Βικιπαίδεια

Πίνακας (μαθηματικά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Διάσωση 5 πηγών και υποβολή 0 για αρχειοθέτηση.) #IABot (v2.0
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 8:
Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων είναι να παριστάνουν [[#Γραμμικοί μετασχηματισμοί|γραμμικούς μετασχηματισμούς]], δηλαδή, γενικεύσεις των [[γραμμική συνάρτηση|γραμμικών συναρτήσεων]] όπως {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} 4''x''}}. Για παράδειγμα, η [[περιστροφή]] [[διανυσμάτων]] σε έναν τριών [[διαστάσεων]] χώρο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν [[πίνακας περιστροφής|πίνακα περιστροφής]] '''R'''. Αν '''v''' είναι ένα [[διάνυσμα στήλης]] (ένας πίνακας με μόνο μία στήλη) που περιγράφει τη [[θέση]] ενός σημείου στο χώρο, το γινόμενο '''Rv''' είναι μία στήλη διάνυσμα που περιγράφει τη θέση εκείνου του σημείου μετά από μία περιστροφή. Το γινόμενο δύο πινάκων είναι ένας πίνακας που αναπαριστά τη σύνθεση δύο γραμμικών μετασχηματισμών. Μια άλλη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση [[σύστημα γραμμικών εξισώσεων|συστήματος γραμμικών εξισώσεων]]. Αν ο πίνακας είναι [[#Τετραγωνικοί πίνακες|τετραγωνικός]], είναι δυνατόν να συμπεράνουμε μερικές από τις ιδιότητές του υπολογίζοντας την [[#Ορίζουσα|ορίζουσα]] του. Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο [[αν και μόνο αν]] η ορίζουσά του δεν είναι [[μηδέν]]. Οι ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα παρέχουν μια διορατικότητα στη [[γεωμετρία]] των γραμμικών μετασχηματισμών.
 
Εφαρμογές των πινάκων βρίσκονται σε πολλά επιστημονικά πεδία. Σε κάθε κλάδο της [[φυσική]]ς, συμπεριλαμβανομένων της [[κλασική μηχανική|κλασικής μηχανικής]], [[οπτική]]ς, [[ηλεκτρομαγνητική]]ς, [[κβαντομηχανική]]ς, και [[κβαντική ηλεκτροδυναμική|κβαντικής ηλεκτροδυναμικής]], που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των φυσικών φαινομένων, όπως την κίνηση των [[στερεών σωμάτων]]. Σε [[γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών]], χρησιμοποιούνται για το σχέδιο εικόνας τριών διαστάσεων σε δύο διαστάσεων οθόνη. Στη [[θεωρία πιθανοτήτων]] και τη [[στατιστική]], οι στοχαστικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σύνολα πιθανοτήτων; για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται μέσα στον αλγόριθμο [[PageRank]] ο οποίος ταξινομεί τις σελίδες στην αναζήτηση του Google.<ref>K. Bryan and T. Leise. The $25,000,000,000 eigenvector: The linear algebra behind Google. SIAM Review, 48(3):569–581, 2006.</ref> Ο [[λογιστικός πίνακας]] γενικεύεται στις κλασικές [[αναλυτικές]] έννοιες όπως είναι οι [[παράγωγος|παράγωγοι]] και τα [[εκθετικά]] σε υψηλότερες διαστάσεις.
 
Ένας σημαντικός κλάδος της [[αριθμητική ανάλυση|αριθμητικής ανάλυσης]] έχει αφοσιωθεί στην ανάπτυξη αποτελεσματικών αλγορίθμων για τους υπολογισμούς πίνακα, ένα θέμα που είναι αιώνων και σήμερα είναι αναπτυσσόμενος τομέας της έρευνας. Οι [[μέθοδοι αποσύνθεσης πίνακα]] απλοποιούν τους υπολογισμούς, τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά. Οι αλγόριθμοι που είναι προσαρμοσμένοι σε συγκεκριμένες δομές πίνακα, όπως οι [[αραιοί πίνακες]] και οι σχεδόν διαγώνιοι πίνακες, διευκολύνουν τους υπολογισμούς στη [[μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων|μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων]] και άλλους υπολογισμούς. Οι άπειροι πίνακες απαντώνται στην πλανητική θεωρία και την ατομική θεωρία. Ένα απλό παράδειγμα ενός άπειρου πίνακα είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον παράγωγο φορέα, ο οποίος δρα στη [[Σειρά Τέιλορ]] μίας συνάρτησης.
Γραμμή 89:
Σε αυτή την περίπτωση, ο ίδιος ο πίνακας είναι μερικές φορές ορισμένος από εκείνο τον τύπο, με τετράγωνες αγκύλες ή διπλές παρενθέσεις. Για παράδειγμα, ο πίνακας παραπάνω είναι ορισμένος ως '''A''' = [''i''-''j''], ή '''A''' = ((''i''-''j'')). Εάν η διάσταση του πίνακα είναι ''m'' × ''n'', ο τύπος που αναφέρθηκε παραπάνω ''f''(''i'', ''j'') είναι έγκυρος για κάθε ''i'' = 1, ..., ''m'' και κάθε ''j'' = 1, ..., ''n''. Αυτό μπορεί να προσδιοριστεί είτε χωριστά, είτε χρησιμοποιώντας ''m'' × ''n'' ως δείκτης. Για παράδειγμα, ο πίνακας '''A''' παραπάνω είναι 3 × 4 και μπορεί να οριστεί ως '''A''' = [''i'' − ''j''] (''i'' = 1, 2, 3; ''j'' = 1, ..., 4), ή '''A''' = [''i'' − ''j'']<sub>''3''×''4''</sub>.
 
