Αριθμητική πρόοδος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας Ετικέτες: Αναιρέθηκε Επεξεργασία από κινητό Διαδικτυακή επεξεργασία από κινητό |
μ Αναστροφή της επεξεργασίας από τον 62.74.11.100 (συνεισφ.), επιστροφή στην τελευταία εκδοχή υπό 94.66.220.147 Ετικέτα: Επαναφορά |
||
Γραμμή 1:
{{πηγές|16|06|2012}}
'''Αριθμητική πρόοδος''' είναι η [[ακολουθία]], στην οποία για δύο διαδοχικούς όρους της α<sub>ν</sub>, α<sub>ν+1</sub> ισχύει ότι α<sub>ν+1</sub> = α<sub>ν</sub> + ω, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα ω ονομάζεται '''διαφορά''' της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το ν, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους τύπους:
*Γενικός τύπος: α<sub>ν</sub>=α<sub>1</sub>+(ν-1)ω, όπου ορίζεται ο νιοστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
*Αναδρομικός τύπος: α<sub>ν</sub>=α<sub>ν-1</sub>+ω, όπου ορίζεται ο νιοστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.
Αν ω > 0 , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
Αν ω < 0 , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
Αν ω = 0 , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.
'''Αρμονική πρόοδος''' λέγεται κάθε ακολουθία αριθμών α<sub>1</sub> , α<sub>2</sub> , .... , α<sub>ν</sub> (ν μη μηδενικός φυσικός αριθμός)
αν και μόνο αν οι αριθμοί : <math>\frac{1}{a_1}</math> , <math>\frac{1}{a_2}</math> , ... , <math>\frac{1}{a_\nu}</math> , αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
== Ιδιότητες της προόδου ==
*Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικα σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ω.
*Ο ''αριθμητικός [[Μέσος όρος αριθμών|μέσος όρος]]'' δύο αριθμών α, γ είναι ο β, [[αν και μόνο αν]] οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
*Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου α<sub>ν</sub> (με πρώτο όρο τον α<sub>1</sub>) ισούται με
:<math>\Sigma_\nu=\frac{\nu(\alpha_1+\alpha_\nu)}{2}</math>
:Αυτός ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκάους]] σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000 και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.
*Αν ω=1 και α<sub>1</sub>=1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των [[φυσικοί αριθμοί|φυσικών αριθμών]].
== Περαιτέρω ανάγνωση ==
| |||