Χρήστης:VagelisCho/πρόχειρο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

==Γενικά==

Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ειδική κατηγορία ενός ορθομοναδιαίου πίνακα και έτσι ειναι πάντα ένας κανονικός πινακας. Παρόλο που μελετάμε μόνο πίνακες με πραγματικά στοιχεία, ο ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για πίνακες με στοιχεία απο άλλα [[Σώμα (άλγεβρα)|σώματα]]. Ωστόσο, οι ορθογώνιοι πίνακες προκύπτουν φυσικά από το εσωτερικό γινόμενο, και για τους πίνακες με μιγαδικούς αριθμούς οδηγούμαστε αντίθετα στην ορθομοναδιαία απαίτηση. Οι ορθογώνιοι πίνακες διατηρούν το [[εσωτερικό γινόμενο]],<ref>[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/OrthogonalMatrix.aspx "Paul's online math notes"], Paul Dawkins, [[Lamar University]], 2008. Theorem 3(c)</ref> οπότε, για τα διανύσματα '''u''', '''v''' σε έναν ''n''-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο ισχύει

όπου ''Q '' είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Για να δούμε τη σχέση με το εσωτερικό γινόμενο, ας θεωρήσουμε το διάνυσμα '''v''' σε έναν ''n''-διάστατο πραγματικό [[Ευκλείδειο χώρο]]. Σε σχέση με μιά ορθοκανονική βάση, το τετράγωνο του μήκους του '''v''' είναι '''v'''^T'''v'''. Εάν ένας γραμμικός μετασχηματισμός, σε μορφή πίνακα ''Q'''''v''', διατηρεί το μήκος του διαστήματος, τότε

 

 

Έτσι πεπερασμένης διάστασης γραμμικές ισομετρίες—περιστροφές, ανακλάσεις, και οι συνδυασμοί αυτών— παράγουν ορθογώνιους πίνακες. Το αντίστροφο ειναι επίσης αληθές: ορθογώνιοι πίνακες συνεπάγονται ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Ωστόσο η [[γραμμική άλγεβρα]] περιλαμβάνει ορθογώνιους μετασχηματισμούς μεταξύ χώρων οι οποίοι μπορεί να μην είναι ούτε πεπερασμένης διάστασης ούτε της ίδιας διάστασης, αυτοί δεν εχουν ισοδύναμο ορθογώνιο πίνακα.

Μια [[ανάκλαση Χαουζχόλντερ]] κατασκευάζεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα '''v''' ως

 

 

Εδώ ο αριθμητής είναι ένας συμμετρικός πίνακας ενώ ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός, η τιμή του '''v''' στο τετράγωνο. Αυτό είναι μια ανάκλαση στο κάθετο υπερεπίπεδο στο '''v''' (κάνοντας αρνητικό κάθε διάνυσμα παράλληλο στο '''v'''). Αν το '''v''' είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, τότε ''Q''&nbsp;= ''I''&nbsp;−&nbsp;2'''vv'''^T. Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ χρησιμοποιείται συνήθως στον ταυτόχρονο μηδενισμό των στοιχείων στο κατώτερο μέρος μιας στήλης, Καθε ορθογώνιος πίνακας μεγέθους ''n''×''n'' μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ ''n'' τέτοιων ανακλάσεων.