Ευθεία Σίμσον
Στην γεωμετρία, η ευθεία Σίμσον ή αλλιώς ευθεία Σίμσον-Γουάλας (αναφέρεται και ως ευθεία Simson ή ευθεία Simson-Wallace) ενός σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου είναι η ευθεία που διέρχεται απο τις προβολές του στις πλευρές του τριγώνου.[1]:112-113[2]:193-194[3]:36-37
Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν οι προβολές ενός σημείου στις πλευρές ενός τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία, τότε το είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Η ευθεία παίρνει το όνομά της από τους μαθηματικούς Ρόμπερτ Σίμσον και Γουίλιαμ Γουάλας.
Απόδειξη
ΕπεξεργασίαΑπόδειξη | |||||||
Έστω ένα σημείο εξωτερικό του τριγώνου και , και οι προβολές του στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Στόχος είναι να αποδείξουμε ότι τα σημεία , και (ή ισοδύναμα ότι η είναι ίση με την ) είναι συνευθειακά ανν το σημείο ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του . Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, καθώς . Επομένως ισχύει ότι , καθώς οι γωνίες βαίνουν στο ίδιο τόξο. Αντίστοιχα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και . Επίσης, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα
Τέλος, το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ανν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, αν και μόνο αν
δηλαδή ανν (χρησιμοποιώντας την (1)). |
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠεραιτέρω ανάγνωση
ΕπεξεργασίαΔιαδραστικές εφαρμογές
Επεξεργασία- Διαδραστική εφαρμογή για την ευθεία Σίμσον στο Φωτόδεντρο
- Ευθεία Σίμσον στο Cut-the-Knot
- Ευθεία Σίμσον στο Geogebra
- Ευθεία τού Σίμσον στο Interactive Geometry
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Επεξεργασία- Ευθείες Σίμσον ενός τριγώνου, Παράλληλος της ευθείας Σίμσον, Γενικευμένη ευθεία Σίμσον, Γεωμετρικός τόπος ευθειών Σίμσον, Σχετικά με την ευθεία Σίμσον στην Πινακοθήκη Γεωμετρικών Θεμάτων
- Ευθεία Σίμσον στο Art of Problem Solving
Ελληνικά άρθρα
Επεξεργασία- Ν. Α. Κισκύρας; Χ. Α. Κισκύρας; Δ. Τσιμπουράκης (1987). «Τετράπλευρο και ο κύκλος». Ευκλείδης Β΄ (1): 33-37. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2816.
Ξενόγλωσσα άρθρα
Επεξεργασία- Quadling, Douglas (2012). «A curious misattribution: the early history of 'Simson's line'». The Mathematical Gazette 96 (537): 420-427. https://www.jstor.org/stable/24496864.
- Clawson, J. W. (1919). «A Theorem in the Geometry of the Triangle». The American Mathematical Monthly 26 (2): 59. doi:. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1919-02_26_2/page/59.
- Barnett, J. K. R. (2001). «Simson lines and deltoids». The Mathematical Gazette 85 (504): 446–457. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-11_85_504/page/446.
- Smith, Geoff (2015). «99.20 A projective Simson line». The Mathematical Gazette 99 (545): 339-341. https://www.jstor.org/stable/24496966.
Παραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
- ↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 1: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-035-7.
- ↑ Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ',Ε',ΣΤ' Γμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 137–139.
Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |