λέγεται δείκτης του ριζικού<ref name=":0" /> ή βαθμός της ρίζας (degree).
* Αν ο δείκτης <math>\nu</math> είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται ''άρτια'' ή ''άρτιας τάξεως'' και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται ''περιττή'' ή ''περιττής τάξεως.''<ref name=":0">Τόγκας Πέτρος, σελ. 59</ref>
Γραμμή 26:
== Ιδιότητες και ταυτότητες ==
Λόγω του ότι ο ορισμός της <math>\nu</math>-οστής ρίζας βασίζεται στην εξίσωση <math>\beta^\nu=\alpha</math> , οι ιδιότητες των ριζών απορρέουν από τις ιδιότητες των [[Δύναμη (μαθηματικά)|δυνάμεων]].<ref name=":3" />
=== Γενικά ===
* Πάντα ισχύει <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha</math>, λόγο
*<math>(\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\alpha</math>, διότι ισχύει <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha</math>, τότε <math>(\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\beta^\nu=\alpha</math><ref name=":0">Τόγκας Πέτρος, σελ. 59</ref>
*<math>\sqrt[\nu]{0}=0</math>, διότι <math>0^\nu=0</math> για κάθε φυσικό αριθμό <math>\nu</math>.<ref name=":1">Τόγκας Πέτρος, σελ. 61</ref>
*<math>\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}</math>, αν <math>\alpha</math> πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. <math>\alpha\in\R</math>και <math>\alpha\geq0</math>) και οι <math>\nu, \mu, \rho</math> φυσικοί αριθμοί (δηλ. <math>\nu, \mu, \rho\in\Z</math>).<ref name=":4">Τόγκας Πέτρος, σελ. 173</ref> Οι εφαρμογές της ιδιότητας αυτής είναι οι εξής:<ref name=":4" />
*#Απλοποίηση ριζών, παραδείγματα: <math>\sqrt[6]{\alpha^3}=\sqrt[2\cdot3]{\alpha^3}=\sqrt[]{\alpha}</math> και <math>\sqrt[6]{\alpha^6\cdot\beta^{2\cdot\lambda}}=</math><math>\sqrt[2\cdot3]{\alpha^{2\cdot3}\cdot\beta^{2\cdot\lambda}}=</math><math>\sqrt[2\cdot3]{(\alpha^{3}\cdot\beta^{\lambda})^2}=</math><math>\sqrt[2]{\alpha^{3}\cdot\beta^{\lambda}}</math>
*#Μετατροπή ριζών σε ισοδύναμους (ισόβαθμους), απαραίτητο όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ τους. Παράδειγμα: η ρίζα <math>\nu</math> βαθμού <math>\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}</math> μετατρέπεται σε <math>\nu\cdot\rho</math> βαθμού.
=== Ρίζες άρτιας τάξης ===
==== Έχουμε 2 ρίζες ====
:: Παράδειγμα: η <math>\sqrt[4]{16}</math> έχει ρίζες τον αριθμό <math>2</math> και τον αντίθετό του <math>-2</math>, διότι <math>2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16</math> και <math>(-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16</math>
::
* Εάν <math>\nu</math> άρτιος και <math>\alpha<0</math>, τότε η <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math> δεν έχει ρίζα (δεν έχει έννοια), διότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός <math>\beta</math>, τέτοιος ώστε <math>\beta^\nu</math>να έχει αποτέλεσμα το <math>\alpha<0</math>. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα <math>2^4=16> 0</math>και <math>(-2)^4=16>0</math>, σε καμιά περίπτωση δεν έχουμε αποτέλεσμα <math>-16</math> , ώστε η <math>\sqrt[4]{-16}</math> να έχει ρίζα.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 60</ref> Η ρίζα αυτή δεν έχει έννοια στο σύνολο τον πραγματικών αριθμών και γιαυτό λέγεται ''φανταστική παράσταση'' και αντιμετωπίζεται με την χρήση των [[Φανταστικός αριθμός|φανταστικών αριθμών]].<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 171</ref>▼
==== Έχουμε 0 ρίζες ====
▲
=== Ρίζες περιττής τάξης ===
==== Έχουμε 1 ρίζα ====
Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μόνο μία ρίζα περιττής τάξης.<ref name=":1" /> Συγκεκριμένα:
| |||