Εικοστό πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το εικοστό πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Διερωτάται αν όλα τα προβλήματα συνοριακών τιμών μπορούν να επιλυθούν (δηλαδή, αν τα προβλήματα μεταβολών με ορισμένες συνοριακές συνθήκες έχουν λύσεις).

Εισαγωγή

Ο Χίλμπερτ παρατήρησε ότι υπήρχαν μέθοδοι για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων όπου οι τιμές της συνάρτησης δίνονταν στο σύνορο, αλλά το πρόβλημα ζητούσε μεθόδους για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων με πιο περίπλοκες συνθήκες στο σύνορο (π.χ. που περιλαμβάνουν παραγώγους της συνάρτησης), ή για την επίλυση προβλημάτων του λογισμού της μεταβολής σε περισσότερες από μία διαστάσεις ( παραδείγματος χάριν, προβλήματα ελάχιστης επιφάνειας ή ελάχιστης καμπυλότητας).

Διατύπωση του προβλήματος

Η αρχική δήλωση του προβλήματος στο σύνολό της έχει ως εξής:

Ένα σημαντικό πρόβλημα που συνδέεται στενά με τα προηγούμενα που αναφέρονται στο δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι το ερώτημα σχετικά με την ύπαρξη λύσεων μερικών διαφορικών εξισώσεων όταν οι τιμές στο όριο της περιοχής είναι προκαθορισμένες. Το πρόβλημα αυτό επιλύεται σε μεγάλο βαθμό με τις μεθόδους των Χ. Α. Σβαρτς, Κ. Νόιμαν και Πουανκαρέ για τη διαφορική εξίσωση του δυναμικού. Οι μέθοδοι αυτές, ωστόσο, φαίνεται ότι γενικά δεν μπορούν να επεκταθούν άμεσα στην περίπτωση όπου κατά μήκος του συνόρου προδιαγράφονται είτε οι διαφορικοί συντελεστές είτε οποιεσδήποτε σχέσεις μεταξύ αυτών και των τιμών της συνάρτησης. Επίσης, δεν μπορούν να επεκταθούν άμεσα στην περίπτωση όπου η έρευνα δεν αφορά δυνητικές επιφάνειες αλλά, ας πούμε, επιφάνειες ελάχιστης επιφάνειας ή επιφάνειες σταθερής θετικής Γκαουσιανής καμπυλότητας, οι οποίες πρέπει να περάσουν από μια καθορισμένη στρεβλωμένη καμπύλη ή να εκταθούν πάνω από μια δεδομένη επιφάνεια δακτυλίου. Έχω την πεποίθηση ότι θα είναι δυνατόν να αποδειχθούν αυτά τα θεωρήματα ύπαρξης μέσω μιας γενικής αρχής της οποίας η φύση υποδεικνύεται από την αρχή του Ντίριχλετ. Αυτή η γενική αρχή θα μας επιτρέψει τότε ίσως να προσεγγίσουμε το ερώτημα: Κάθε πρόβλημα κανονικής μεταβολής δεν έχει λύση, εφόσον ικανοποιούνται ορισμένες υποθέσεις σχετικά με τις δεδομένες οριακές συνθήκες (ας πούμε ότι οι συναρτήσεις που αφορούν αυτές τις οριακές συνθήκες είναι συνεχείς και έχουν κατά τμήματα μία ή περισσότερες παραγώγους), και εφόσον επίσης, αν χρειαστεί, η έννοια της λύσης θα επεκταθεί κατάλληλα;

Προβλήματα συνοριακών τιμών

Στον τομέα των διαφορικών εξισώσεων, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών είναι μια διαφορική εξίσωση μαζί με ένα σύνολο πρόσθετων περιορισμών, που ονομάζονται οριακές συνθήκες. Η λύση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί επίσης τις συνοριακές συνθήκες.

Για να είναι χρήσιμο σε εφαρμογές, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών πρέπει να είναι καλά διατυπωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεδομένης της εισόδου του προβλήματος υπάρχει μια μοναδική λύση, η οποία εξαρτάται συνεχώς από την είσοδο. Μεγάλο μέρος της θεωρητικής εργασίας στον τομέα των μερικών διαφορικών εξισώσεων αφιερώνεται στην απόδειξη ότι τα προβλήματα οριακών τιμών που προκύπτουν από επιστημονικές και μηχανολογικές εφαρμογές είναι πράγματι καλά τοποθετημένα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους
• Λογισμός των μεταβολών
• Διαφορική εξίσωση
• Γραμμική άλγεβρα
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δευτεροβάθμια εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία αριθμών
• Διανυσματικός χώρος

Βιβλιογραφία

• Malý, Jan· Ziemer, William P. (1997). Fine Regularity of Solutions of Elliptic Partial Differential Equations. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0335-6. 
• Chang, Sooyoung (2011). Academic Genealogy of Mathematicians. World Scientific. ISBN 978-981-4282-29-1. 
• Urbano, José Miguel (20 Μαΐου 2008). The Method of Intrinsic Scaling: A Systematic Approach to Regularity for Degenerate and Singular PDEs. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-75931-7. 
• Antman, Stuart S.· Brezis, Haim (6 Δεκεμβρίου 2012). Analysis and Continuum Mechanics: A Collection of Papers Dedicated to J. Serrin on His Sixtieth Birthday. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-83743-2. 
• Ancona, Fabio· Hermes, Henry (2008). Geometric Control and Nonsmooth Analysis: In Honor of the 73rd Birthday of H. Hermes and of the 71st Birthday of R.T. Rockafellar. World Scientific. ISBN 978-981-277-606-8. 
• Citti, Giovanna· Grafakos, Loukas (28 Απριλίου 2015). Harmonic and Geometric Analysis. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-0408-0. 
• Derigs, Ulrich (9 Φεβρουαρίου 2009). OPTIMIZATION AND OPERATIONS RESEARCH – Volume III. EOLSS Publications. ISBN 978-1-905839-50-6. 
• Ancona, Fabio· Hermes, Henry (2008). Geometric Control and Nonsmooth Analysis: In Honor of the 73rd Birthday of H. Hermes and of the 71st Birthday of R.T. Rockafellar. World Scientific. ISBN 978-981-277-606-8. 
• Jakubczyk, B. (17 Απριλίου 2013). Perspectives in Control Theory: Proceedings of the Sielpia Conference, Sielpia, Poland, September 19–24, 1988. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-2105-8. 
• Boyer, Carl B.· Merzbach, Uta C. (25 Ιανουαρίου 2011). A History of Mathematics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3. 

Παραπομπές

• Krzywicki, Andrzej (1997), «Hilbert's Twentieth Problem», Hilbert's Problems (Mi\polhk edzyzdroje, 1993), Polsk. Akad. Nauk, Warsaw, σελ. 237–245 .
• Serrin, James (1976), «The solvability of boundary value problems», Mathematical developments arising from Hilbert problems (Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., May 1974), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, XXVIII, Providence, R. I.: American Mathematical Society, σελ. 507–524 .
• Sigalov, A. G. (1969), «On Hilbert's nineteenth and twentieth problems», Hilbert's Problems, Moscow: Izdat. “Nauka”, σελ. 204–215 .

Πηγές

• Benjamin Hart Yandell (2002). The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}. 
• «Wisted l-functions over number fields and hilbert's eleventh problem». 
• «Mathematical developments arising from Hilbert problems - American Mathematical Society» (PDF). 
• «The Hilbert Problems» (PDF).