Μερικές γλώσσες προγραμματισμού χρησιμοποιούν πίνακες με διπλούς δείκτες (ή πίνακες των πινάκων ) για να αναπαραστήσουν ένα ''m''-×-''n'' πίνακα. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού αρχίζουν την αρίθμηση των δεικτών του πίνακα από το μηδέν, σε όποια περίπτωση τα στοιχεία ενός ''m''-επί-''n'' πίνακα έχουν δείκτες {{nowrap|0 ≤ ''i'' ≤ ''m'' − 1}} και {{nowrap|0 ≤ ''j'' ≤ ''n'' − 1}}.<ref>{{Harvard citations |last1=Oualline |year=2003 |loc=Ch. 5| nb=yes }}</ref> Αυτό το άρθρο ακολουθεί την πιο κοινή σύμβαση στο γράψιμο μαθηματικών κειμένων όπου η απαρίθμηση αρχίζει από το 1.
 
Το [[σύνολο]] όλων των ''m''-επί-''n'' πινάκων συμβολίζεται 𝕄(''m'', ''n'').
Γραμμή 95:
==Βασικές πράξεις==
{{external media | width = 210px | align = right | video1 = [http://ed.ted.com/lessons/how-to-organize-add-and-multiply-matrices-bill-shillito How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito], [[TED (conference)|TED ED]]<ref name="Ted">{{cite web | title =How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito | work = | publisher =[[TED (conference)|TED ED]] | date = | url =http://ed.ted.com/lessons/how-to-organize-add-and-multiply-matrices-bill-shillito | accessdate =April 6, 2013 }}</ref> }}
Υπάρχει ένας αριθμός βασικών λειτουργιών που μπορούν να εφαρμοστούν για να τροποποιήσουν πίνακες , ονομάζονται ''πίνακας πρόσθεσης'', ''βαθμωτού πολλαπλασιασμού'', ''μεταφοράς'', ''πίνακας πολλαπλασιασμού'', ''λειτουργίες γραμμής'', και ''υποπίνακας''.
<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.1 (addition), Definition I.2.4 (scalar multiplication), and Definition I.2.33 (transpose) }}</ref>
===Πρόσθεση, βαθμωτός πολλαπλασιασμός και μεταφορά===
Γραμμή 205:
</math>
 
Ο πολλαπλασιασμός πινάκων πληροί τους κανόνες ('''AB''')'''C''' = '''A'''('''BC''') ([[συσχέτισης]]), και ('''A'''+'''B''')'''C''' = '''AC'''+'''BC''' καθώς και '''C'''('''A'''+'''B''') = '''CA'''+'''CB''' (αριστερά και δεξιά την [[επιμεριστική ιδιότητα]]), οπότε το μέγεθος των πινάκων είναι τέτοιο ώστε τα διάφορα γινόμενά του να ορίζονται.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem I.2.24 }}</ref> το γινόμενο '''AB''' μπορεί να οριστεί χωρίς το '''BA''' να ορίζεται , δηλαδή αν τα '''A''' και '''B''' είναι ''μ''-''ν'' και ''ν''-''κ'' πίνακες, αντίστοιχα, και {{nowrap|''μ'' ≠ ''κ''.}} Ακόμη και αν τα δυο γινόμενα ορίζονται , δε χρειάζεται να είναι ίσα, δηλαδή, γενικά έχει κανείς
:'''AB''' ≠ '''BA''',
δηλαδή, <cite id="non_commutative">ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα δεν είναι [[αντιμεταθετικός]],</cite> σε έντονη αντίθεση με (ρητούς, πραγματικούς ή σύνθετους) αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι ανεξάρτητο τη σειρά των παραγόντων. Ένα παράδειγμα δυο πινάκων που δεν αλλάζουν μεταξύ τους είναι:
Γραμμή 238:
.</math>
 
Εκτός από το συνήθη πολλαπλασιασμό πινάκων που μόλις περιγράφηκε, υπάρχουν άλλες λιγότερο συχνά χρησιμοποιούμενες λειτουργίες σε πίνακες που μπορούν να θεωρηθούν μορφές πολλαπλασιασμού , όπως το [[γινόμενο Hadamard]] και του [[γινομένου Kronecker]].<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |loc=Ch. 4 and 5 |nb=yes }}</ref> Μπορούν να προκύψουν στην επίλυση των εξισώσεων των πινάκων όπως την εξίσωση του [[Sylvester]]
 
===Σειρά ενεργειών ===
Υπάρχουν τρεις τύποι μιας σειράς ενεργειών :
 
# Πρόσθεση σειράς, που είναι η προσθήκη μιας γραμμής σε μια άλλη.
# Πολλαπλασιασμός μιας σειράς, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας όλες τις καταχωρήσεις μιας σειράς με μια μη-μηδενική σταθερά.
# Αλλαγή σειράς, δηλαδή η εναλλαγή δυο σειρών ενός πίνακα.
 
Αυτές οι λειτουργίες χρησιμοποιούνται με συγκεκριμένους τρόπους , οι οποίες περιλαμβάνουν την επίλυση [[γραμμικών εξισώσεων]] και την εύρεση ενός [[αντίστροφου πίνακα]].
 
==={{Υποπίνακας}}===
Ένας '''υποπίνακας''' ενός πίνακα προκύπτει διαγράφοντας οποιαδήποτε συλλογή γραμμών ή στηλών. Για παράδειγμα, για τον ακόλουθο 3-4 πίνακα, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα 2-3 υποπίνακα αφαιρώντας τη γραμμή 3 και τη στήλη 2:
 
:<math>
Γραμμή 275 ⟶ 277 :
 
