Βικιπαίδεια

Ανάδελτα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
P4184629 (συζήτηση | συνεισφορές)
2 επεξεργασίες
Μιας και γράφω εξετάσεις στο μάθημα Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, είπα να διορθώσω το λήμμα γιατί πολλά λάθη καθώς και πράγματα που δεν είχαν σχέση με το λήμμα.
Γραμμή 1:
'''Ανάδελτα''' είναι [[ευκλείδιο διάνυσμα|διανυσματικός]] [[διαφορικό|διαφορικός]] [[τελεστής]] των [[μερική παράγωγος|μερικών παραγώγων]] μιας [[συνάρτηση|συνάρτησης]] ωςπολλών προςανεξαρτήτων τιςμεταβλητών τρεις(συνήθως των 3 [[διάσταση|διαστάσειςδιαστάσεων]] του [[χώρος|χώρου]]). Γενικά, δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται ένα [[μέγεθος]] στο <math>\R^n</math> (συνήθως στο χώρο <math>\R^3</math>). Συμβολίζεται με <math>\nabla</math>, το οποίο σύμβολο μοιάζει με αναποδογυρισμένο κεφαλαίο [[Δ]]. Η χρήση του ανάδελτα μοιάζειεμφανίζεται μεσε [[εσωτερικό3 γινόμενο|εσωτερικό]]διαφορετικούς ήτελεστές: [[εξωτερικόΤης γινόμενο|εξωτερικό]]κλίσης γινόμενο(<math>\nabla</math>), τουτης οιονεί διανύσματοςαπόκλισης (<math>\frac{\partial}{\partialnabla x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}cdot</math><ref) name="χελένικα">{{citeκαι web|url=http://www.hellenica.de/Math/Telestis/TelestisAnadelta.html|title=Τελεστήςτου ανάδελτα|publisher=www.hellenica.de|accessdate=2010-06-24|format=html}}στροβιλισμού (<math>\nabla \times</refmath> με τη συνάρτηση, όπου το οιονεί διάνυσμα είναι πάντα ο πρώτος παράγοντας).
 
== Κλίση ==
== Ορισμός του ανάδελτα ==
 
Αν έχουμε μια βαθμωτή συνάρτηση με ανεξάρτητες μεταβλητές τις διαστάσεις του χώρου <math>f(x,y,z)</math> τότε η κλίση της βαθμωτής συνάρτησης είναι το διάνυσμα <math>\nabla f = grad f = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{bmatrix}</math>. Το διάνυσμα της κλίσης, έχει διάσταση όσες οι ανεξάρτητες μεταβλητές της συνάρτησης.
Έστω μια συνάρτηση ως προς τις τρεις διαστάσεις του χώρου <math>f(\vec{r})=f(x,y,z)</math>. Τότε ορίζουμε:
*<math>\nabla\cdot f\equiv\lim_{V\rightarrow 0}\left(\frac{1}{V}\oint_{C}f\cdot d\vec{a}\right) = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\hat{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\hat{z}</math><ref name="χελένικα" />
 
Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση <math>F(x_1,x_2,x_3)=
Αν η συνάρτηση f είναι διάνυσμα (<math>\vec{f}</math>) έχει συνιστώσες <math>f_x, f_y, f_z</math> ως προς του άξονες x'x, y'y, z'z αντίστοιχα, τότε ορίζουμε:
\begin{bmatrix}
*<math>\nabla\times \vec{f}\equiv\lim_{V\rightarrow 0}\left(\frac{1}{V}\oint_{C}\vec{f}\times d\vec{a}\right) = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z}\right) \hat{x} - \left(\frac{\partial f_z}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial z}\right) \hat{y} + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right) \hat{z}</math><ref name="χελένικα" />
f_1(x_1,x_2,x_3) \\ f_2(x_1,x_2,x_3) \\ f_3(x_1,x_2,x_3)
\end{bmatrix}</math> τότε η κλίση της διανυσματικής συνάρτησης είναι ο πίνακας <math>\nabla F = grad F = \begin{bmatrix}\nabla f_1 \\ \nabla f_2 \\ \nabla f_3\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\
\frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3}
\end{bmatrix}</math>. Οι στήλες του πίνακα είναι όσες οι ανεξάρτητες μεταβλητές της συνάρτησης.
 
Γενικά μιλώντας, η κλίση [[Τανυστής|τανυστή]] <math>n</math> βαθμού δίνει έναν τανυστή <math>n+1</math> βαθμού (π.χ. η βαθμωτή συνάρτηση βαθμού 0, έδωσε διάνυσμα βαθμού 1). Η επιπλέον διάσταση του τανυστή, είναι ίση με τον αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών της συνάρτησης.
Όπου C μια κλειστή επιφάνεια και V ο περικλειόμενος όγκος.
 
