Τριώνυμο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Αλλαγή αρχικής περιγραφής, προσθήκη διαδικασίας ριζών και παραγοντοποίησης |
Προσθήκη για το πρόσημο τριωνύμου |
||
Γραμμή 1:
Τριώνυμο στα μαθηματικά ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma</math><ref>{{Cite web|url=http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/A_alg_4anisoseis/42.html|title=4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.2 Aνισώσεις 2ου βαθμού|website=users.sch.gr|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190806191302/http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/A_alg_4anisoseis/42.html|archivedate=2019-08-06|accessdate=2020-02-16|url-status=dead}}</ref>. Ο όρος "τριώνυμο" προκύπτει από το γεγονός ότι πρόκειται για ένα άθροισμα τριών μονωνύμων. Συνήθη προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι (μεταξύ άλλων) η εύρεση ριζών του τριωνύμου, η παραγοντοποίηση<ref>{{Cite web|url=http://users.sch.gr/dpanagiotis/archives/1|title=Παραγοντοποίηση Τριωνύμου – mathland|language=el|accessdate=2020-02-16|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200216143742/http://users.sch.gr/dpanagiotis/archives/1|archivedate=2020-02-16|url-status=dead}}</ref> και η αναζήτηση του προσήμου του. Στα ελληνικά σχολεία οι μαθητές διδάσκονται τις βασικές τεχνικές που αφορούν το τριώνυμο στην Γ΄ Γυμνασίου και στην Γ΄ Λυκείου.
=== Ρίζες Τριωνύμου ===
Ένα από τα βασικότερα προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι η εύρεση των τιμών που τα μηδενίζουν, δηλαδή η επίλυση της εξίσωσης <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0</math>. Η συγκεκριμένη εξίσωση συνήθως ονομάζεται δευτεροβάθμια εξίσωση ή εξίσωση 2ου βαθμού. Γι' αυτές τις εξισώσεις έχουν προταθεί πολλοί τρόποι επίλυσης, αλλά η πιο ευρέως διαδεδομένη είναι η μέθοδος της διακρίνουσας. Σε αυτή τη μέθοδο αρχικά υπολογίζεται η διακρίνουσα <math>\Delta</math> του τριωνύμου με βάση τον τύπο <math>\Delta = \beta^2-4\alpha\gamma</math>. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας το τριώνυμο έχει δύο, μία ή καμμιά πραγματική ρίζα. Πιο συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή <math>\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}</math>) θα ισχύει:
Γραμμή 10:
Τέλος, αν <math>\Delta<0</math>, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, δεν υπάρχουν δηλαδή πραγματικές τιμές που μηδενίζουν το αντίστοιχο τριώνυμο. Υπάρχουν όμως ρίζες που ανήκουν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών και οι οποίες δίνονται από τους τύπους <math>x_1 = \frac{-\beta + \sqrt{\Delta}\cdot\mathrm{i}}{2\alpha}</math>, <math>x_2 = \frac{-\beta - \sqrt{\Delta}\cdot\mathrm{i}}{2\alpha}</math>, όπου <math>\mathrm{i}</math> είναι η φανταστική μονάδα με <math>\mathrm{i}^2=-1</math>. Όπως προβλέπει και η θεωρία των μιγαδικών αριθμών, οι δύο ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.
=== Παραγοντοποίηση Τριωνύμου ===
Πολύ συχνά προκύπτει η ανάγκη να μετατραπεί ένα τριώνυμο σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων, ώστε να γίνει κάποια απλοποίηση της παράστασης. Και σε αυτή την περίπτωση ο υπολογισμός της διακρίνουσας παίζει κρίσιμο ρόλο.
Γραμμή 18:
Τέλος, αν <math>\Delta<0</math>, τότε το τριώνυμο δε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές. Μπορεί βέβαια να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων με μιγαδικούς συντελεστές, χρησιμοποιώντας τις μιγαδικές ρίζες του τριωνύμου, δηλαδή: <math>\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\cdot(x - x_1)\cdot(x-x_2)</math>.
=== Πρόσημο Τριωνύμου ===
Ένα ακόμη πρόβλημα που ανακύπτει συχνά είναι η ανάγκη αναζήτησης του προσήμου ενός τριωνύμου, δηλαδή η αναζήτηση των τιμών που πρέπει να βάλουμε στον άγνωστο <math>x</math> για να γίνει το τριώνυμο θετικό ή αρνητικό. Και πάλι υπάρχουν 3 περιπτώσεις, ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας.
Αν <math>\Delta>0</math>, τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου (<math>a</math>) εκτός από το διάστημα ενδιάμεσα των ριζών του όπου το πρόσημο είναι αντίθετο. Δηλαδή για όλα τα <math>x\in(-\infty, x_1)\cup(x_2,+\infty)</math> το τριώνυμο παίρνει τιμές ομόσημες του <math>a</math>, ενώ για όλα τα <math>x\in(-x_1, x_2)</math>, το τριώνυμο παίρνει τιμές ετερόσημες του <math>a</math>.
Αν <math>\Delta=0</math>, τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου (<math>a</math>) εκτός βέβαια από την τιμή της ρίζας όπου μηδενίζεται.
Τέλος, αν <math>\Delta<0</math>, τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου (<math>a</math>) για όλες τις τιμές του <math>x</math>.
== Παραπομπές ==
{{Παραπομπές
== Εξωτερικοί Σύνδεσμοι ==
[https://www.youtube.com/watch?v=sVK8QQfpoik&t=948s Τριώνυμο] - βίντεο στο youtube
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
[[Κατηγορία:Μαθηματικά]]
| |||