Κλάσμα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ Μετατροπή Δεκαδικού σε κλάσμα + Παραπομπή |
μ Προσθήκη: Σύγκριση Κλασμάτων |
||
Γραμμή 38:
Στο σύνολο των ρητών αριθμών μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι οποίες ικανοποιούν τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι πράξεις και στους ακεραίους ([[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]], [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]] και [[επιμεριστική ιδιότητα]]).
=== Απλοποίηση Κλάσματος ===▼
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στον ορισμό των ισοδύναμων κλασμάτων μπορούμε μια συγκεκριμένη αριθμητική ποσότητα να την εκφράσουμε με πολλά ίσα κλάσματα. Αυτό μπορεί να γίνει πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιονδήποτε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό. Συνήθως, σε ένα κλάσμα με μεγάλους αριθμούς στις θέσεις του αριθμητή και του παρονομαστή εφαρμόζουμε τη διαδικασία της απλοποίησης διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το [[Μέγιστος κοινός διαιρέτης|Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη]] τους ώστε να προκύψει το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα (π.χ. <math>\frac{6}{15}=\frac{6\div3}{15\div3}=\frac{2}{5}</math>). Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση του κλάσματος αφού το νέο κλάσμα που προκύπτει έχει την ίδια αριθμητική τιμή, αλλά απλούστερα νούμερα.▼
=== Σύγκριση Κλασμάτων ===
Γενικά, για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα αυτά θα πρέπει να είναι ομώνυμα, να έχουν δηλαδή τον ίδιο παρονομαστή. Τότε, ότι σχέση ανισότητας ισχύει για τους αριθμητές, θα ισχύει και για ολόκληρα τα κλάσματα. Για παράδειγμα ισχύουν οι ανισώσεις:
<math>\frac{2}{5}>\frac{1}{5}, \quad \frac{13}{27} > \frac{4}{27}, \quad \frac{-5}{13}>\frac{-8}{13}.</math>
Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα, τότε για να τα συγκρίνουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Θα πρέπει δηλαδή να βρούμε δύο ισοδύναμα κλάσματα με τα αρχικά, τα οποία θα είναι ομώνυμα. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε με τη διαδικασία που να αναφέρεται παραπάνω στην υποπαράγραφο "Ομώνυμα-Ετερώνυμα Κλάσματα". Για παράδειγμα, αν θέλουμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα <math>\frac{5}{6}</math> και <math>\frac{13}{15}</math>, βρίσκουμε τα ισοδύναμα ομώνυμα κλάσματα, τα οποία είναι τα <math>\frac{25}{30}</math> και <math>\frac{26}{30}</math> αντίστοιχα. Αφού ισχύει ότι <math>\frac{25}{30}<\frac{26}{30}</math> θα ισχύει και <math>\frac{5}{6}<\frac{13}{15}</math>.
=== Μετατροπή σε Δεκαδικό Αριθμό ===
Κάθε κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε έναν δεκαδικό αριθμό αν διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή εφαρμόζοντας τον κλασσικό αλγόριθμο της [[Κάθετη διαίρεση|κάθετης διαίρεσης]]. Για παράδειγμα, το κλάσμα <math>\frac{13}{25}</math> δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.52. Πολύ συχνά, η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί γιατί το υπόλοιπο δεν γίνεται ποτέ ίσο με το 0. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, μπορούμε να βρούμε μια περιοδικότητα στα ψηφία του δεκαδικού αριθμού. Για παράδειγμα, το κλάσμα <math>\frac{11}{15}</math> δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.7333... Σε αυτή την περίπτωση η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί ποτέ, αλλά παρατηρούμε ο αριθμός 3 επαναλαμβάνεται επ' άπειρον.
Γραμμή 63 ⟶ 74 :
\end{align}</math>
▲=== Απλοποίηση Κλάσματος ===
▲Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στον ορισμό των ισοδύναμων κλασμάτων μπορούμε μια συγκεκριμένη αριθμητική ποσότητα να την εκφράσουμε με πολλά ίσα κλάσματα. Αυτό μπορεί να γίνει πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιονδήποτε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό. Συνήθως, σε ένα κλάσμα με μεγάλους αριθμούς στις θέσεις του αριθμητή και του παρονομαστή εφαρμόζουμε τη διαδικασία της απλοποίησης διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους ώστε να προκύψει το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα (π.χ. <math>\frac{6}{15}=\frac{6\div3}{15\div3}=\frac{2}{5}</math>). Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση του κλάσματος αφού το νέο κλάσμα που προκύπτει έχει την ίδια αριθμητική τιμή, αλλά απλούστερα νούμερα.
| |||