[[File:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Τα διανύσματα που αναπαριστώνται από έναν 2-επί-2 πίνακα αντιστοιχούν σε πλευρές ενός τετραγώνου μετασχηματισμένες σε ένα παραλληλόγραμμο.]]
Οι πίνακες και ο πολλαπλασιασμός πινάκων αποκαλύπτουν τα ουσιώδη χαρακτηριστικά τους, ,όταν σχετίζονται με ''γραμμικούς μετασχηματισμούς'' , επίσης γνωστή ως ''γραμμικές απεικονίσεις''. <cite id="linear_maps"> Ένας πραγματικός ''μ''-''ν'' πίνακας '''A''' οδηγεί σε ένα γραμμικό μετασχηματισμό '''R'''<sup>''ν''</sup> → '''R'''<sup>''μ''</sup> χαρτογραφώντας κάθε διάνυσμα '''x''' σε '''R'''<sup>''ν''</sup> προς το (πίνακας) γινόμενο '''Ax''', το οποίο είναι διάνυσμα στον '''R'''<sup>''μ''</sup>. Αντιστρόφως, κάθε γραμμικός μετασχηματισμός ''f'': '''R'''<sup>''ν''</sup> → '''R'''<sup>''μ''</sup> προκύπτει από έναν μοναδικό πίνακα '''Α''' ''μ''-by-''ν'': Αναλυτικότερα, το {{nowrap|(''i'', ''j'')-είσοδος}} του '''A''' είναι η ''i''<sup>οστή</sup> συντεταγμένη του ''f''('''e'''<sub>''j''</sub>), όπου {{nowrap begin}}'''e'''<sub>''j''</sub> = (0,...,0,1,0,...,0){{nowrap end}} είναι το [[μοναδιαίο διάνυσμα]] με 1 στη θέση του ''j''<sup>νιοστού</sup> και μηδέν στη θέση του άλλου.</cite> Ο πίνακας '''A''' αντιπροσωπεύει το γραμμικό διάγραμμα ''f'', και ο '''A''' ονομάζεται ''πίνακας μετασχηματισμού'' της ''f''.
 
Για παράδειγμα, ο 2×2 πίνακας
Γραμμή 315 ⟶ 317 :
|}
 
Κάτω από [[1-προς-1 αντιστοιχία]] μεταξύ των πινάκων και των γραμμικών απεικονίσεων, ο πολλαπλασιασμός πινάκων αντιστοιχεί στη [[σύνθεση]] των διαγραμμάτων :<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2 }}</ref> Εάν ένας ''κ''-''μ'' πίνακας '''B''' αντιπροσωπεύει μια άλλη γραμμική απεικόνιση ''g'' : '''R'''<sup>''μ''</sup> → '''R'''<sup>''κ''</sup>, τότε η σύνθεση {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} αντιπροσωπεύεται από το '''BA''' δεδομένου
:(''g'' ∘ ''f'')('''x''') = ''g''(''f''('''x''')) = ''g''('''Ax''') = '''B'''('''Ax''') = ('''BA''')'''x'''.
Η τελευταία ισότητα προκύπτει από την προαναφερθείσα συσχέτιση του πολλαπλασιασμού πινάκων.
Γραμμή 357 ⟶ 359 :
 
==== Διαγώνιοι και τριγωνικοί πίνακες ====
Εάν όλες οι καταχωρήσεις του '''A''' κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το '''A''' ονομάζεται ''άνω [[τριγωνικός πίνακας]]''. Ομοίως, αν όλες οι καταχωρήσεις του ''A'' πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το '''A''' ονομάζεται ''κατώτερος τριγωνικός πίνακας''. Αν όλες οι καταχωρήσεις έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το '''A''' ονομάζεται [[διαγώνιος πίνακας]].
 
==== Ταυτοτικός πίνακας ====
Ο [[ταυτοτικός πίνακας]] '''I'''<sub>''n''</sub> μεγέθους ''n'' ειναι ο ''n''-''n'' πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία , σχετικά με την [[κύρια διαγώνιο]] είναι ίσα με 1 και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με 0, π.χ
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
Γραμμή 380 ⟶ 382 :
 
====Συμμετρικός ή αντισυμμετρικός πίνακας ====
Ένας τετραγωνικός πίνακας '''A''' ο οποίος είναι ίσος με τον ανάστροφό του, δηλαδή., {{nowrap begin}}'''A''' = '''A'''<sup>T</sup>{{nowrap end}}, είναι ένας [[συμμετρικός πίνακας]]. Αν αντίθετα , ο '''A''' ήταν ίσος με τον αρνητικό του ανάστροφο , δηλαδή, {{nowrap begin}}'''A''' = −'''A'''<sup>T</sup>,{{nowrap end}} τότε '''A''' είναι ένας [[αντισυμμετρικός πίνακας]]. Σε μιγαδικούς πίνακες, η συμμετρία συχνά αντικαθιστάται από την έννοια [[Hermitian matrix|Hermitian matrices]], που ικανοποιεί '''A'''<sup>∗</sup> = '''A''', όπου το αστέρι ή ο [[αστερίσκος]] υποδηλώνει το [[συζυγή ανάστροφο]] ενός πινάκα, δηλαδή, η μετάθεση του [[συζυγή]] του '''A'''.
 
Με το [[spectral theorem]], οι πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες και οι [[Hermitian matrix]] έχουν [[eigenbasis]];: δηλαδή, κάθε διάνυσμα είναι εκφράσιμο σαν [[γραμμικός συνδυασμός]] των ιδιοδιανυσμάτων. Σε αμφότερες περιπτώσεις , όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref> Το θεώρημα αυτό μπορεί να γενικευθεί σε απειροδιάστατες καταστάσεις που σχετίζονται με πίνακες που έχουν πάρα πολλές γραμμές και στήλες , δείτε [[#Infinite matrices|παρακάτω]].
 
====Αντιστρέψιμος πίνακας και ο αντίστροφος====
Γραμμή 409 ⟶ 411 :
| [[File:Hyperbola2 SVG.svg|150px]] <br> Σημείο τέτοιο ώστε ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Υπερβολή]]).
|}
Ένας συμμετρικός ''ν''×''ν'' πίνακας ονομάζεται '' θετικά ορισμένος'' (αντιστοίχως αρνητικά ορισμένος),Εάν εάν για όλα τα μη μηδενικά διανύσματα '''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> οι συνδεδεμένες δευτεροβάθμιες μορφές δίνονται από
:<cite id="quadratic_forms">''Q''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ax'''</cite>
 
παίρνει μόνο θετικές τιμές (αντιστοίχως μόνο αρνητικές τιμές ).<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> Εάν η τετραγωνική μορφή παίρνει μόνο θετικές (αντίστοιχα μόνο αρνητικές) τιμές, ο συμμετρικός πίνακας ονομάζεται γνησίως-θετικός (αντίστοιχα γνησίως-αρνητικός); ως εκ τούτου ο πίνακας είναι αόριστος όταν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός-ημιορισμένα.
 
