Συνάρτηση Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
τυπο + βελτ παραδειγμ |
πρσθ |
||
Γραμμή 2:
Η '''συνάρτηση 'Οιλερ''' (Euler - από τον μαθηματικό [[Λέοναρντ Όιλερ]] ''Leonhard Euler'') , η οποία έχει καθιερωθεί να συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα [[φ]], είναι αριθμοθεωρητική συνάρτηση η οποία ορίζεται στους θετικούς ακέραιους αριθμούς.
Για κάθε θετικό ακέραιο <math>\,n</math>, το <math>\varphi(n)</math> μας δίνει το πλήθος των μικρότερων του <math>\,n</math> φυσικών αριθμών οι οποίοι είναι πρώτοι ([[σχετικά πρώτοι]]) με τον <math>\,n</math> (δηλαδή έχουν με τον <math>\,n</math>, [[μέγιστος κοινός διαιρέτης|μέγιστο κοινό διαιρέτη]] τη μονάδα).<ref>Βλάμος Π., Ράππος Ε., βλ. πηγές, σελ. 96 (σελ. 2 του pdf)</ref>
Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον αριθμό 9. Το <math>\varphi(9)</math> είναι ίσο με 6, αφού από τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 9 ακριβώς έξι, οι 1, 2, 4, 5, 7 και 8, είναι πρώτοι ως προς το 9.
Γραμμή 19:
===1η ιδιότητα===
Η συνάρτηση του Όιλερ είναι [[πολλαπλασιαστική συνάρτηση|πολλαπλασιαστική]], που σημαίνει ότι για δύο φυσικούς m, n με μκδ(m, n) = 1 ισχύει <math>\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)</math>.<ref>Βλάμος Π., Ράππος Ε., βλ. πηγές, σελ. 98 (σελ. 4 του pdf)</ref>
===2η ιδιότητα===
Γραμμή 29:
Αν n = p<sup>k</sup>, {{math|''k'' ≥ 1}} τότε
:<math>\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1) = p^k \left( 1 - \frac{1}{p} \right).</math><ref name=":0">Βλάμος Π., Ράππος Ε., βλ. πηγές, σελ. 97 (σελ. 3 του pdf)</ref>
Για παράδειγμα φ(81) = φ(3<sup>4</sup>) = 3<sup>4-1</sup>(3-1) = 3<sup>3</sup>2 = 54 ή φ(3<sup>4</sup>) = 3<sup>4</sup> (1 - 1/3) = 81 (3-1)/3 = 54.
Γραμμή 36:
Με χρήση των παραπάνω και του [[Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων|Κινεζικού Θεωρήματος Υπολοίπων]] η τιμή της <math>\phi(n)</math> μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής|Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής]]:
Αν <math>n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math>, όπου τα <math>\,p_j</math> είναι διακεκριμένοι [[πρώτος αριθμός|πρώτοι αριθμοί]], τότε
:<math>\phi(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}</math>.
Γραμμή 78 ⟶ 76 :
::= φ(n), αν n=περιττός
αν m = n ο τύπος γίνεται φ(n<sup>2</sup>) = nφ(n) και γενικότερα φ(n<sup>k</sup>) = n<sup>k-1</sup>φ(n).
*φ(εκπ(m, n)) φ(μκδ(m, n)) = φ(m) φ(n).
Γραμμή 85 ⟶ 82 :
που μοιάζει με τον τύπο εκπ(m, n) μκδ(m, n) = m n (δες [[Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο]]).
* φ(n) = άρτιος για {{math|''n'' ≥ 3}}.<ref name=":0" /> Ακόμη, αν ο n έχει r διακριτούς περιττούς παράγοντες τότε {{math|2<sup>''r''</sup> {{!}} ''φ''(''n'')}}.
==Μερικές τιμές της συνάρτησης==
Γραμμή 166 ⟶ 163 :
Τελικά τα κατασκευάσιμα κανονικά πολύγωνα είναι 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, ... {{OEIS|A003401}}.
== Παραπομπές ==
==Πηγές==▼
<references />
▲== Πηγές ==
* Βλάμος Π., Ράππος Ε. «[http://www.hdml.gr/pdfs/books/27.pdf Η συνάρτηση φ του Euler]», σελ.96-103, από [http://www.hdml.gr/el/ Ελληνική Ψηφιακή Μαθηματική Βιβλιοθήκη]. [https://web.archive.org/web/20190116220306/http://www.hdml.gr/pdfs/books/27.pdf Αρχειοθετήθηκε] 16/01/2019. Ανακτήθηκε 16/01/2019.
==Βιβλιογραφία==
* Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.
* Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press Series in the Foundations of Computing, Cambridge, MA: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5, Zbl 0873.11070
| |||