Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

μ
Ρομπότ:Διόρθωση προτύπου
μ (Ρομπότ: προσθήκη σήμανσης επαληθευσιμότητας)
μ (Ρομπότ:Διόρθωση προτύπου)
 
{{χωρίς παραπομπές}}
 
Στα [[μαθηματικά]], τη [[μαθηματική φυσική]] και στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, μια '''αρμονική συνάρτηση''' είναι μια δύο φορές συνεχώς [[Διαφόριση|διαφορίσιμη]] [[συνάρτηση]] f:U→R (όπου U ένα ανοικτό [[υποσύνολο]] του R<sup>n</sup>), η οποία ικανοποιεί την [[Εξίσωση Λαπλάς|εξίσωση Λαπλας]] π.χ
 
<math>{\partial^2f\over\partial x_1^2}+{\partial^2f\over\partial x_2^2}+...+{\partial^2f\over\partial x_n^2}=0</math> ,παντού στο U.
Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις [[συνοριακές συνθήκες]] (όπως είναι οι οριακές συνθήκες Dirichlet ή οι Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγεται μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, καθώς τείνουμε στο άπειρο. Η μοναδικότητα προκύπτει από το [[θεώρημα του Liouville]].
 
Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της [[Ηλεκτροστατική|ηλεκτροστατικήςηλεκτροστατική]]ς. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το [[Ηλεκτρικό δυναμικό|ηλεκτροστατικό δυναμικό]] λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παραγάγει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντιστροφή]] κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.
 
Τέλος, παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων ''n'' μεταβλητών είναι:
Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα δοσμένο [[ανοιχτό σύνολο]] U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή Λαπλάς Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικό χώρο]] πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.
 
Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση στο σύνολο U, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f θα είναι αρμονικές συναρτήσεις στο U.
 
Κατά κάποιο τρόπο, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι οι πραγματικές συναρτήσεις ανάλογες των [[Ολόμορφη συνάρτηση|ολόμορφων]] συναρτήσεων.
 
Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι [[Αναλυτική συνάρτηση|αναλυτικές]], μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο [[Τελεστής Λαπλάς|τελεστής Λαπλας]].
 
Το ομοιόμορφο [[Όριο ακολουθίας|όριο]] μιας συγκλίνουσας [[Ακολουθία|ακολουθίαςακολουθία]]ς αρμονικών συναρτήσεων είναι κι αυτό αρμονικό. Αυτό ισχύει καθώς κάθε [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχής συνάρτηση]] που ικανοποιεί την ιδιότητα της μέσης τιμής είναι αρμονική.
 
Ας εξεταστεί η ακολουθία <math>fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)</math> , ορισμένη στο <math>(-\infty,0)\times R</math>. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και [[Ομοιόμορφη σύγκλιση|συγκλίνει ομοιόμορφα]] στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι [[Μερική παράγωγος|μερικές παράγωγοι]] της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.
 
=== Ιδιότητα του Μέσου Όρου ===
Εάν ''B''(''x'', ''r'') είναι μια μπάλα με κέντρο το ''x'' και ακτίνα ''r'' , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> , τότε η τιμή ''u''(''x'') μιας αρμονικής συνάρτησης ''u'': Ω → '''R''' στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το [[Μέσος όρος|μέσο όρο]] των τιμών της ''u'' στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της ''u'' στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια
 
<math> u(x) = \frac{1}{n \omega_n r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} u\, d\sigma = \frac{1}{\omega_n r^n}\int_{B (x,r)} u\, dV</math>,
 
όπου ω<sub>''n''</sub> είναι ο όγκος της μοναδιαίας [[Σφαίρα|σφαίραςσφαίρα]]ς σε n διαστάσεις και σ είναι το n-1 διάστατο επιφανειακό μέτρο.
 
Αντίστροφα, όλες οι τοπικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα της μέσης τιμής, είναι και απείρως παραγωγίσιμες και αρμονικές.
Η παρακάτω αρχή της εξάλειψης των ανώμαλων σημείων ισχύει για τις αρμονικές συναρτήσεις.
 
Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο <math>\Omega\backslash\{x_0\}</math> του '''R'''<sup>n</sup> , η οποία παρουσιάζει μικρότερη ανωμαλία στο <math>x_0</math> από ότι η θεμελιώδης λύση, δηλαδή
 
<math>f(x)=o\left( \vert x-x_0 \vert^{2-n}\right),\qquad\text{as }x\to x_0,</math>
 
=== Ασθενής αρμονική συνάρτηση ===
Μια συνάρτηση (ή γενικότερα μια [[Κατανομή πιθανότητας|κατανομή]]) είναι ασθενώς αρμονική εάν ικανοποιεί ασθενώς την εξίσωση του Λαπλάς <math>\Delta f = 0\,</math>. Μια ασθενώς αρμονική συνάρτηση συμπίπτει σχεδόν εξ'ολοκλήρου με μια ισχυρά αρμονική συνάρτηση, και είναι συγκεκριμένα, λεία. Μια ασθενώς αρμονική κατανομή είναι ακριβώς η κατανομή εκείνη που σχετίζεται με μια ισχυρώς αρμονική συνάρτηση, είναι όμως επιπλέον και λεία. Αυτό είναι το λήμμα του Γουέιλ.
 
Υπάρχουν κι άλλες ασθενής φόρμουλες της [[Εξίσωση Λαπλάς|εξίσωσης Λαπλάς]] που είναι συχνά χρήσιμες. Μια από αυτές είναι η αρχή του Ντιριχλετ. Η αρχή αυτή αναπαριστά τις αρμονικές συναρτήσεις ''H''<sup>1</sup>(Ω) στο χώρο του Σομπολεφ, σαν ελαχιστοποιητές του ολοκληρώματος της ενέργειας του Ντιριχλετ
 
<math>J(u):=\int_\Omega |\nabla u|^2\, dx</math>
 
=== Αρμονικές απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων ===
<blockquote>Εάν Μ και Ν είναι δυο πολλαπλότητες Ριμαν, τότε μια αρμονική απεικόνιση u: M <math>\rightarrow</math> N ορίζεται να είναι ένα κρίσιμο σημείο της ενέργειας Ντιριχλετ</blockquote><blockquote><math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math></blockquote><blockquote>όπου {{nowrap|''du'' : ''TM'' &rarr; ''TN''}} είναι το διαφορικό της u, και η νόρμα είναι αυτή που συμπεριλαμβάνεται από τη μετρική στο Μ και αυτή στο Ν στο εξωτερικό γινόμενο ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>&#x2212;1</sup> ''TN.''</blockquote>Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις αρμονικών απεικονίσεων μεταξύ πολλαπλοτήτων αποτελούν οι ελάχιστες επιφάνειες, οι οποίες είναι ακριβώς εκείνες οι αρμονικές ενθέσεις μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Γενικότερα,οι ελάχιστες υποπολλαπλότητες είναι αρμονικές ενθέσεις μιας πολλαπλότητας στην άλλη. Οι αρμονικές [[συντεταγμένες]] είναι αρμονικοί διφεομορφισμοί από μια πολλαπλότητα σε ένα ανοιχτό [[υποσύνολο]] της ίδιας [[Διάσταση|διάστασηςδιάσταση]]ς στον Ευκλείδειο χώρο.
 
 
{{authority control}}