Ένας συμμετρικός πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι θετικές.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 7.2.1 }}</ref> Ο πίνακας στα δεξιά δείχνει δυο δυνατότητες για 2-2 πίνακες.
Γραμμή 419 ⟶ 422 :
 
====Ορθογώνιος πίνακας ====
Ένας ''ορθογώνιος πίνακας'' είναι ένας [[τετραγωνικός πίνακας]] με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι στήλες και οι σειρές είναι [[μοναδιαία]] ορθογώνια διανύσματα (δηλ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας ''A'' είναι ορθογώνιος αν η [[μετάθεσή]] του είναι ίση με τον [[αντίστροφό]] του :
 
:<math>A^\mathrm{T}=A^{-1}, \,</math>
το οποίο συνεπάγεται
Γραμμή 441 ⟶ 445 :
[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|right|Ένας γραμμικός μετασχηματισμός του '''R'''<sup>2</sup> δίνεται από έναν πίνακα με δείκτες. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι −1, όπως η περιοχή του πράσινου παραλληλογράμμου στα δεξιά είναι 1, αλλά η απεικόνιση αντιστρέφει τον [[προσανατολισμό]], στρέφοντας τον αριστερόστροφο προσανατολισμό των διανυσμάτων σε δεξιόστροφο.]]
 
Η ''ορίζουσα'' det('''A''') ή |'''A'''| ενός τετραγωνικού πίνακα '''A''' είναι ένα αριθμός που κωδικοποιεί ορισμένες ιδιότητες του πίνακα. 'Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος [[αν και μόνο αν]] η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Η [[απόλυτη τιμή]] του ισούται με την περιοχή (στον '''R'''<sup>2</sup>) ή όγκο (στον '''R'''<sup>3</sup>) της εικόνας του ενιαίου τετραγώνου (ή κύβου), ενώ το σήμα του να αντιστοιχεί προς τον προσανατολισμό του αντίστοιχου γραμμικού χάρτη: η ορίζουσα είναι θετική , αν και μόνο αν ο προσανατολισμός διατηρείται.
 
Η ορίζουσα ενός 2 επί 2 πίνακα δίνεται από τον τύπο
Γραμμή 457 ⟶ 461 :
ονομάζεται ''ιδιοτιμή'' και ''ιδιοδιάνυσμα'' του '''A''', αντίστοιχα<ref group="nb">''Eigen'' means "own" in [[German language|German]] and in [[Dutch language|Dutch]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> Ο αριθμός λ είναι μια ιδιοτιμή ενός ''n''×''n'' πίνακα '''A''' αν και μόνο αν '''A'''−λ'''I'''<sub>''n''</sub> δεν είναι αντιστρέψιμος, ο οποίος είναι [[ισοδύναμος]] με
:<math>\det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{I}) = 0.\ </math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>
Το πολυώνυμο ''p''<sub>'''A'''</sub> με [[άγνωστο]] ''X'' που δίνεται από την εκτίμηση της ορίζουσας det(''X'''''I'''<sub>''n''</sub>−'''A''') ονομάζεται [[χαρακτηριστικό πολυώνυμο]] του '''A'''. Είναι ένα [[μονώνυμο]] [[βαθμού]] ''n''. Ως εκ τούτου η πολυωνυμική εξίσωση ''p''<sub>'''A'''</sub>(λ)&nbsp;=&nbsp;0 έχει το πολύ ''n'' διαφορετικές λύσεις, δηλ., ιδιοτιμές του πίνακα.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> Μπορεί να είναι πολύπλοκοι ακόμη και αν τα στοιχεία του '''A''' είναι πραγματικά. Σύμφωνα με την [[θεωρία Cayley–Hamilton]], {{nowrap begin}}''p''<sub>'''A'''</sub>('''A''') = '''0'''{{nowrap end}}, το οποίο είναι, το αποτέλεσμα της αντικατάστασης του ίδιου του πίνακαστις δικές του χαρακτηριστικές πολυωνυμικές τιμές του [[μηδενικού πίνακα]].
 
==Υπολογιστικές πτυχές==
Γραμμή 472 ⟶ 476 :
μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης εαν η ορίζουσα του πίνακα είναι πολύ μικρή. Η [[νόρμα ενός πίνακα]] μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συλλάβει την [[κατάσταση]] προβλημάτων γραμμικής άλγεβρας, όπως υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα.<ref>{{Harvard citations |last1=Golub |last2=Van Loan |year=1996 |nb=yes |loc=Chapter 2.3 }}</ref>
 
Αν και οι περισσότερες [[γλώσσες υπολογιστή]] δεν είναι σχεδιασμένες με εντολές ή βιβλιοθήκες για πίνακες, στις αρχές της δεκαετίας του '70, μερικοί επιτραπέζιοι υπολογιστές μηχανικής όπως [[HP 9830]] είχε ROM cartridges να προσθέσουν BASIC εντολές για τους πίνακες. Μερικές γλώσσες υπολογιστή όπως [[APL (programming language)|APL]] ήταν σχεδιασμένες να μανουβράρουν πίνακες , και [[ποικίλα μαθηματικά προγράμματα]] μπορούν να χρησιμοποιηθούν με σκοπό τον υπολογισμό των πινάκων.<ref>For example, [[Mathematica]], see {{Harvard citations |last1=Wolfram |year=2003 |loc=Ch. 3.7 |nb=yes }}</ref>
 
==Αποσύνθεση==
Κύρια λήμματα:{{Αποσύνθεση πίνακα, Διαγωνιοποίηση πίνακα, Μέθοδος Montante }}
Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που καθιστούν τους πίνακες σε πιο εύκολες προσβάσιμες μορφές. Γενικά αναφέρεται ως ''αποσύνθεση πίνακα''ή ''τεχνικές παραγοντοποίησης ''. Το ενδιαφέρον όλων αυτών των τεχνικών είναι ότι διαφυλάσσουν σίγουρες ιδιότητες των εν λόγω πινάκων, όπως είναι η ορίζουσα, τάξη ή αντίστροφος, έτσι ώστε αυτές οι ποσότητες να υπολογίζονται απλοποιώντας τον μετασχηματισμό, ή οι σίγουρες λειτουργίες του πίνακα είναι αριθμητικά ευκολότερο για να διενεργήσουν κάποιους τύπους των πινάκων.
 
