Λογισμός των μεταβολών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο '''λογισμός των μεταβολών''' ή '''μεταβολικός λογισμός''' είναι κλάδος της [[Μαθηματική ανάλυση|μαθηματικής ανάλυσης]] που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησιακών ή [[Συναρτησοειδές|συναρτησοειδών,]] οιτα οποίεςοποία είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο [[Συνάρτηση|συναρτήσεων]] στους [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμούς.]] Τα συναρτησοειδήσυναρτησιακά συχνά εκφράζονται ως ορισμένα [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]] συναρτήσεων και [[Παράγωγος|παραγώγων]] αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ''ακρότατες συναρτήσεις'', που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις ''στάσιμες συναρτήσεις'', για τις οποίες η τιμή του συναρτησοειδούςσυναρτησιακού παραμένει αμετάβλητη.

Ο λογισμός των μεταβολών ασχολείται με μέγιστα ή ελάχιστα συναρτησοειδώνσυναρτησιακών, τα οποία συλλογικά ονομάζονται '''ακρότατα'''. Ένα συναρτησοειδέςσυναρτησιακό εξαρτάται από μια [[συνάρτηση]], όπως, κατ' αναλογία, μια συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται από μία αριθμητική [[Μεταβλητή (μαθηματικά)|μεταβλητή]], γι' αυτό και ένα συναρτησοειδέςσυναρτησιακό έχει περιγραφτεί ως συνάρτηση μίας συνάρτησης. Τα συναρτησοειδήσυναρτησιακά έχουν ακρότατα ως προς τα στοιχεία {{math|''y''}} δεδομένου χώρου συναρτήσεων με συγκεκριμένο πεδίο ορισμού. Ένα συναρτησοειδέςσυναρτησιακό {{math|''J'' [ ''y'' ]}} έχει ακρότατο στη συνάρτηση {{math|''f''&nbsp; }} αν η {{math|''&Delta;J'' {{=}} ''J'' [ ''y'' ] - ''J'' [ ''f'']}} έχει το ίδιο [[πρόσημο]] για κάθε {{math|''y''}} που ανήκει σε μία αυθαίρετα μικρή περιοχή της {{math|''f'' .}}{{refn|Η περιοχή του {{math|''f''}} είναι το τμήμα του δεδομένου χώρου συναρτήσεων όπου {{math|<nowiki>|</nowiki> ''y'' - ''f''<nowiki>|</nowiki> < h}} σε όλο το συναρτησιακό πεδίο ορισμού, με το {{math|h}} να είναι (αυστηρά) θετικός αριθμός που δίνει το πλάτος της περιοχής.<ref name='CourHilb1953P169'>{{cite book | last1=Courant | first1=R | authorlink1=Richard Courant | last2=Hilbert | first2=D | authorlink2=David Hilbert | title = Methods of Mathematical Physics | volume = Vol. I | edition = First English | ref=harv | publisher = Interscience Publishers, Inc | year = 1953 | location = New York | page = 169 | isbn = 978-0471504474}}</ref> |group="Σημείωση"}} Η συνάρτηση {{math|''f''}} ονομάζεται [[ακρότατη]] συνάρτηση. Το ακρότατο {{math|''J'' [ ''f'' ]}} ονομάζεται μέγιστο αν {{math|''&Delta;J'' &le; 0}} σε μία οσοδήποτε μικρή περιοχή της {{math|''f'' ,}} και ελάχιστο αν {{math|''&Delta;J'' &ge; 0}} αντίστοιχα. Σε ένα χώρο συνεχών συναρτήσεων, τα ακρότατα των αντίστοιχων συναρτησοειδώνσυναρτησιακών λέγονται '''ασθενή ακρότατα''' ή '''ισχυρά ακρότατα,''' ανάλογα με το αν οι [[Παράγωγος|πρώτοι παράγωγοι]] των συνεχών συναρτήσεων είναι αντίστοιχα κατ' ανάγκην όλες συνεχείς ή όχι.<ref name="GelfandFominPP12to13">{{harvnb|Gelfand|Fomin|2000|pp = 12–13}}</ref>