Στην εξίσωση <math>F(x,y,z)=0</math> η οποία αναπαριστά μια επιφάνεια στο χώρο, η κλίση <math>\nabla F</math> αναπαριστά το κάθετο (όχι απαραίτητα κανονικό) διάνυσμα σε αυτή την επιφάνεια (άρα το διάνυσμα του εφαπτόμενου επιπέδου στην επιφάνεια). Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια <math>z=f(x,y)</math> είναι <math>\nabla (z-f(x,y))</math>.
=== Κλίση και Απόκλιση ===▼
 
Η κλίση δείχνει την κατεύθυνση μέγιστης ανηφόρας για τη συνάρτηση <math>f</math>, και το μέτρο της είναι η παράγωγος κατά κατεύθυνση σε αυτή τη διεύθυνση.
Η έκφραση <math>\nabla f</math> συμβολίζεται με '''gradf''', ''κλίση της συνάρτησης f'' αν f [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματική]] συνάρτηση, και '''divf''', με <math>\nabla\cdot f</math> είναι η ''απόκλιση της συνάρτησης f'' αν f διανυσματική συνάρτηση.<ref name="χελένικα" /> Αυτή η έκφραση αναφέρεται σε συνάρτηση των τριών διαστάσεων και διαφέρει από την ''κλίση'' [[παράγωγος|παραγώγου]] πραγματικής συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής που αφορά μόνο μία διάσταση. Αν η συνάρτηση f είναι πραγματική τριών πραγματικών μεταβλητών, τότε η ''[[κλίση συνάρτησης|κλίση]]'' της αντιπροσωπεύει ένα εφαπτόμενο [[υπερεπίπεδο]] στις τέσσερις [[διάσταση|διαστάσεις]], όπως η κλίση της παραγώγου αντιπροσωπεύει μια [[εφαπτόμενη ευθεία]] στις δύο διαστάσεις.
 
<center>
<gallery widths="300" heights="200">
Αρχείο:Gradient2.svg|Γραφική απεικόνιση πραγματικής συνάρτησης f και της κλίσης της <math>\nabla\cdot f</math> η οποία είναι διανυσματική. Η συνάρτηση αναπαρίσταται χρωματικά, όσο πιο μαύρο είναι ένα σημείο, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης. Παρατηρήστε ότι η κλίση δείχνει προς την κατεύθυνση αύξησης των τιμών.
Αρχείο:Gradient.jpg|Παρομοίως με προηγουμένως, αλλά αντί για [[κλίμακα του γκρίζου]] χρησιμοποιείται [[χρωματική κλίμακα]] με μπλε τις μικρότερες τιμές και κόκκινο τις μεγαλύτερες.
</gallery>
▲=== Κλίση και Απόκλιση ===
</center>
 
Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση <math>F(x_1,x_2,x_3)=
=== Στροβιλισμός ===▼
\begin{bmatrix}
{{Κύριο|Στροβιλισμός}}
f_1(x_1,x_2,x_3) \\ f_2(x_1,x_2,x_3) \\ f_3(x_1,x_2,x_3)
Η έκφραση <math>\nabla\times f</math> συμβολίζεται<ref name="χελένικα" /> με '''rotf''' ή '''curlf''' και ονομάζεται ''στροβιλισμός της συνάρτησης f''. Αν η συνάρτηση f δεν περιέχει [[δίνη|δίνες]], τότε ο στροβιλισμός της είναι μηδέν. Μια διανυσματική συνάρτηση παρουσιάζει δίνες, αν η συνάρτηση ορίζει κλειστές διαδρομές. Δηλαδή, αν κάποιος ακολουθώντας τα διανύσματά της συνάρτησης, υπάρχει τρόπος από ένα σημείο να ξανασυναντήσει το συγκεκριμένο σημείο.
\end{bmatrix}</math> τότε η απόκλιση της, είναι ο βαθμωτός <math>\nabla\cdot F = div F = \frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \frac{\partial f_3}{\partial x_3}</math>.
 
Γενικά μιλώντας, η απόκλιση [[Τανυστής|τανυστή]] <math>n+1</math> βαθμού δίνει έναν τανυστή <math>n</math> βαθμού (π.χ. η διανυσματική συνάρτηση βαθμού 1, έδωσε βαθμωτό βαθμού 0).
Το ''εξωτερικό γινόμενο'' ανάδελτα με την f συμβολίζεται και με: <math>\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix}</math><ref name="χελένικα" />
 
Η απόκλιση αν είναι θετική, σημαίνει ότι σε ένα στοιχειώδη όγκο, έχουμε παραγωγή του μεγέθους, δηλαδή πηγή. Αν είναι αρνητική σημαίνει ότι στο στοιχειώδη όγκο έχουμε κατανάλωση του μεγέθους δηλαδή καταβόθρα. Π.χ. σε μια μεταλλική πλάκα έχουμε θετική απόκλιση εκεί που αγγίζει η εξωτερική πηγή θερμότητας και έχουμε αρνητική απόκλιση εκεί που η θερμότητα αποβάλλεται στο περιβάλλον.
σε μορφή [[ορίζουσα|ορίζουσας]], αλλά '''υποχρεωτικά η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πρώτη γραμμή'''. Αυτός ο μαθηματικός τύπος παραβιάζει τους κανόνες της [[τυπική γλώσσα|τυπικής γλώσσας]], αλλά χρησιμεύει ως [[μνημονικός κανόνας]].
 
