Ελάχιστο πολυώνυμο

Έστω ${\mathit {L}}:{\mathit {K}}$ επέκταση σωμάτων και ένα στοιχείο $a\in L$ αλγεβρικό επί του ${\mathit {K}}$.Ως ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ επί του ${\mathit {K}}$ (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο $m(t)\in {\mathit {K}}[t]$ ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει $m(a)=0$.

Παράδειγμα

• Το $i\in \mathbb {C}$ είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του $\mathbb {R}$ καθως είναι ρίζα του $p(t)=t^{2}+1\in \mathbb {R} [t]$ το οποίο είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του i επι του $\mathbb {R}$.Πράγματι αν υπήρχε μονικό πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού στο $\mathbb {R} [t]$ με $n(i)=0$ τότε επειδή $degn<degm=2$ το $n(t)$ θα ήταν της μορφής $n(t)=t+q$ από το οποίο έπεται ότι $i\in \mathbb {R}$ άτοπο.