Τόσο τα ισχυρά όσο και τα ασθενή ακρότατα ενός συναρτησοειδούςσυναρτησιακού αναφέρονται σε ένα διάστημα συνεχών συναρτήσεων, όμως το ασθενές ακρότατο έχει την πρόσθετη προϋπόθεση οι πρώτοι παραγώγοιπαράγωγοι των συναρτήσεων στο διάστημα να είναι συνεχείς. Έτσι, ένα ισχυρό ακρότατο είναι ταυτόχρονα και ασθενές, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει. Η εύρεση των ισχυρών ακρότατων είναι πιο δύσκολη σε σχέση με την εύρεση ασθενών.<ref name="GelfandFominP13">{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 |p = 13}}</ref> Ένα παράδειγμα που αποτελεί [[αναγκαία συνθήκη]] και χρησιμοποιείται για την εύρεση ασθενών ακρότατων είναι η [[Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ|εξίσωση Euler-Lagrange.]]<ref name="GelfandFominPP14to15">{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 |pp = 11-12, 99}}</ref> {{refn | group="Σημείωση" | name=SectionVarSuffCond | Για μια ικανή συνθήκη, δείτε την ενότητα [[Λογισμός των μεταβολών#Μεταβολές και ικανή συνθήκη ελαχίστου|Μεταβολές και ικανή συνθήκη ελαχίστου.]]}}

: Αν το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό {{math|''J''[''y'' ]}} επιτυγχάνει ένα [[τοπικό μέγιστο]] στην {{math|''f'' ,}} και η {{math|''&eta;''(''x'')}} είναι μία αυθαίρετη συνάρτηση η οποία έχει τουλάχιστον μία παράγωγο και μηδενίζεται στα όρια ολοκλήρωσης {{math|''x''₁}} και {{math|''x''₂ ,}} τότε για κάθε αριθμό {{math|''&epsilon;''}} κοντά στο 0,

Αντικαθιστώντας όπου &nbsp;{{math|''y''}} το {{math|''f'' + ''&epsilon;&eta;''}}&nbsp; στο συναρτησοειδέςσυναρτησιακό {{math|''J''[ ''y'' ] ,}} το αποτέλεσμα είναι μια συνάρτηση του {{math|''&epsilon;}}'',''

Δεδομένου ότι το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό {{math|''J''[ ''y'' ]}} παίρνει ελάχιστο για {{math|''y'' {{=}} ''f'' ,}} η συνάρτηση {{math|&Phi;(''&epsilon;'')}} έχει ελάχιστο στο {{math|''&epsilon;'' {{=}} 0}} και έτσι <ref group="Σημείωση">Το γινόμενο {{math|''&epsilon;''&Phi;&prime;(0)}} καλείται [[πρώτη μεταβολή]] του {{math|''J''}} και συμβολίζεται ως {{math|''&delta;J''}}. Στη βιβλιογραφία, η πρώτη μεταβολή ορίζεται κάποιες φορές διαφορετικά, χωρίς τον παράγοντα {{math|''&epsilon;'' .}}</ref>

το οποίο λέγεται '''εξίσωση Euler–Lagrange.''' Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ονομάζεται [[συναρτησιακή παράγωγος|συναρτησιακή]] ή [[συναρτησιακή παράγωγος|μεταβολική παράγωγος]] της {{math|''J''[''f'']}} και συμβολίζεται με {{math|''δJ''/''δf''(''x'') .}}

Η εξίσωση των Euler–Lagrange θα χρησιμοποιηθεί τώρα για την εύρεση της ακρότατης συνάρτησης {{math|''f'' (''x'')}} η οποία ελαχιστοποιεί τηντο συναρτησοειδήσυναρτησιακό {{math|''A''[''y'' ] .}}

Παίρνωντας τωραΛαμβάνοντας τώρα την παράγωγο {{math|''d/dx''}}, μετά από απλοποιήσεις καταλήγουμε στην