Η [[LU αποσύνθεση]] παραγοντοποιεί πίνακες ως παράγωγος των κάτω ('''L''') και άνω [[τριγωνικών πινάκων]] ('''U''').<ref>{{Harvard citations |last1=Press |last2=Flannery |last3=Teukolsky |year=1992 |nb=yes }}</ref> Μια φορά η ορίζουσα υπολογίζεται, γραμμικά συστήματα μπορούν να λυθούν πιο αποτελεσματικά, με έναν απλό τρόπο που ονομάζεται [[εμπρός και πίσω αντικατάσταση]]. Παρομοίως, οι αντίστροφοι τριγωνικών πινάκων είναι αλγοριθμικά ευκολότερο να υπολογιστούν. Η ''απαλοιφή του Gauss''είναι ένας παρόμοιος αλγόριθμος: μετασχηματίζει οποιοδήποτε πίνακα σε [[κλιμακωτή μορφή ανά σειρά]].<ref>{{Harvard citations |last1=Stoer |last2=Bulirsch |year=2002 |nb=yes |loc=Section 4.1 }}</ref> Και οι δύο οι μέθοδοι προχωράνε πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα με κατάλληλους [[στοιχειώδης πίνακες]], οι οποίοι αντιστοιχούν [[μεταθέσεις σειρών ή στηλών]] και προσθέτουν πολλαπλάσια μιας σειράς σε άλλη. Η μοναδική αξία της αποσύνθεσης εκφράζει οποιονδήποτε πίνακα '''A''' ως έναν παράγωγο '''UDV'''<sup>∗</sup>, όπου '''U''' και '''V''' είναι [[ενιαίοι πίνακες]] και '''D''' είναι ένας διαγώνιος πίνακας.
 
[[File:Jordan blocks.svg|right|thumb|250px|Ένα παράδειγμα ενός πίνακα σε κανονική μορφή Jordan. Τα γκρι μπλοκ ονομάζονται Jordan blocks.]]
Η [[φασματική αποσύνθεση]] ή ''διαγωνιοποίηση'' εκφράζει τον '''A''' ως ένα παράγωγο '''VDV'''<sup>−1</sup>, όπου '''D''' είναι ένας διαγώνιος πίνακας και '''V''' είναι ένας κατάλληλα αντιστρέψιμος πίνακας.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.4 }}</ref> Αν ο '''A''' μπορεί να γραφεί σε αυτή τη μορφή, ονομάζεται [[διαγωνιοποιήσιμος πίνακας]]. Πιο γενικά, και εφαρμόζεται σε όλους τους πίνακες, η αποσύνθεση Jordan μετασχηματίζει έναν πίνακα σε [[κανονική μορφή Jordan]], η οποία λέει ότι οι πίνακες των οποίων τα μη μηδενικά στοιχεία είναι οι φασματικές αποσυνθέσεις από το λ<sub>1</sub> στο λ<sub>n</sub> του '''A''', τοποθετημένα πάνω στην κύρια διαγώνιο και πιθανότατα στοιχεία κατάλληλα πάνω από την κύρια διαγώνιο, όπως δείχνεται δεξιά.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Ch. 3.1, 3.2 }}</ref> Δίνοντας την φασματική αποσύνθεση, η ''n''<sup>th</sup> δύναμη του '''A''' (δηλ., ''n'' φορές επαναλαμβάνεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων) μπορεί να υπολογιστεί μέσω της
:'''A'''<sup>''n''</sup> = ('''VDV'''<sup>−1</sup>)<sup>''n''</sup> = '''VDV'''<sup>−1</sup>'''VDV'''<sup>−1</sup>...'''VDV'''<sup>−1</sup> = '''VD'''<sup>''n''</sup>'''V'''<sup>−1</sup>
Γραμμή 486 ⟶ 490 :
 
==Περίληψη αλγεβρικών πτυχών και γενικεύσεις==
Οι πίνακες μπορούν να γενικεύονται με διαφορετικούς τρόπους. Η αφηρημένη άλγεβρα χρησιμοποιεί πίνακες με στοιχεία σε πιο γενικά πεδία ή ακόμα δακτυλίους, ενώ η γραμμική άλγεβρα κωδικοποιεί ιδιότητες πινάκων στην έννοια των γραμμικών χαρτών. Είναι πιθανό να εξετάσετε πίνακες με άπειρες στήλες και σειρές. Άλλη επέκταση είναι οι [[τανυστές]], που μπορούν να θεωρηθούν ως υψηλότερων διαστάσεων συστοιχίες αριθμών, σε αντίθεση με τους φορείς, οι οποίοι συχνά μπορούν να πραγματοποιήσουν ακολουθίες αριθμών, ενώ οι πίνακες είναι ορθογώνιοι ή δύο διαστάσεων συστοιχία αριθμών .<ref>{{Harvard citations |last1=Coburn |year=1955 |nb=yes |loc=Ch. V }}</ref> Οι πίνακες, υπόκεινται σε ορισμένες απαιτήσεις τείνοντας να σχηματίσουν [[ομάδες]] γνωστές ως ομάδες πινάκων.
 
