μ Μια προσπάθεια να βγάζει νόημα η παράγραφος "Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί". Προφανώς ένα κομμάτι ήταν μετάφραση από το Αγγλικό λήμα από κάποια μηχανή και δεν έβγαινε νόημα!
Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλληφθείσυλλάβουμε αξιωματικάμε τιαξιωματικό βρίσκεταιτρόπο συνήθωςτα στιςκοινά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες που υπάρχουν σε διάφορες κατηγορίεςσυλλογές σχετικώνπαρόμοιων μαθηματικών δομών συσχετίζοντάς τες με το συσχετισμόπως τουςμετασχηματίζονται στηη δομή-συντηρώνταςμία λειτουργίεςστην μεταξύάλλη τουςμέσα από διαδικασίες ( συνήθως πρόκειται για συναρτήσεις ) που διατηρούν τα χαρακτηριστικά αυτών των δομών. Μια συστηματική μελέτη της Θεωρίας Κατηγοριών επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Η κατηγορία των ομάδων, '''Grp''', αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν μια «δομή ομάδας», αυτά είναι τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας. Κάποιος μπορεί να προχωρήσει και να αποδείξει τα θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο των αξιωμάτων για τις ομάδες. ΠαραδείγματοςΓια χάρινπαράδειγμα, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, αυτός είναι ο "κλασικός" τρόπος χωρίς την χρήση μεθόδων από την Θεωρία Κατηγοριών. Θα μπορούσε όμως κάνεις επιπρόσθετα να δουλέψει και με έναν άλλο τρόπο. Αντί να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα ( τις ομάδες στο παραδειγμά μας ) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η Θεωρία Κατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς – δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή – μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της '''Grp'''. Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας. Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων μεταξύ των τοπολογικών χώρων στην Tοπολογία (η σχετική κατηγορία συμβολίζεται '''Top'''), και η μελέτη των λείων απεικονίσεων στις πολλαπλότητες (manifolds).
Αντί όμως να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα (π.χ., ομάδες) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η Θεωρία Κατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς –δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή– μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της '''Grp'''.
Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει έπειτα ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας.Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων μεταξύ των τοπολογικών χώρων στην Tοπολογία (η σχετική κατηγορία συμβολίζεται '''Top'''), και η μελέτη των λείων απεικονίσεων στις πολλαπλότητες (manifolds).