και έχουμε τότε βρει την ακρότατη συνάρτηση {{math|''f''(''x'')}} που ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό {{math|''A''[''y'']}} έτσι ώστε {{math|''A''[''f'']}} να είναι ελάχιστο. Να σημειώσουμε εδώ ότι η {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, με άλλα λόγια, η βραχύτερη απόσταση μεταξύ δυο σημείων είναι μία ευθεία.{{refn | Για την ιστορία, αυτό είναι το αξίωμα του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη.]] Δείτε π.χ. {{cite book|last=Kelland|first=Philip|authorlink=Philip Kelland|title=Lectures on the principles of demonstrative mathematics|year=1843|publisher=Google Books|page=58|url=https://books.google.com/books?id=yQCFAAAAIAAJ&pg=PA58}} |group = "Σημείωση"|name = ArchimedesStraight}}

O πρώτος που έδωσε καλές συνθήκες για να έχουν οι εξισώσεις Euler-Lagrange στάσιμη λύση ήταν ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ.]] Μέσα σε μια κυρτή επιφάνεια και μία θετική τρεις φορές παραγωγίσιμη ΛαγκραζιανήΛαγρανζιανή οι λύσεις αποτελούνται απο ένα αριθμήσιμο συνόλο από τομές που είτε εντοπίζονται κατά μήκος του συνόρου, είτε ικανοποιούν τις εξισώσεις Euler-Lagrange στο εσωτερικό.

Ζητείται η ελαχιστοποίηση του συναρτησοειδούςσυναρτησιακού <math display="inline">V</math> με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων <math display="inline">\varphi : D \rightarrow \mathbb{R}</math> (όπου το <math display="inline">D</math> έχει δεδομένο σύνορο). Αν <math display="inline">u</math> είναι μία συνάρτηση ελαχιστοποίησης και <math display="inline">v</math> είναι μία αυθαίρετη ομαλή συνάρτηση που μηδενίζεται στο σύνορο του <math display="inline">D,</math> τότε η πρώτη μεταβολή της <math>V[u + \varepsilon v]</math> πρέπει να μηδενίζεται:

Αποδεικνύεται (δείτε [http://www.amazon.com/Calculus-Variations-Dover-Books-Mathematics/dp/0486414485 Gelfand και Fomin 1963]) ότι η συνάτησησυνάρτηση ελαχιστοποίησης <math display="inline">u</math> είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την εξίσωση των Euler-Lagrange. Το αντίστοιχο <math display="inline">\lambda</math> συμβολίζεται ως <math display="inline">\lambda_1 ^{\ .}</math> αυτό είναι η μικρότερη ιδιοτιμή για τη δεδομένη εξίσωση (υπ' όψη των περιορισμών του <math display="inline">Q</math>). Επίσης, θα γράφουμε <math display="inline">u_1(x)</math> για την αντίστοιχη συνάρτηση ελαχιστοποίησης. Αυτός ο τρόπος εύρεσης ιδιοτιμών οδηγεί στη μέθοδο Rayleigh–Ritz: επιλέγουμε μία συνάρτηση προσέγγισης <math display="inline">u</math> την οποία εκφράζουμε ως γραμμικό συνδιασμό των συναρτήσεων μίας βάσης συναρτήσεων (για παράδειγμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων), και αυτόν τον γραμμικό συνδυασμό τον ελαχιστοποιούμε σε πεπερασμένο πλήθος διαστάσεων. Αυτή η μέθοδος συνήθως είναι εκπληκτικά ακριβής.

Στο ίδιο πρόβλημα μεταβολών καταλήγουμε επίσης και όταν έχουμε πιο γενικές οριακές συνθήκες. Αντί να απαιτούμε το μηδενισμό της <math display="inline">\varphi</math> στα όρια ολοκλήρωσης μπορούμε να μην επιβάλουμεεπιβάλλουμε κανέναν περιορισμό και να θέσουμε

Η συνάτησησυνάρτηση ελαχιστοποίησης <math display="inline"> u</math> πρέπει επίσης να ικανοποιεί τη φυσική οριακή συνθήκη

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση μπορούν να υπολογιστούν οι ακτίνες φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της [[Λαγκατζιανής οπτικής|Λαγρανζιανής οπτικής]], καθώς και της [[Χαμιλτονιανής οπτικής]].

