Ιστορία των μαθηματικών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν γραμμένα σε [[αριθμητικό σύστημα]] με βάση το 60. Από αυτό το σύστημα προέρχεται η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μία ώρα, και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, όπως επίσης και η χρήση των δευτερολέπτων και των λεπτών για να υποδηλωθούν οι υποδιαιρέσεις ενός τόξου. Η βαβυλωνιακή πρόοδος των μαθηματικών διευκολύνθηκε από το γεγονός ότι το 60 έχει πολλούς διαιρέτες. Επίσης, σε αντίθεση με τους Αιγυπτίους, τους Έλληνες και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα θέση-αξίας, όπου ψηφία γραμμένα στην αριστερή στήλη αντιπροσωπεύουν μεγαλύτερες τιμές, όσο και στο [[Δεκαδικό σύστημα|δεκαδικό]] σύστημα. Δεν είχαν, εντούτοις, ένα ισοδύναμο του δεκαδικού σημείου, και έτσι η αξία θέση ενός συμβόλου έπρεπε συχνά να συναχθεί από τα συμφραζόμενα. Από την άλλη πλευρά, αυτό το "ελάττωμα" είναι ισοδύναμο με τη χρήση σύγχρονης κινητής αριθμητικής υποδιαστολής ? Επιπλέον, η χρήση της βάσης 60 σημαίνει ότι κάθε αντίστροφος από έναν ακέραιο που είναι ένα πολλαπλάσιο των διαιρετών του 60 έχει αναγκαστικά μια πεπερασμένη επέκταση της βάσης 60. (στην δεκαδική αριθμητική, μόνο αντίστροφα πολλαπλάσια των 2 και 5 έχουν πεπερασμένες δεκαδικές επεκτάσεις. ) Κατά συνέπεια, υπάρχει ένα ισχυρό επιχείρημα οτι η αριθμητική του παλιού βαβυλωνιακού στυλ είναι πολύ πιο περίπλοκη από αυτή της τρέχουσας χρήσης.

 

 

Αντί να εξετάζουμε ένα τετράγωνο ως το άθροισμα των δύο τετραγώνων, μπορούμε να θεωρήσουμε ισοδύναμα ένα τετράγωνο ως τη διαφορά των δύο τετραγώνων. Έστω a, b και c είναι ακέραιοι που σχηματίζουν μια πυθαγόρεια τριάδα: α ^ 2 + β ^ 2 = c ^ 2. Στη συνέχεια, γ ^ 2 - α ^ 2 = β ^ 2, και χρησιμοποιώντας την επέκταση για τη διαφορά των δύο τετραγώνων έχουμε (γα) (γ + α) = β ^ 2. Διαιρώντας με β ^ 2, γίνεται το γινόμενο δύο ρητών αριθμών και δίνει 1: (γ / β - α / β) (γ / β + α / β) = 1. Χρειαζόμαστε δύο ρητούς αριθμούς που είναι αντίστροφοι και οι οποίοι είναι διάφοροι από 2 (α / β). Αυτό λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας πίνακα με τα αμοιβαία ζεύγη. Π.χ., (1/2) (2) = 1 είναι ένα αμοιβαίο ζεύγος που διαφέρουν κατά 3/2 = 2 (a / b) Έτσι, a / b = 3/4, δίνοντας α = 3, b = 4 και έτσι c = 5.