Νιοστή ρίζα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
πρσθ |
πρσθ + δρθ |
||
Γραμμή 2:
Όταν <math>\nu=2</math>, η <math>\nu</math>-οστή ρίζα του <math>\alpha</math> συμβολίζεται <math>\sqrt{\alpha}</math> και διαβάζεται [[Τετραγωνική ρίζα|''τετραγωνική'' ή ''δευτέρα'' ρίζα]] του <math>\alpha</math>. Όταν <math>\nu=3</math> συμβολίζεται <math>\sqrt[3]{\alpha}</math> και διαβάζεται ''κυβική'' ή ''τρίτη'' ρίζα του <math>\alpha</math>. Όταν <math>\nu=4, 5, 6, ...</math> συμβολίζεται <math>\sqrt[4]{\alpha}</math>, <math>\sqrt[5]{\alpha}</math>, <math>\sqrt[6]{\alpha}</math>, <math>...</math> και διαβάζεται ''τέταρτη'', ''πέμπτη'', ''έκτη'', ... ρίζα του <math>\alpha</math>.
== Όροι των ριζών ==
Σε μία <math>\nu</math>-οστή ρίζα που γράφεται <math>\sqrt[\nu]{\alpha}</math> έχουμε:
* Τον πραγματικό αριθμό <math>\alpha</math> πού λέγεται
* Το σύμβολο <math>\sqrt{\;\;\;\;}</math>, που λέγεται ''ριζικό<ref name=":2" />'' (radical sign) και η οριζόντια γραμμή του πρέπει να καλύπτει πλήρως το υπόρριζο. Παράδειγμα: <math>\sqrt{\alpha\gamma}\neq\sqrt{\alpha}\gamma=\gamma\sqrt{\alpha}</math>
Γραμμή 24 ⟶ 14 :
* Αν <math>\nu=3</math> συμβολίζεται <math>\sqrt[3]{\alpha}</math> και διαβάζεται ''κυβική'' ή ''τρίτη'' ρίζα του <math>\alpha</math>(cube root).<ref name=":2" />
* Δύο ρίζες λέγονται ''ισοδύναμες'' ή ''ισοβάθμιοι'', όταν οι δείκτες του ριζικού τους ή αλλιώς οι βαθμοί τους είναι ίσοι. Για παράδειγμα οι ρίζες <math>\sqrt[\nu]{\alpha},\;\sqrt[\mu]{\beta},\;\sqrt[\rho]{\gamma}</math> λέγονται ισοδύναμες όταν <math>\nu=\mu=\rho</math>.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 173-174</ref>
*''Συντελεστής'' μιάς ρίζας είναι οι παράγοντες που βρίσκονται εκτός του ριζικού.<ref name=":6">Τόγκας Πέτρος, σελ. 179</ref> Παράδειγμα: στην ισότητα <math>\sqrt{\alpha}\beta\gamma=\beta\gamma\sqrt{\alpha}</math>, το <math>\beta\gamma</math>, είναι ο συντελεστής της ρίζας.
*''Όμοιες'' λέγονται δύο ρίζες που έχουν τον ίδιο δείκτη (ή βαθμό) και το ίδιο υπόρριζο.<ref name=":6" />
== Ιδιότητες και ταυτότητες ==
Γραμμή 46 ⟶ 38 :
\sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}</math>.<ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 176-177. Υπάρχει απόδειξη.</ref>
* <math>(\sqrt[\mu]{\alpha})^\nu=\sqrt[\mu]{\alpha^\nu}</math>, δεν ισχύει πάντα (ή ισότητα δεν είναι πάντα ''πλήρης'') όταν <math>\alpha>0</math> και <math>\mu</math> και <math>\nu</math> άρτιοι. Παράδειγμα: δεν ισχύει πάντα η ισότητα <math>(\sqrt{4})^2=
\sqrt{4^2}</math>, διότι αν πάρουμε το πρώτο μέλος της έχουμε: <math>(\sqrt{4})^2=(\pm2)^2=4</math>, ενώ από το δεύτερο έχουμε:<math>\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=\pm4</math>. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε υπόψη μόνο τη θετική ρίζα.<ref name=":5">Τόγκας Πέτρος, σελ. 177-178</ref>
*<math>\sqrt[\nu]{\sqrt[\mu]{a}}=\sqrt[\nu\cdot\mu]{a}</math><ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 178-179. Υπάρχει απόδειξη.</ref>
*<math>\sqrt[\nu]{\alpha^\mu}=\alpha^\tfrac{\mu}{\nu}</math><ref>Τόγκας Πέτρος, σελ. 188-189. Την ισότητα <math>\sqrt[\nu]{\alpha^\mu}=\alpha^\tfrac{\mu}{\nu}</math>την λαμβάνει «εξ ορισμού», δηλαδή χωρίς απόδειξη.</ref>
=== Ρίζες άρτιας τάξης ===
==== Έχουμε 2 ρίζες ====
Εάν <math>\nu</math> άρτιος και <math>\alpha>0</math>, τότε <math>\sqrt[\nu]{\alpha}=\pm\beta</math>, δηλαδή έχει δύο ρίζες τον πραγματικό αριθμό <math>\beta</math> και τον [[Αντίστροφος|αντίθετό]] του <math>-\beta</math> επειδή <math>\beta^\nu=\alpha</math> και <math>(-\beta)^\nu=\alpha</math>. Γιαυτό το λόγο, η ισότητα <math>(\sqrt[\mu]{\alpha})^\nu=\sqrt[\mu]{\alpha^\nu}</math>, δεν είναι πάντα πλήρης.<ref name=":5">Τόγκας Πέτρος, σελ. 177-178</ref>
:: Παράδειγμα: η <math>\sqrt[4]{16}</math> έχει ρίζες τον αριθμό <math>2</math> και τον αντίθετό του <math>-2</math>, διότι <math>2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16</math> και <math>(-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16</math>
| |||