===Πίνακες με πιο γενικά στοιχεία ===
Αυτό το άρθρο εστιάζει σε πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικά ή [[περίπλοκοι αριθμοί]]. <cite id="more_general_entries">Ωστόσο, οι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν με πιο γενικούς τύπους των στοιχείων από πραγματικούς ή περίπλοκους αριθμούς.</cite> Σε πρώτο βήμα της γενίκευσης, οποιοδήποτε πεδίο, π.χ., ανά [[σύνολο]] όπου οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της [[διαίρεσης]] είναι καλά ορισμένες, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του '''R''' ή του '''C''', για παράδειγμα [[ορθολογικοί αριθμοί]] ή [[πεπερασμένα πεδία]]. Για παράδειγμα, η [[θεωρία κωδικοποίησης]] κάνει χρήση των πινάκων πάνω από πεπερασμένα πεδία. Οπουδήποτε οι ιδιοτιμές θεωρούνται, όπως είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να υπάρχουν μόνο σε ένα πεδίο μεγαλύτερο από τους συντελεστές του πίνακα; για παράδειγμα μπορεί να είναι πολύπλοκοι σε περίπτωση ενός πίνακα με πραγματικά. Η πιθανότητα να επανερμηνεύει τα στοιχεία ενός πίνακα ως στοιχεία ενός μεγαλύτερου πεδίου (π.χ., το να βλέπεις ένα πραγματικό πίνακα ως ένα περίπλοκο πίνακα του οποίου τα στοιχεία τυχαίνει να είναι όλα πραγματικά) έπειτα επιτρέπουν θεωρώντας κάθε τετραγωνικό πίνακα να διαθέτει ένα πλήρες σύνολο των ιδιοτιμών. Εναλλακτικά εξετάστε μόνο πίνακες με στοιχεία μέσα σε ένα [[κλειστό αλγεβρικά πεδίο]], όπως είναι το '''C''', από την αρχή.
 
Πιο γενικά, η αφηρημένη άλγεβρα κάνει καταπληκτική χρήση των πινάκων με στοιχεία μέσα σε ένα δακτύλιο ''R''.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Chapter XIII }}</ref> Οι δακτύλιοι είναι μια πιο γενική έννοια από τα πεδία με μια πράξη διαίρεσης με την έννοια ότι δεν χρειάζεται να υπάρχει . Παρομοίως, οι πράξεις οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων εκτείνονται σε αυτή τη ρύθμιση , επίσης. Το σύστημα M(''n'', ''R'') όλων των τετραγωνικών ''n'' επί ''n'' πινάκων στον ''R'' είναι ένας δακτύλιος το οποίο ονομάζεται [[δακτύλιος πίνακα]], είναι ισομορφισμός στον ενδομορφισμό δακτυλίου της αριστερής ''R''-[[μονάδας]] ''R''<sup>''n''</sup>.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=XVII.1, p. 643 }}</ref> Αν ο δακτύλιος ''R'' είναι αντιμεταθετικός, π.χ., ο πολλαπλασιασμός του είναι αντιμεταθετικός, τότε M(''n'', ''R'') είναι μία ενιαία μη αντιμεταθετική (εκτός αν ''n'' = 1) [[συνειρμική άλγεβρα]] πάνω στον ''R''. Η ορίζουσα τετραγωνικών πινάκων πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο ''R'' μπορεί ακόμη να οριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Leibniz; όπως ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι αντιστρέψιμη στον ''R'', γενικεύοντας την κατάσταση πάνω στο πεδίο ''F'', όπου κάθε μη-μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Proposition XIII.4.16 }}</ref> Οι πίνακες πάνω από τους υπερδακτύλιους ονομάζονται [[υπερπίνακες]].<ref>{{Harvard citations |last1=Reichl |year=2004 |nb=yes |loc=Section L.2 }}</ref>
 
Οι πίνακες που δεν έχουν πάντα όλα τους τα στοιχεία στον δακτύλιο&nbsp;– ή ακόμα σε κανένα δακτύλιο γενικά. Μία ειδική αλλά κοινή περίπτωση είναι οι [[block πίνακες]], οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν σαν πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι από μόνα τους πίνακες. Τα στοιχεία δεν είναι απαραίτητο να είναι τετραγωνικοί πίνακες, και έτσι δεν χρειάζεται να είναι μέλη κανενός συνηθισμένου δακτυλίου; αλλά τα μεγέθη τους πρέπει να πληρούν σίγουρα προϋποθέσεις συμβατότητας.
Γραμμή 535 ⟶ 539 :
a & -b \\
b & a \end{bmatrix},</math>
 
που σύμφωνα με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών και πινάκων αντιστοιχούν μεταξύ τους. Για παράδειγμα, 2 - 2 πίνακες αντιπροσωπεύουν τον πολλαπλασιασμό με μερικούς μιγαδικούς αριθμούς μηδαμινής αξίας , όπως παραπάνω. Μια παρόμοια ερμηνεία είναι πιθανή για [[κβατέρνια]],<ref>{{Harvard citations |last1=Ward |year=1997 |loc=Ch. 2.8 |nb=yes }}</ref> και επίσης για [[άλγεβρα Κλίφορντ]] γενικά.
 
Γρήγορες τεχνικές [[κρυπτογράφηση]]ς όπως η [[αποκρυπτογράφηση Χιλ]] χρησιμοποιούν επίσης πίνακες. Παρ'όλα αυτά, λόγω της γραφικής φύσης των πινάκων, αυτοί οι κωδικοί είναι συγκριτικά εύκολοι να σπάσουν.<ref>{{Harvard citations |last1=Stinson |year=2005 |loc=Ch. 1.1.5 and 1.2.4 |nb=yes }}</ref> Τα [[γραφικά υπολογιστή]] χρησιμοποιούν πίνακες τόσο για να αναπαραστήσουν αντικείμενα και να υπολογίσουν μετατροπές αντικειμένων χρησιμοποιώντας [[πίνακας περιστροφής|πίνακες περιστροφής]] ώστε να εκτελέσουν καθήκοντα όπως προβάλλοντας ένα τρισδιάστατο αντικείμενο σε μια δισδιάστατη οθόνη, αντίστοιχα με μια θεωρητική κάμερα παρακολούθησης.<ref>{{Harvard citations |last1=Association for Computing Machinery |year=1979 |loc=Ch. 7 |nb=yes }}</ref> Πίνακες από [[πολυώνυμο δαχτυλίδι]] είναι σημαντικοί για την μελέτη της [[θεωρίας ελέγχου]].
Γραμμή 571 ⟶ 576 :
Οι [[στοχαστικοί πίνακες]] είναι τετραγωνικοί πίνακες των οποίων οι σειρές είναι [[διανύσματα πιθανοτήτων]], δηλ., των οποίων τα στοιχεία είναι μη αρνητικά και συνοψίζονται σε ένα. Οι στοχαστικοί πίνακας χρησιμοποιούνται για να ορίσουν την [[αλυσίδα Markov]] με πολλά πεπερασμένα κράτη.<ref>{{Harvard citations |last1=Latouche |last2=Ramaswami |year=1999 |nb=yes }}</ref> Μια σειρά του στοχαστικού πίνακα δίνει την [[κατανομή πιθανότητας]] για την επόμενη θέση κάποιου σωματιδίου επί του παρόντος στην κατάσταση που αντιστοιχεί στη σειρά. Ιδιότητες της αλυσίδας Markov, όπως το [[θεώρημα απορρόφησης]], δηλ., αναφέρει ότι κάθε σωματίδιο φθάνει τελικά, μπορεί να διαβαστεί από τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων μετάβασης.<ref>{{Harvard citations |last1=Mehata |last2=Srinivasan |year=1978 |nb=yes |loc=Ch. 2.8 }}</ref>
 