Από την τελευταία μορφή έπεται ότι αν μπορέσουμε να βρούμε συνάρτηση <math display="inline">\psi (X)</math> τέτοια ώστε <math>\nabla \psi = P,</math> τότε το ολοκλήρωμα {{math|''A''}} δίνεται από τη διαφορά <math>\psi (X(t_1)) - \psi (X(t_0)).</math> Επομένως, το πρόβλημα της μελέτης των καμπυλών για τις οποίες το ολοκλήρωμα είναι στάσιμο συνδεέται με τη μελέτη των [[Σταθμικό σύνολο|σταθμικών επιφανειών]] (level surfaces) της <math display="inline">\psi .</math> Για την εύρεση μίας τέτοιας συνάρτησης θα χρησιμοποιήσουμε την κυματική εξίσωση, που περιγράφει τη διάδοση του φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται ως γενικό πλαίσιο στη [[Λαγκατζιανή οπτική|Λαγρανζιανή οπτική]] και στην [[Χαμιλτονιανή οπτική]].

Στην κλασσική μηχανική, η δράση, ''S'', ορίζεται ως η χρονική ολοκλήρωση της Λαγκρανζιανής,Λαγρανζιανής ''L''. Η ΛαγκρανζιανήΛαγρανζιανή είναι η διαφορά των ενεργειών,

όπου ''T'' είναι η [[κινητική ενέργεια]] ενός μηχανικού συστήματος και ''U'' η [[δυναμική του ενέργεια]]. Η [[αρχή του Hamilton]] (ή η αρχη της ελάχιστης δράσης) υποστηρίζει οτιότι η κίνηση σε ένα συντηρητικό ολονομικό (με ακέραιους περιορισμούς) μηχανικό σύστημα είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα της δράσης

Η [[μηχανική του Hamilton]] προκύπτει εαν θέσουμε τις συζυγείς ορμές στη θέση του <math>\dot x</math>, και η ΛαγκρανζιανήΛαγρανζιανή ''L'' αντικατασταθεί από την Χαμιλτονιανή ''H, η οποία ορίζεται ως''

Η Χαμιλτονιανή είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος: ''H'' = ''T'' + ''U''. Η αναλογία με τις αρχές του Fermat ορίζει ότι οι λύσεις των ΛαγκρανζιανώνΛαγρανζιανών εξισώσεων (οι τροχές των σωματιδίων) μπορούν να περιγραφούν σε όρους επιπέδων των επιφανειών μιας συνάρτησης του ''X''. Αυτή η συνάρτηση είναι η λύση της [[εξίσωσης Hamilton–Jacobi]] :

Ο Λογισμός των μεταβολών ασχολείται με τις μεταβολές των συναρτησοειδώνσυναρτησιακών, οι οποίες είναι μικρές μεταβολές στην αξία του συναρτησοειδούςσυναρτησιακού λόγω μικρών μεταβολών στη συνάρτηση που είναι το όρισμά τηςτου. Η '''πρώτη μεταβολή'''<ref group="Σημείωση">Η πρώτη μεταβολή λέγεται επίσης και παραγωγίσιμη ή μια φορά παραγωγίσιμη.</ref> ορίζεται ως το γραμμικό μέρος της μεταβολής στο συναρτησοειδέςσυναρτησιακού και η '''δεύτερη μεταβολή'''<ref group="Σημείωση">Η δεύτερη μεταβολή καλείται επίσης δυο φορές παραγωγίσιμη.</ref> ορίζεται ως το τετραγωνικό μέρος.<ref>Gelfand & Fomin 2000, σσ. 11–12, 99</ref>