▲=== Στροβιλισμός ===
<center>
 
Στο στροβιλισμό, σε αντίθεση με την κλίση και την απόκλιση, είναι υποχρεωτικό οι ανεξάρτητες μεταβλητές να είναι ακριβώς 3. Αυτό συμβαίνει γιατί ο τελεστής έχει μορφή που μοιάζει με το εξωτερικό γινόμενο.
 
Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση <math>F(x,y,z)=
\begin{bmatrix}
f_x(x,y,z) \\ f_y(x,y,z) \\ f_z(x,y,z)
\end{bmatrix}</math> τότε ο στροβιλισμός της, είναι η επίσης διανυσματική συνάρτηση <math>\nabla\times F = rot F = curl F =
\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
f_x & f_y & f_z
\end{vmatrix}=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z} \\
- \frac{\partial f_z}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial z} \\
\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}
\end{bmatrix}</math>. Η ορίζουσα με το εξωτερικό γινόμενο, παραβιάζει τους κανόνες της [[τυπική γλώσσα|τυπικής γλώσσας]] καθώς οι τελεστές δεν εφαρμόζονται άμεσα σε συναρτήσεις, αλλά χρησιμεύει ως [[μνημονικός κανόνας]].
 
Αν υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε ένα κανάλι όπου τρέχει νερό, σε ένα πολύ συγκεκριμένο σημείο, τότε αν πολύ κοντά σε αυτό το σημείο, όλα τα μόρια νερού τρέχουν με ταχύτητα ιδίου μέτρου και κατεύθυνσης, δεν έχουμε στροβιλισμό. Αν π.χ. τα μόρια που έρχονται κάπως δεξιότερα είναι κατά τι πιο γρήγορα από αυτά που μας έρχονται από κάπως αριστερότερα, τότε έχουμε στροβιλισμό. Π.χ. μέσα σε ένα κανάλι με στρωτή ροή, τα μόρια νερού κοντά στα τοιχώματα κινούνται πιο αργά από ότι στο κέντρο του καναλιού, λόγω τριβής. Αυτό σημαίνει ότι παρότι έχουμε στρωτή ροή, έχουμε επίσης και στροβιλισμό. Κλασικό φαινόμενο στροβιλισμού είναι το να βγάλουμε το πώμα ενός νιπτήρα γεμάτου νερό.
<gallery widths="300px" heights="200px">
Αρχείο:Vector field.svg | Η διανυσματική συνάρτηση f(x,y)=(-y,x). Εμφανίζει σαφώς στροβιλισμό. Ο στροβιλισμός της ισούται με <math>\nabla\times f=2\hat{z}</math>, το οποίο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της εικόνας προς τον αναγνώστη με μέτρο δύο.
Αρχείο:Nonuniformcurl.JPG | Αναπαράσταση της διανυσματικής συνάρτησης <math>\vec{f}(x,y,z)=-x^{2}\hat{y}</math>. Είναι <math>\nabla\times\vec{f}(x,y,z)=\vec{0}</math>,λογικό αφού η συνάρτηση δεν παρουσιάζει δίνες.
</gallery>
=== Τελεστής Laplace (Λαπλάς=) ==▼
</center>
 
Ο τελεστής [[Λαπλάς]]<ref name="χελένικα">{{cite web|url=http://www.hellenica.de/Math/Telestis/TelestisAnadelta.html|title=Τελεστής ανάδελτα|publisher=www.hellenica.de|format=html|accessdate=2010-06-24}}</ref> συμβολίζεται με <math>\triangle</math> και ισούται με <math>\triangle f=\nabla \cdot \nabla f = \nabla^{2}f</math>, δηλαδή είναι η απόκλιση της κλίσης μιας συνάρτησης.
 
=== Ανάδελτα εις τη ν ===
Γραμμή 43 ⟶ 69 :
 
Σε αυτήν την περίπτωση αν η συνάρτηση f είναι διανυσματική, τότε οι [[περιττός αριθμός|περιττής]] τάξεως δυνάμεις αναπαριστούν αποκλίσεις, ενώ οι [[άρτιος αριθμός|άρτιας]] τάξης κλίσεις. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση f είναι πραγματικός αριθμός, τότε οι περιττής τάξης δυνάμεις αναπαριστούν κλίσεις, ενώ οι άρτιας αποκλίσεις. Σημειώνεται ότι τα [[μοναδιαίο διάνυσμα|μοναδιαία διανύσματα]] στη νιοστή δύναμη <math>\hat{x}^{\nu}, \hat{y}^{\nu}, \hat{z}^{\nu}</math> ισούνται με <math>\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}</math> αν ν περιττός αριθμός και με 1, 1, 1 αν ν άρτιος αριθμός.
 
▲===Τελεστής Λαπλάς===
 
Ο τελεστής [[Λαπλάς]]<ref name="χελένικα" /> συμβολίζεται με <math>\triangle</math>, δηλαδή τον ανάδελτα αναποδογυρισμένο και ορίζουμε σε μια συνάρτηση f των τριών μεταβλητών του χώρου: <math>\triangle f=\nabla^{2}f</math>.
 
== Ιδιότητες ==
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Ανάδελτα"