Η στατιστική επίσης κάνει χρήση πινάκων σε διάφορες μορφές.<ref>{{Citation |last=Healy |first=Michael |title=Matrices for Statistics |year=1986 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-850702-4 |authorlink=Michael Healy (statistician) }}</ref> Η [[περιγραφική στατιστική]] ασχολείται με την περιγραφή συνόλων δεδομένων, τα οποία μπορεί συχνά να παρασταθούν ως πίνακες δεδομένων, οι οποίοι μπορούν στη συνέχεια να υποβληθούν σε τεχνικές [[μείωση διάστασης|μείωσης διάστασης]]. Ο [[πίνακας διασποράς]] κωδικοποιεί την κοινή [[διακύμανση]] αρκετών τυχαίων μεταβλητών.<ref>{{Harvard citations |last1=Krzanowski |year=1988 |loc=Ch. 2.2., p. 60 |nb=yes }}</ref> Μια άλλη τεχνική που χρησιμοποιεί πίνακες είναι η [[γραμμική ελαχίστων τετραγώνων]], μια μέθοδος που προσεγγίζει ένα πεπερασμένο σύνολο ζευγών (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>), ..., (''x''<sub>''N''</sub>, ''y''<sub>''N''</sub>), με μια γραμμική συνάρτηση
:''y''<sub>''i''</sub> ≈ ''ax''<sub>''i''</sub> + ''b'', ''i'' = 1, ..., ''N''
η οποία μπορεί να τυποποιηθεί σε όρους πινάκων, που σχετίζονται με τη [[μοναδική αποσύνθεση αξίας]] των πινάκων.<ref>{{Harvard citations |last1=Krzanowski |year=1988 |loc=Ch. 4.1 |nb=yes }}</ref>
Γραμμή 579 ⟶ 584 :
===Συμμετρίες και μετασχηματισμοί στη φυσική===
{{Further|Συμμετρία στη φυσική}}
Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί και οι σχετικές συμμετρίες διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο στη σύγχρονη φυσική. Για παράδειγμα, το [[στοιχειώδες σωματίδιο]] στη [[θεωρία κβαντικού πεδίου]] ταξινομούνται ως αναπαραστάσεις της [[ομάδα Lorentz|ομάδας Lorentz]] της ειδικής σχετικότητας και, πιο συγκεκριμένα, με τη συμπεριφορά τους στο πλαίσιο της [[ομάδας περιστροφής]]. Συγκεκριμένες αναπαραστάσεις εμπεριεχομένων των πινάκων Pauli και γενικά των πινάκων γάμμα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της φυσικής περιγραφής των [[φερμιόνιο|φερμιονίων]], που συμπεριφέρονται ως [[spinor]]s.<ref>{{Harvard citations |last1=Itzykson |last2=Zuber |year=1980 |nb=yes |loc=Ch. 2 }}</ref> Για τα τρία ελαφρύτερα [[κουάρκ]], υπάρχει μια ομάδα-θεωρητική αναπαράσταση που αφορά την [[ειδική ενιαία ομάδα]] SU(3); για τους υπολογισμούς τους, οι φυσικοί χρησιμοποιούν μια βολική αναπαράσταση πίνακα που είναι γνωστή ως [[πίνακας Gell-Mann]], η οποία χρησιμοποιείται επίσης για την SU(3) [[ομάδα βαθμίδας]] που αποτελεί τη βάση της σύγχρονης περιγραφής των ισχυρών πυρηνικών αλληλεπιδράσεων της [[κβαντική χρωμοδυναμική|κβαντικής χρωμοδυναμικής]]. Ο [[πίνακας Cabibbo–Kobayashi–Maskawa]], με τη σειρά του, εκφράζει το γεγονός ότι τα βασικά μέλη κουάρκ που είναι σημαντικά για την [[ασθενής αλληλεπίδραση|ασθενή αλληλεπίδραση]] δεν είναι το ίδιο , αλλά σχετίζεται γραμμικά με τα βασικά μέλη κουάρκ που ορίζουν τα σωματίδια με συγκεκριμένες και διακριτές μάζες.<ref>see {{Harvard citations |last1=Burgess |last2=Moore |year=2007 |nb=yes |loc=section 1.6.3. (SU(3)), section 2.4.3.2. (Kobayashi–Maskawa matrix) }}</ref>
 
===Γραμμικοί συνδυασμοί των κβαντικών καταστάσεων===
Γραμμή 599 ⟶ 604 :
 
