Χρήστης:VagelisCho/πρόχειρο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
μ (Αντικατάσταση παρωχημένης σύνταξης latex (mw:Extension:Math/Roadmap))
 
==Γενικά==
Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ειδική κατηγορία ενός ορθομοναδιαίου πίνακα και έτσι ειναι πάντα ένας κανονικός πινακας. Παρόλο που μελετάμε μόνο πίνακες με πραγματικά στοιχεία, ο ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για πίνακες με στοιχεία απο άλλα [[Σώμα (άλγεβρα)|σώματα]]. Ωστόσο, οι ορθογώνιοι πίνακες προκύπτουν φυσικά από το εσωτερικό γινόμενο, και για τους πίνακες με μιγαδικούς αριθμούς οδηγούμαστε αντίθετα στην ορθομοναδιαία απαίτηση. Οι ορθογώνιοι πίνακες διατηρούν το [[εσωτερικό γινόμενο]],<ref>[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/OrthogonalMatrix.aspx "Paul's online math notes"], Paul Dawkins, [[Lamar University]], 2008. Theorem 3(c)</ref> οπότε, για τα διανύσματα '''u''', '''v''' σε έναν ''n''-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο ισχύει
:<math>{\boldmathbf u} \cdot {\boldmathbf v} = \left(Q {\boldmathbf u}\right) \cdot \left(Q {\boldmathbf v}\right) \, </math>
όπου ''Q '' είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Για να δούμε τη σχέση με το εσωτερικό γινόμενο, ας θεωρήσουμε το διάνυσμα '''v''' σε έναν ''n''-διάστατο πραγματικό [[Ευκλείδειο χώρο]]. Σε σχέση με μιά ορθοκανονική βάση, το τετράγωνο του μήκους του '''v''' είναι '''v'''<sup>T</sup>'''v'''. Εάν ένας γραμμικός μετασχηματισμός, σε μορφή πίνακα ''Q'''''v''', διατηρεί το μήκος του διαστήματος, τότε
 
:<math>{\boldmathbf v}^\mathrm{T}{\boldmathbf v} = (Q{\boldmathbf v})^\mathrm{T}(Q{\boldmathbf v}) = {\boldmathbf v}^\mathrm{T} Q^\mathrm{T} Q {\boldmathbf v} .</math>
 
Έτσι πεπερασμένης διάστασης γραμμικές ισομετρίες—περιστροφές, ανακλάσεις, και οι συνδυασμοί αυτών— παράγουν ορθογώνιους πίνακες. Το αντίστροφο ειναι επίσης αληθές: ορθογώνιοι πίνακες συνεπάγονται ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Ωστόσο η [[γραμμική άλγεβρα]] περιλαμβάνει ορθογώνιους μετασχηματισμούς μεταξύ χώρων οι οποίοι μπορεί να μην είναι ούτε πεπερασμένης διάστασης ούτε της ίδιας διάστασης, αυτοί δεν εχουν ισοδύναμο ορθογώνιο πίνακα.
Μια [[ανάκλαση Χαουζχόλντερ]] κατασκευάζεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα '''v''' ως
 
:<math>Q = I - 2 {{\boldmathbf v}{\boldmathbf v}^\mathrm{T} \over {\boldmathbf v}^\mathrm{T}{\boldmathbf v}} .</math>
 
Εδώ ο αριθμητής είναι ένας συμμετρικός πίνακας ενώ ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός, η τιμή του '''v''' στο τετράγωνο. Αυτό είναι μια ανάκλαση στο κάθετο υπερεπίπεδο στο '''v''' (κάνοντας αρνητικό κάθε διάνυσμα παράλληλο στο '''v'''). Αν το '''v''' είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, τότε ''Q''&nbsp;= ''I''&nbsp;−&nbsp;2'''vv'''<sup>T</sup>. Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ χρησιμοποιείται συνήθως στον ταυτόχρονο μηδενισμό των στοιχείων στο κατώτερο μέρος μιας στήλης, Καθε ορθογώνιος πίνακας μεγέθους ''n''×''n'' μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ ''n'' τέτοιων ανακλάσεων.
62

επεξεργασίες