Μπάλα (μαθηματικά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

[[Αρχείο:Sphere_wireframe.svg|μικρογραφία| Στον Ευκλείδειο χώρο, μια '''μπάλα''' είναι ο όγκος που οριοθετείται από μια σφαίρα ]]

Στα [[μαθηματικά]], μια '''μπάλα''' είναι ο χώρος που οριοθετείται από μια [[σφαίρα]]. Μπορεί να είναι μια '''κλειστή μπάλα''' (συμπεριλαμβανομένων των [[Σύνορο (τοπολογία)|οριακών σημείων]] που αποτελούν τη σφαίρα) ή μια '''ανοιχτή μπάλα''' (εξαιρουμένων αυτών).

Αυτές οι έννοιες ορίζονται όχι μόνο στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο αλλά και για τις κατώτερες και υψηλότερες διαστάσεις και για τους [[Μετρικός χώρος|μετρικούς χώρους]] εν γένει. Μια ''μπάλα'' διάστασης {{Mvar|n}} ονομάζεται '''{{Mvar|n}}-μπάλα''' και οριοθετείται από μια '''({{math|''n'' − 1}})-σφαίρα'''. Έτσι, για παράδειγμα, μια μπάλα στο [[Δισδιάστατος χώρος|ευκλείδειο επίπεδο]] είναι ένας [[Δίσκος (γεωμετρία)|δίσκος]], η περιοχή που οριοθετείται από έναν [[Κύκλος|κύκλο]]. Στο τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, μια μπάλα θεωρείται ότι είναι ο [[όγκος]] που οριοθετείται από μια [[Σφαίρα|δισδιάστατη σφαίρα]]. Σε ένα [[Μονοδιάστατος χώρος|μονοδιάστατο χώρο]], μια μπάλα είναι ένα [[Ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμο τμήμα]].

Σε άλλα πλαίσια, όπως στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία]] και στην καθημερινή χρήση, η ''σφαίρα'' χρησιμοποιείται μερικές φορές για να σημαίνει ''μπάλα''.

Στο ευκλείδειο {{Mvar|n}}-διάστατο χώρο, μία (ανοιχτή) {{Mvar|n}}-μπαλα ακτίνας {{Mvar|r}} και κέντρου {{Mvar|x}} είναι το σύνολο όλων των σημείων με απόσταση από το {{Mvar|x}}, μικρότερη του {{Mvar|r}}. Μια κλειστή {{Mvar|n}}-μπάλα ακτίνας {{Mvar|r}} είναι το σύνολο όλων των σημείων με απόσταση από το {{Mvar|x}}, μικρότερη ή ίση του {{Mvar|r}} .

Στον ευκλείδειο {{Mvar|n}}-διάστατο χώρο, κάθε μπάλα είναι οριοθετημένη από μια υπερσφαίρα Η μπάλα είναι ένα οριοθετημένο [[Διάστημα (μαθηματικά)|διάστημα]] όταν {{Math|1=''n'' = 1}}, είναι ένας '''[[Δίσκος (γεωμετρία)|δίσκος]]''' που οριοθετείται από έναν [[Κύκλος|κύκλο]] όταν {{Math|1=''n'' = 2}}, και οριοθετείται από μια [[σφαίρα]] όταν {{Math|1=''n'' = 3}}.

Έστω {{Math|(''M'', ''d'')}} ένας [[Μετρικός χώρος|μετρικός χώρος]], δηλαδή ένα σύνολο {{Mvar|M}} με μια [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]] (συνάρτηση απόστασης) {{Mvar|d}}. Η ανοικτή (μετρική) '''σφαίρα με ακτίνα''' {{Math|''r'' > 0}} με κέντρο ένα σημείο {{Mvar|p}} στο {{Mvar|M}}, συνήθως συμβολίζεται με {{Math|''B_r''(''p'')}} ή {{Math|''B''(''p''; ''r'')}}, ορίζεται ως