Ταυτότητα του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

ΗΣτη [[μαθηματική ανάλυση]], η '''ταυτότητα του Όιλερ''' (''Euler's identity'') στη [[μαθηματική ανάλυση]], είναιείν' η εξίσωση:

όπου:

:<math>e\,\!</math> είναιείν' ο [[Αριθμός e (μαθηματικά)|αριθμός του Όιλερ]], η βάση των φυσικών [[λογάριθμος|λογαρίθμων]],

:<math>i\,\!</math> είναιείν' οη [[Φανταστική μονάδα|φανταστικός αριθμόςμονάδα]] τουτης οποίουοποίας το τετράγωνο ισούται με μείον ένα<math>i^2=-1</math>, και

:<math>\pi\,\!</math> είν' ο [[λόγοςΠ (μαθηματικάμαθηματική σταθερά)|λόγος]] τουπεριφέρειας μήκους(<math> της2 περιφέρειας\pi ενόςR </math>) προς [[κύκλοςδιάμετρος|κύκλουδιάμετρο]] προς(<math> τη2R </math>) ενός [[διάμετροςκύκλος|διάμετρόκύκλου]] του.

Πήρε τοτ' όνομά της απόαπ' τον [[Λέοναρντ Όιλερ]] και μερικές φορές είναι γνωστή καικι ως '''εξίσωση του Όιλερ'''.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση τηςτου [[Τύπος του Όιλερ|εξίσωσης τουτύπου Όιλερ]], σύμφωνα με τηντον οποία:

για κάθε [[πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμό]] ''x''. (οιΟι μονάδες δίνονται σεσ' [[Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)|ακτίνια]].) Συγκεκριμένα, ανεάν ληφθεί:

τότε:

Αφού:

που δίνει την ταυτότητα:

Αν καικι ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το ''e'' με τους όρους [[ημίτονο]] και [[συνημίτονο]], δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.