==Ιστορία==
Οι πίνακες έχουν μεγάλη ιστορία σχετικά με την εφαρμογή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων και ήταν γνωστοί ως συστοιχίες μέχρι το 1800. Το κινέζικο κείμενο ''[[Τα εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική τέχνη]]'' είναι το πρώτο παράδειγμα της χρήσης των μεθόδων διάταξης των στοιχείων ενός πίνακα για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων,όπως και για τη έννοια της ορίζουσας.<ref>{{Harvard citations |last1=Shen |last2=Crossley |last3=Lun |year=1999 |nb=yes }} cited by {{Harvard citations | last1=Bretscher | year=2005|nb=yes|loc=p. 1}}</ref> Το 1545 ο Ιταλός μαθηματικός [[Τζερόλαμο Καρντάνο]] έφερε τη μέθοδο στην Ευρώπη όταν δημοσίευσε το ''Ars Magna''.<ref name=":1">Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564-565</ref> Ο Ιάπωνας μαθηματικός Seki Kowa χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο για τη διάταξη των στοιχείων για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων το 1683 .<ref>{{cite book |last1=Needham |first1=Joseph |authorlink1=Joseph Needham |last2=Wang Ling |authorlink2=Wang Ling (historian) |title=Science and Civilisation in China |url=http://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117 |volume=III |year=1959 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |isbn=9780521058018 |page=117}}</ref> Ο Ολλανδός μαθηματικός Jan de Witt εκπροσωπούσε τους μετασχηματισμούς των πινάκων χρησιμοποιώντας τη διάταξη των στοιχείων το 1659 στο βιβλίο ''Στοιχειά του Curves'' (1659).<ref name=":0">Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564</ref> Μεταξύ 1700 και 1710 ο [[Λάιμπνιτς]] δημοσίευσε τη χρήση της διάταξης των στοιχείων για την καταγραφή πληροφοριών ή λύσεις και πειραματίστηκε με πάνω από 50 διαφορετικά συστήματα για τη διάταξη των πινάκων.<ref name=":1" /> Ο Gabriel Cramer παρουσίασε τους [[κανόνες του Cramer]] το 1750.''
 
Ο όρος "πίνακας" ([[Λατινικά]] "μήτρα", που προέρχεται από το ''[[wikt:mater#Latin|mater]]''—μητέρα<ref>{{Citation |url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix |title=Merriam–Webster dictionary |accessdate=April 20, 2009 |publisher=[[Merriam–Webster]] }}</ref>) επινοήθηκε από τον James Joseph [[James Joseph Sylvester|Sylvester]] το 1850,<ref>Although many sources state that J. J. Sylvester coined the mathematical term "matrix" in 1848, Sylvester published nothing in 1848. (For proof that Sylvester published nothing in 1848, see: J. J. Sylvester with H. F. Baker, ed., ''The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester'' (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904), [http://books.google.com/books?id=r-kZAQAAIAAJ&pg=PR6#v=onepage&q&f=false vol. 1.]) His earliest use of the term "matrix" occurs in 1850 in: J. J. Sylvester (1850) "Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal's theorem," ''The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'', '''37''' : 363-370. [http://books.google.com/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369#v=onepage&q&f=false From page 369]: "For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants … "</ref> ο οποίος κατανόησε έναν πίνακα ως ένα αντικείμενο που οδηγεί σε μια σειρά από ορίζουσες που σήμερα ονομάζονται δευτερεύoντα αντικείμενα, δηλαδή, τις ορίζουσες των μικρότερων πινάκων που απορρέουν από το αρχικό αφαιρώντας στήλες και γραμμές. Σε ένα έγγραφο το 1851, ο Sylvester εξηγεί:
Γραμμή 608 ⟶ 613 :
Ένας Άγγλος μαθηματικός που ονομαζόταν Cullis ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε σύγχρονη σημειογραφία στήριγμα για τους πίνακες το 1913 και έδειξε ταυτόχρονα την πρώτη σημαντική χρήση του συμβολισμού '''A''' = [''a''<sub>''i'',''j''</sub>] που εκπροσωπεί έναν πίνακα όπου το ''a''<sub>''i'',''j''</sub> αναφέρεται στην '' i''-νιοστή σειρά και στη ''j''-νιοστή στήλη.<ref name=":1" />
 
Η μελέτη των οριζουσών ξεπήδησε από διάφορες πηγές .<ref>{{Harvard citations |last1=Knobloch |year=1994 |nb=yes }}</ref> Αριθμός-θεωρητικά προβλήματα (που οδήγησαν τον Karl) αφορούσαν συντελεστές [[τετραγωνικής μορφής]], δηλαδή, εκφράσεις όπως {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' − 2''y''<sup>2</sup>,}} και [[γραμμικές απεικονίσεις]] σε τρεις διαστάσεις για έναν πίνακα . Ο Gotthold Eisenstein ανέπτυξε περαιτέρω αυτές τις έννοιες, όπως η παρατήρηση ότι, στο σύγχρονο ιδίωμα, το [[γινόμενο των πινάκων]] είναι μη-μεταθετικό. Ο [[Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ]] ήταν ο πρώτος που απέδειξε γενικές δηλώσεις σχετικά με τις ορίζουσες χρησιμοποιώντας ως ορισμό της ορίζουσας ενός πίνακα '''A''' = [''a''<sub>''i'',''j''</sub>] το εξής: να υποκαταστήσει τις δυνάμεις ''a''<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup> από ''a''<sub>''jk''</sub> στο [[πολυώνυμο]]
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;</math>,
όπου Π συμβολίζει το [[γινόμενο]] των ενδεικτικών όρων. Επίσης έδειξε, το 1829, ότι οι [[ιδιοτιμές]] των συμμετρικών πινάκων είναι πραγματικές.<ref>{{Harvard citations |last1=Hawkins |year=1975 |nb=yes }}</ref> ο Jacobi μελέτησε τις "συναρτησιακές ορίζουσες"—αργότερα ονομάστηκαν [[ορίζουσες Jacobi]] από τον Sylvester—που συνήθιζε να περιγράφει γεωμετρικούς μετασχηματισμούς σε τοπικό (ή [[απειροελάχιστο]]) επίπεδο, δείτε παραπάνω; [[Leopold Kronecker|Kronecker's]] ''Vorlesungen über die Theorie der Determinanten''<ref>{{Harvard citations |last1=Kronecker |editor1-last=Hensel |year=1897 |nb=yes }}</ref> και [[Karl Weierstrass|Weierstrass']] ''Zur Determinantentheorie'',<ref>{{Harvard citations |last1=Weierstrass |year=1915 |volume=3 |loc=pp. 271–286 |nb=yes }}</ref> μαζί δημοσιεύτηκαν το 1903, οι πρώτες ορίζουσες αξιωματικά, σε αντίθεση με προηγούμενες πιο συγκεκριμένες προσεγγίσεις όπως ο τύπος του Cauchy που αναφέρθηκε. Σ' εκείνο το σημείο, οι ορίζουσες είχαν εδραιωθεί.
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Πίνακας_(μαθηματικά)"