Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

μ
Αποσαφήνιση από Κορυφή σε κορυφή (γεωμετρία)
μ (Αποσαφήνιση από Απόσταση σε Απόσταση (γεωμετρία))
μ (Αποσαφήνιση από Κορυφή σε κορυφή (γεωμετρία))
Η σημαντικότερη εξέλιξη του αιώνα στη γεωμετρία σημειώθηκε όταν,γύρω στο 1830,ο [[Janos Bolyai]] και ο [[Νικολάι Λομπατσέφσκι]] δημοσίευσαν χωριστά έργο στην [[Μη ευκλείδεια γεωμετρία|μη Ευκλείδεια γεωμετρία]] , στην οποία το αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι έγκυρο.<ref>Ball,σελίδα 485</ref>Δεδομένου ότι η μη Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποδεδειγμένα σχετικά συνδεδεμένη με την Ευκλείδεια γεωμετρία,το αξίωμα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα.
 
Κατά τον 19ο αιώνα,έγινε επίσης αντιληπτό ότι τα δέκα αξιώματα και κοινές έννοιες του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να αποδείξουν όλα τα θεωρήματα που αναφέρονται στα Στοιχεία.Για παράδειγμα,ο Ευκλείδης υπέθεσε σιωπηρά ότι κάθε γραμμή περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία , αλλά η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα , και ως εκ τούτου θα πρέπει να αποτελεί από μόνης της ένα αξίωμα.Η πρώτη γεωμετρική απόδειξη στα Στοιχεία,όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω,είναι ότι κάθε τμήμα γραμμής είναι μέρος ενός τριγώνου.Ο Ευκλείδης το κατασκεύασε με τον συνήθη τρόπο, σχεδιάζοντας κύκλους γύρω από τα δύο τελικά σημεία και παίρνοντας την τομή τους ως την τρίτη [[κορυφή (γεωμετρία)|κορυφή]].Τα αξιώματά του,ωστόσο,δεν εγγυώνται ότι οι κύκλοι τέμνονται στην πραγματικότητα,επειδή δεν υποστηρίζουν τη γεωμετρική ιδιότητα της συνέχειας,η οποία από Καρτεσιανή άποψη είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της [[Πραγματικός αριθμός|πληρότητας]] των πραγματικών αριθμών.Ξεκινώντας από αυτό του [[Μόριτζ Πας|Μόριτς Πας]],το 1882,πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για γεωμετρία έχουν προταθεί,τα ποιο γνωστά από τα οποία είναι εκείνα των [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]],<ref>Howard Eves, 1997 (1958). ''Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics''. Dover.</ref>[[George Birkhoff]]<ref>Birkhoff, G. D., 1932, "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)," Επετηρίδα των Μαθηματικών 33 .</ref> και [[Τάρσκι]].<ref>Τάρσκι (1951)</ref>
 
=== 20ος αιώνας και γενική σχετικότητα ===
71.107

επεξεργασίες