Για παράδειγμα, αν ''J''[''y''] είναι ένα συναρτησοειδέςσυναρτησιακό με συνάρτηση ''y'' = ''y''(''x'') ως όρισμά της,του και υπάρχει μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της από ''y'' σε ''y'' + ''h'', όπου ''h'' = ''h''(''x'') είναι μια συνάρτηση στον ίδιο συναρτησιακό χώρο με την ''y'', τότε η μεταβολή που αντιστοιχεί στο συναρτησοειδέςσυναρτησιακό είναι

Το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό ''J''[''y''] λέγεταιιλέγεται '''διαφορίσιμο''' αν

όπου ''φ''[''h''] είναι ένα γραμμικό συναρτησοειδέςσυναρτησιακό,<ref group="Σημείωση">Ένα συναρτησοειδές ''φ''[''h''] λέγεται γραμμικό εαν ''φ''[''αh''] = ''α φ''[''h''] και  ''φ''[''h''₁ +''h''₂] = ''φ''[''h''₁] + ''φ''[''h''₂] , όπου ''h'', ''h''₁, ''h''₂ είναι συναρτήσεις και ''α'' είναι ένας πραγματικός αριθμός.</ref> ''||h||'' η νόρμα της ''h'',<ref group="Σημείωση">Για μια συνάρτηση ''h'' = ''h''(''x'') η οποία ορίζεται για ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b'', όπου ''a'' και ''b'' είναι πραγματικοί αριθμοί, η νόρμα του ''h'' είναι η μέγιστη απόλυτη τιμή της, π.χ. ''||h||'' = max |''h''(''x'')| for ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''.</ref> και ''ε → 0'' asκαθώς ''||h|| → 0''. Το γραμμικό συαναρτησοειδέςσυναρτησιακό ''φ''[''h''] είναι η πρώτη διαφορά του ''J''[''y''] και δίνεται από,<ref>Gelfand & Fomin 2000, σσ. 11–12</ref>

Το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό ''J''[''y''] λέγεται '''δυο φορές διαφορίσιμο''' αν

όπου ''φ₁''[''h''] είναι ένα γραμμικό συναρτησοειδέςσυναρτησιακό (πρώτη μεταβολή), ''φ₂''[''h''] είναι ένα τετραγωνικό συναρτησοειδέςσυναρτησιακό,<ref group="Σημείωση">Ένα συναρτησοειδές λέγεται τετραγωνικό αν είναι διγραμμικό συναρτησοειδές με δυο αντικειμενικές συναρτήσεις οι οποίες είναι ίσες. Ένα διγραμμικό συναρτησοειδές είναι συναρτησοειδές το οποίο εξαρτάτα από δυο αντικειμενικές συναρτήσεις και είναι γραμμικό όταν κάθε αντικειμενική συνάρτηση ξεχωριστά είναι σταθερή καθώς η άλλη μεταβάλεται.</ref> και ''ε → 0'' as ''||h|| → 0''. Το τετραγωνικό συναρτησοειδέςσυναρτησιακό ''φ₂''[''h''] είναι η δεύτερη μεταβολή του ''J''[''y''] και δίνεται από,<ref>Gelfand & Fomin 2000, σ. 99</ref>

Το συναρτησοειδέςσυναρτησιακό ''J''[''y''] έχει ένα ελάχιστο στο ''y'' = ''ŷ'' αν η πρώτη μεταβολή του ''δJ''[''h''] = 0 στο ''y'' = ''ŷ'' και η δεύτερη μεταβολή του ''δ''²''J''[''h''] είναι αυστηρά θετικηθετική στο ''y'' = ''ŷ''.<ref>Gelfand & Fomin 2000, σ. 100, Theorem 2</ref><ref group="Σημείωση">Για άλλες επαρκείς συνθήκες, δείτε Gelfand & Fomin 2000. '''Κεφάλαιο 5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum".''' Επαρκείς συνθήκες για ένα ασθενές ελάχιστο δίνονται από το θεώρημα στη σ. 116. '''Κεφάλαιο 6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum".''' Επαρκείς συνθήκες για ένα ισχυρό ελάχιστο δίνονται από το θεώρημα στη σ. 148.</ref>