Ημιεπίπεδο

Στην γεωμετρία, κάθε ευθεία χωρίζει τα σημεία του επίπεδο σε δύο μέρη τα οποία δεν έχουν κοινά σημεία με την ευθεία. Κάθε ένα από αυτά τα δύο μέρη λέγεται ημιεπίπεδο.

Με πράσινο και μπλε τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζονται από την ευθεία ε.

Η ευθεία $\epsilon$ λέγεται αρχική ευθεία των ημιεπιπέδων. Το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο ${\rm {A}}$ συμβολίζεται με $(\epsilon ,{\rm {A)}}$.

Αναλυτική γεωμετρία

Στην αναλυτική γεωμετρία, η ευθεία ορίζεται ως το σύνολο των σημείων $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}=0$,

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς $A,B,{\mathit {\Gamma }}$.

Τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία είναι τα σύνολα των σημείων που ικανοποιούν τις ανισότητες

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}>0$,

ή αντίστοιχα

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}<0$.

Ιδιότητες

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ με ${\rm {MA}}<{\rm {MB}}$, είναι το ημιεπίπεδο $(\mu ,{\rm {A)}}$ όπου $\mu$ η μεσοκάθετος του ${\rm {AB}}$.

• Είναι ημιεπίπεδο είναι ένα κυρτό σύνολο.
• Τα δύο ημιεπίπεδα και η ευθεία που τα ορίζει, συνιστούν έναν διαμερισμό όλων των σημείων του επιπέδου.

Εφαρμογές

• Για δύο σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ με ${\rm {MA<{\rm {MB}}}}$ είναι το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του ${\rm {AB}}$ και περιέχει το ${\rm {A}}$.
• Στον γραμμικό προγραμματισμό, που χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών προβλήματων βελτιστοποίησης, οι περιορισμοί ορίζουν ημιεπίπεδα στον χώρο.

Δείτε επίσης

• Ευθεία
• Ημιευθεία
• Ημιχώρος